Matematička statistika - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Ukupan broj ocena je
[tex]n=2+4+6+10+1=23[/tex]
Pošto je [tex]n[/tex] neparan, medijana je srednji član uređenog niza, tj. član sa rednim brojem
[tex]\frac{n+1}{2}=\frac{23+1}{2}=12[/tex]
Poređajmo ocene po veličini i saberimo frekvencije: ocena [tex]2[/tex] zauzima mesta [tex]1[/tex] i [tex]2[/tex], ocena [tex]3[/tex] mesta od [tex]3[/tex] do [tex]6[/tex], ocena [tex]4[/tex] od [tex]7[/tex] do [tex]12[/tex], ocena [tex]5[/tex] od [tex]13[/tex] do [tex]22[/tex], a ocena [tex]6[/tex] mesto [tex]23[/tex]. Dakle, [tex]12[/tex]. član je [tex]4[/tex]:
[tex]Me=4[/tex]

Rešenje:
Zbir [tex]m[/tex] brojeva jednak je proizvodu broja [tex]m[/tex] i njihove aritmetičke sredine. Zato su zbirovi deset, devet i osam brojeva redom
[tex]10\cdot 17=170,\qquad 9\cdot 16=144,\qquad 8\cdot 15=120[/tex]
Prvi uklonjeni broj je razlika prva dva zbira, a drugi uklonjeni broj je razlika poslednja dva zbira:
[tex]x=170-144=26,\qquad y=144-120=24[/tex]
Njihov proizvod je
[tex]xy=26\cdot 24=624[/tex]

Rešenje:
Rastavimo zbir na dva zbira:
[tex]\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})=\sum_{i=1}^{n}x_i-\sum_{i=1}^{n}\bar{x}[/tex]
Broj [tex]\bar{x}[/tex] ne zavisi od [tex]i[/tex], pa se drugi zbir sastoji od [tex]n[/tex] jednakih sabiraka, a po definiciji aritmetičke sredine i prvi zbir je jednak [tex]n\bar{x}[/tex]:
[tex]\sum_{i=1}^{n}\bar{x}=n\bar{x},\qquad \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\ \Rightarrow\ \sum_{i=1}^{n}x_i=n\bar{x}[/tex]
Prema tome,
[tex]\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})=n\bar{x}-n\bar{x}=0[/tex]
što je i trebalo dokazati. Drugim rečima, pozitivna i negativna odstupanja od sredine uvek se tačno poništavaju; zato mere rasipanja koriste kvadrate (ili apsolutne vrednosti) odstupanja.

Rešenje:
Ocena matematičkog očekivanja je uzoračka aritmetička sredina:
[tex]\bar{x}=\frac{2{,}1+3{,}2+4{,}6+2{,}9+3{,}5+4{,}1}{6}=\frac{20{,}4}{6}=3{,}4[/tex]
Odstupanja od sredine su [tex]-1{,}3; \ -0{,}2; \ 1{,}2; \ -0{,}5; \ 0{,}1; \ 0{,}7[/tex], a zbir njihovih kvadrata je
[tex]\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar{x})^2=1{,}69+0{,}04+1{,}44+0{,}25+0{,}01+0{,}49=3{,}92[/tex]
Nepristrasna ocena disperzije dobija se deljenjem sa [tex]n-1=5[/tex], a ne sa [tex]n[/tex] (deljenje sa [tex]n[/tex] daje pristrasnu ocenu, jer se jedan stepen slobode troši na ocenjivanje sredine):
[tex]s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\frac{3{,}92}{5}=0{,}784[/tex]

Rešenje:
Standardna devijacija je
[tex]\sigma=\sqrt{4}=2[/tex]
Prema nejednakosti Čebiševa, koja važi za svaki skup podataka bez obzira na raspodelu, za svako [tex]k\gt 1[/tex] bar deo [tex]1-\frac{1}{k^2}[/tex] podataka leži u intervalu [tex]\left[\bar{x}-k\sigma; \bar{x}+k\sigma\right][/tex]. Taj zagarantovani deo je bar [tex]\frac{8}{9}[/tex] tačno onda kada je
[tex]1-\frac{1}{k^2}\ge\frac{8}{9}\iff k^2\ge 9\iff k\ge 3[/tex]
pa se najuži takav interval dobija za [tex]k=3[/tex]:
[tex]\left[60-3\cdot 2; 60+3\cdot 2\right]=\left[54; 66\right][/tex]
Primetimo da se sa [tex]k[/tex] množi standardna devijacija [tex]2[/tex], a ne disperzija [tex]4[/tex].

Rešenje:
Tačkasta ocena energije je uzoračka aritmetička sredina:
[tex]\bar{x}=\frac{260+216+259+206+265+284+291+229+249}{9}=\frac{2259}{9}=251[/tex]
Populacija je normalno raspodeljena i [tex]\sigma[/tex] je poznato, pa [tex]\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma}\sqrt{n}[/tex] ima standardnu normalnu raspodelu, a interval poverenja nivoa [tex]95\%[/tex] je [tex]\bar{x}\pm z_{0{,}975}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}[/tex]. Granica greške je
[tex]z_{0{,}975}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}96\cdot \frac{10}{3}\approx 6{,}53[/tex]
Prema tome,
[tex]\mu\in\left[251-6{,}53; 251+6{,}53\right]=\left[244{,}47; 257{,}53\right][/tex]