Jednačine i nejednačine sa parametrom - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Jednačina je kvadratna po [tex]x[/tex] (vodeći koeficijent je [tex]1[/tex]). Za njenu diskriminantu [tex]D[/tex] dobijamo
[tex]\frac{D}{4}=(2m-3)^2-\left(5m^2-16m+20\right)=4m^2-12m+9-5m^2+16m-20=-m^2+4m-11[/tex]
Dopunimo do potpunog kvadrata:
[tex]\frac{D}{4}=-\left(m^2-4m+4\right)-7=-(m-2)^2-7[/tex]
Pošto je [tex](m-2)^2\ge 0[/tex] za svako realno [tex]m[/tex], dobijamo [tex]\frac{D}{4}\le -7\lt 0[/tex]. Dakle, za svaku vrednost [tex]m[/tex] diskriminanta je negativna i jednačina nema realnih korena.

Rešenje:
Pretpostavimo da takvo [tex]m[/tex] postoji. Tada su [tex]x_1[/tex] i [tex]x_2[/tex] realni koreni jednačine, pa prema Vijetovim formulama važi
[tex]x_1x_2=1[/tex]
S druge strane, [tex]x_1\gt 2\gt 0[/tex] i [tex]x_2\gt 5\gt 0[/tex], pa je
[tex]x_1x_2\gt 2\cdot 5=10[/tex]
To je u suprotnosti sa [tex]x_1x_2=1[/tex]. Dakle, takva vrednost [tex]m[/tex] ne postoji.

Rešenje:
Pošto je [tex]m^2+2\gt 0[/tex], jednačina je kvadratna za svako [tex]m[/tex]. Zbir njenih koeficijenata jednak je nuli:
[tex](m^2+2)-(m^2+6)+4=0[/tex]
pa je [tex]x_1=1[/tex] koren za svako [tex]m[/tex]. Prema Vijetovim formulama drugi koren je
[tex]x_2=\frac{x_1x_2}{x_1}=\frac{4}{m^2+2}[/tex]
Kako je [tex]m^2+2\ge 2[/tex], dobijamo
[tex]0\lt x_2\le \frac{4}{2}=2[/tex]
pri čemu jednakost važi samo za [tex]m=0[/tex]: tada jednačina glasi [tex]2x^2-6x+4=0[/tex] i ima korene [tex]1[/tex] i [tex]2[/tex]. Dakle, nijedan koren nije veći od [tex]2[/tex], a vrednost [tex]2[/tex] se dostiže. Najveći mogući koren je [tex]2[/tex].

Rešenje:
Slučaj 1: vodeći koeficijent je nula, [tex]a^2-4=0[/tex]. Za [tex]a=2[/tex] nejednačina postaje [tex]-3\lt 0[/tex], što važi za svako [tex]x[/tex], pa [tex]a=2[/tex] zadovoljava uslov. Za [tex]a=-2[/tex] ona postaje [tex]8x-3\lt 0[/tex], tj. [tex]x\lt \frac{3}{8}[/tex], što ne važi za svako [tex]x[/tex]; zato se [tex]a=-2[/tex] odbacuje.
Slučaj 2: [tex]a^2-4\ne 0[/tex]. Kvadratni trinom je negativan za svako [tex]x[/tex] tačno onda kada su i njegov vodeći koeficijent i diskriminanta negativni:
[tex]a^2-4\lt 0\iff a\in\left(-2; 2\right)[/tex]
[tex]\frac{D}{4}=(a-2)^2+3(a^2-4)=(a-2)(a-2+3a+6)=4(a-2)(a+1)\lt 0\iff a\in\left(-1; 2\right)[/tex]
Ukupno: [tex]a\in\left(-1; 2\right)[/tex]. (Za [tex]a=-1[/tex] trinom je [tex]-3(x-1)^2[/tex], koji je jednak [tex]0[/tex] za [tex]x=1[/tex], pa je [tex]a=-1[/tex] s pravom isključeno.) Spajanjem oba slučaja dobijamo
[tex]a\in\left(-1; 2\right][/tex]

Rešenje:
Ako je [tex]a=2[/tex], nejednačina postaje [tex]8x+6\gt 0[/tex], što ne važi, na primer, za [tex]x=-1[/tex].
Ako je [tex]a\ne 2[/tex], kvadratni trinom je pozitivan za svako realno [tex]x[/tex] tačno onda kada mu je vodeći koeficijent pozitivan, a diskriminanta negativna:
[tex]a-2\gt 0,\quad \frac{D}{4}=16-(a-2)(a+4)\lt 0[/tex]
Drugi uslov glasi
[tex]a^2+2a-24\gt 0\iff (a+6)(a-4)\gt 0\iff a\lt -6\text{ ili }a\gt 4[/tex]
Zajedno sa [tex]a\gt 2[/tex] to daje [tex]a\gt 4[/tex]. Vrednost [tex]a=4[/tex] nije dozvoljena: tada je trinom [tex]2x^2+8x+8=2(x+2)^2[/tex], koji je jednak [tex]0[/tex] za [tex]x=-2[/tex]. Dakle, najmanji ceo broj je [tex]a=5[/tex]. Provera:
[tex]a=5:\quad 3x^2+8x+9,\quad 3\gt 0,\quad \frac{D}{4}=16-27\lt 0[/tex]

Rešenje:
Imenilac je pozitivan za svako [tex]x[/tex]:
[tex]x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\gt 0[/tex]
pa njime možemo pomnožiti bez promene smera nejednakosti:
[tex]x^2+ax\lt 3x^2+3x+3\iff 2x^2+(3-a)x+3\gt 0[/tex]
Kvadratni trinom sa pozitivnim vodećim koeficijentom pozitivan je za svako realno [tex]x[/tex] tačno onda kada mu je diskriminanta negativna:
[tex](3-a)^2-24\lt 0\iff |a-3|\lt 2\sqrt{6}\iff 3-2\sqrt{6}\lt a\lt 3+2\sqrt{6}[/tex]
Pošto je [tex]16\lt 24\lt 25[/tex], važi [tex]4\lt 2\sqrt{6}\lt 5[/tex], pa je
[tex]-2\lt 3-2\sqrt{6}\lt -1,\quad 7\lt 3+2\sqrt{6}\lt 8[/tex]
Celi brojevi u ovom intervalu su [tex]-1; 0; 1; \ldots; 7[/tex], tj. ima ih [tex]9[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]f(x)=\left(a^2+1\right)x^2+(3a-4)x+a^2+5[/tex]. Vodeći koeficijent [tex]a^2+1[/tex] je pozitivan za svako [tex]a[/tex], pa je parabola okrenuta naviše. Za takav trinom važi [tex]f(3)\lt 0[/tex] tačno onda kada [tex]f[/tex] ima dva realna korena i [tex]x_1\lt 3\lt x_2[/tex] (zato diskriminantu nije potrebno ispitivati).
Ako je pored toga [tex]f(7)\gt 0[/tex], onda [tex]7[/tex] leži van [tex]\left[x_1; x_2\right][/tex], a pošto je [tex]7\gt 3\gt x_1[/tex], to znači da je [tex]x_2\lt 7[/tex]; obrnuto, iz [tex]x_1\lt 3\lt x_2\lt 7[/tex] sledi [tex]f(7)\gt 0[/tex]. Dakle, uslov je ekvivalentan sistemu
[tex]\begin{cases} f(3)\lt 0\\ f(7)\gt 0\end{cases}[/tex]
Računamo
[tex]f(3)=9\left(a^2+1\right)+3(3a-4)+a^2+5=10a^2+9a+2=(2a+1)(5a+2)[/tex]
[tex]f(3)\lt 0\iff -\frac{1}{2}\lt a\lt -\frac{2}{5}[/tex]
[tex]f(7)=49\left(a^2+1\right)+7(3a-4)+a^2+5=50a^2+21a+26[/tex]
Kao kvadratni trinom po [tex]a[/tex], poslednji izraz ima pozitivan vodeći koeficijent i diskriminantu [tex]21^2-4\cdot 50\cdot 26=441-5200\lt 0[/tex], pa je [tex]f(7)\gt 0[/tex] za svako [tex]a[/tex]. Dakle,
[tex]a\in\left(-\frac{1}{2}; -\frac{2}{5}\right)[/tex]

Rešenje:
Domen je [tex]x\ge 0[/tex], [tex]x\ge a[/tex]. Zapišimo jednačinu u obliku
[tex]\sqrt{x-a}=1-\sqrt{x}[/tex]
Leva strana je nenegativna, pa svako rešenje zadovoljava [tex]1-\sqrt{x}\ge 0[/tex], tj. [tex]\sqrt{x}\le 1[/tex]. Pod tim uslovom kvadriranje je ekvivalentna transformacija:
[tex]x-a=1-2\sqrt{x}+x\iff \sqrt{x}=\frac{1+a}{2}[/tex]
Za to je potrebno [tex]\frac{1+a}{2}\ge 0[/tex], tj. [tex]a\ge -1[/tex], a uslov [tex]\sqrt{x}\le 1[/tex] daje [tex]\frac{1+a}{2}\le 1[/tex], tj. [tex]a\le 1[/tex]. Za takve [tex]a[/tex]
[tex]x=\frac{(a+1)^2}{4}\ge 0,\quad x-a=\frac{(1-a)^2}{4}\ge 0[/tex]
pa [tex]x[/tex] pripada domenu. Dakle, za [tex]a\in\left[-1; 1\right][/tex] jednačina ima jedinstveno rešenje [tex]x=\frac{(a+1)^2}{4}[/tex], a za svako drugo [tex]a[/tex] nema rešenja. Provera krajeva: za [tex]a=-1[/tex] je [tex]x=0[/tex] i [tex]\sqrt{1}+\sqrt{0}=1[/tex]; za [tex]a=1[/tex] je [tex]x=1[/tex] i [tex]\sqrt{0}+\sqrt{1}=1[/tex].

Rešenje:
Domen: [tex]x^2-3x-4=(x+1)(x-4)\ne 0[/tex], tj. [tex]x\ne -1[/tex] i [tex]x\ne 4[/tex]. Brojilac se rastavlja na činioce:
[tex]x^2-(3a-1)x+2a^2-2=\left(x-(a+1)\right)\left(x-(2a-2)\right)[/tex]
jer je [tex](a+1)+(2a-2)=3a-1[/tex] i [tex](a+1)(2a-2)=2a^2-2[/tex]. Dakle, jedini kandidati su [tex]x_1=a+1[/tex] i [tex]x_2=2a-2[/tex]. Oni se poklapaju samo za [tex]a=3[/tex], ali tada [tex]x_1=x_2=4[/tex] ne pripada domenu i jednačina nema korena. Za [tex]a\ne 3[/tex] kandidati su različiti, pa jednačina ima tačno jedan koren tačno onda kada je jedan od njih jednak [tex]-1[/tex] ili [tex]4[/tex], a drugi nije:
[tex]a+1=-1\Rightarrow a=-2[/tex]; tada [tex]x_2=-6[/tex] pripada domenu;
[tex]2a-2=-1\Rightarrow a=\frac{1}{2}[/tex]; tada [tex]x_1=\frac{3}{2}[/tex] pripada domenu;
[tex]a+1=4[/tex] ili [tex]2a-2=4[/tex] daje [tex]a=3[/tex], što je već odbačeno.
Dakle, jednačina ima tačno jedan koren za [tex]a=-2[/tex] (koren [tex]x=-6[/tex]) i za [tex]a=\frac{1}{2}[/tex] (koren [tex]x=\frac{3}{2}[/tex]):
[tex]a\in\left\{-2; \frac{1}{2}\right\}[/tex]

Rešenje:
Domen je [tex]x\ge 3a[/tex]. Za [tex]x=3a[/tex] koren je jednak [tex]0[/tex], pa je leva strana jednaka [tex]0[/tex] i [tex]x=3a[/tex] je rešenje za svako [tex]a[/tex].
Za [tex]x\gt 3a[/tex] koren je pozitivan, pa je nejednačina ekvivalentna sa
[tex]x+a-1\le 0\iff x\le 1-a[/tex]
Dakle, skup rešenja je
[tex]\left\{3a\right\}\cup\left(3a ; 1-a\right][/tex]
Rešenje je tačno jedno ako i samo ako je interval [tex]\left(3a ; 1-a\right][/tex] prazan:
[tex]1-a\le 3a\iff a\ge\frac{1}{4}[/tex]
Nije dovoljno zahtevati [tex]3a=1-a[/tex]: na primer, za [tex]a=1[/tex] jedino rešenje je [tex]x=3[/tex], jer su za [tex]x\gt 3[/tex] oba činioca pozitivna. Dakle, [tex]a\in\left[\frac{1}{4} ; +\infty\right)[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]x_0[/tex] zajednički koren. Oduzimanjem druge jednačine od prve dobijamo
[tex](a-1)x_0+8-a=0[/tex]
Ako je [tex]a=1[/tex], dobija se [tex]7=0[/tex], što je nemoguće. Zato je [tex]a\ne 1[/tex] i [tex]x_0=\frac{a-8}{a-1}[/tex]. Obrnuto, broj koji zadovoljava drugu jednačinu i ovu razliku zadovoljava i prvu, pa je dovoljno zameniti [tex]x_0[/tex] u [tex]x_0^2+x_0+a=0[/tex] i pomnožiti sa [tex](a-1)^2[/tex]:
[tex](a-8)^2+(a-8)(a-1)+a(a-1)^2=0\iff a^3-24a+72=0[/tex]
Pošto je [tex]a=-6[/tex] koren, važi
[tex]a^3-24a+72=(a+6)(a^2-6a+12),\qquad a^2-6a+12=(a-3)^2+3\gt 0[/tex]
Dakle, jedina mogućnost je [tex]a=-6[/tex], pri čemu je [tex]x_0=\frac{-14}{-7}=2[/tex]. Provera: za [tex]a=-6[/tex] jednačina [tex]x^2-6x+8=0[/tex] ima korene [tex]2[/tex] i [tex]4[/tex], a [tex]x^2+x-6=0[/tex] ima korene [tex]2[/tex] i [tex]-3[/tex]; zajednički koren je [tex]2[/tex]. Odgovor je [tex]a=-6[/tex].