Jednačine i nejednačine sa parametrom - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Kada koren postoji, [tex]1+\sqrt{x^{2}+mx+5}\ge 1\gt 0[/tex], pa je jedini uslov za domen [tex]x^{2}+mx+5\ge 0[/tex].
Slučaj [tex]0\lt m\lt 1[/tex]. Funkcija [tex]\log_{m}[/tex] je opadajuća, pa je nejednačina ekvivalentna sa
[tex]2\le 1+\sqrt{x^{2}+mx+5}\iff x^{2}+mx+5\ge 1\iff x^{2}+mx+4\ge 0[/tex]
Diskriminanta je [tex]m^{2}-16\lt 0[/tex], pa ona važi za svako realno [tex]x[/tex] (a tada je ispunjen i uslov za domen): beskonačno mnogo rešenja, pa ovaj slučaj otpada.
Slučaj [tex]m\gt 1[/tex]. Funkcija [tex]\log_{m}[/tex] je rastuća, pa je nejednačina ekvivalentna sa
[tex]\sqrt{x^{2}+mx+5}\le 1\iff 0\le x^{2}+mx+5\le 1\iff -1\le x^{2}+mx+4\le 0[/tex]
Ako je [tex]1\lt m\lt 4[/tex], diskriminanta [tex]m^{2}-16[/tex] je negativna, pa je [tex]x^{2}+mx+4\gt 0[/tex] za svako [tex]x[/tex]: nema rešenja.
Ako je [tex]m=4[/tex], potrebno je [tex](x+2)^{2}\le 0[/tex], tj. [tex]x=-2[/tex], i zaista je tada [tex]x^{2}+4x+5=1\ge 0[/tex]: tačno jedno rešenje.
Ako je [tex]m\gt 4[/tex], trinom [tex]x^{2}+mx+4[/tex] ima dva različita korena; u manjem korenu jednak je [tex]0[/tex], a neposredno desno od njega je negativan, pa zbog neprekidnosti uzima vrednosti iz [tex]\left[-1 ; 0\right][/tex] na celom intervalu: beskonačno mnogo rešenja.
Dakle, [tex]m=4[/tex].

Rešenje:
Za [tex]x\ge 0[/tex] je [tex]2|x|-2x=0[/tex], pa jednačina postaje [tex]0=a-x[/tex], tj. [tex]x=a[/tex]. Dakle, pozitivan koren postoji ako i samo ako je [tex]a\gt 0[/tex], i tada je to jedini nenegativan koren. Zato je potrebno [tex]a\gt 0[/tex].
Za [tex]x\lt 0[/tex] je [tex]2|x|-2x=-4x[/tex] i jednačina glasi [tex]\sqrt{-4x}=a-x[/tex]. Pošto je [tex]a\gt 0[/tex] i [tex]x\lt 0[/tex], desna strana je pozitivna, pa kvadriranje daje ekvivalentnu jednačinu:
[tex]-4x=(a-x)^2\iff x^2+(4-2a)x+a^2=0[/tex]
Ona mora imati dva različita negativna korena. Uslov za diskriminantu je
[tex]\frac{D}{4}=(2-a)^2-a^2=4-4a\gt 0\iff a\lt 1[/tex]
Prema Vijetovim formulama [tex]x_1+x_2=2a-4\lt 0[/tex] i [tex]x_1x_2=a^2\gt 0[/tex] za [tex]0\lt a\lt 1[/tex], pa su oba korena negativna. Za [tex]a=1[/tex] postoji samo dvostruki koren [tex]x=-1[/tex], tj. samo jedan negativan koren. Dakle, [tex]a\in\left(0 ; 1\right)[/tex].

Rešenje:
Uvedimo smenu [tex]t=2^{x}\gt 0[/tex]. Pošto [tex]x\mapsto 2^{x}[/tex] bijektivno preslikava [tex]\mathbb{R}[/tex] na [tex]\left(0 ; +\infty\right)[/tex], broj korena [tex]x[/tex] jednak je broju različitih pozitivnih korena jednačine
[tex]f(t)=t^{2}-kt-k+3=0[/tex]
Za diskriminantu i prema Vijetovim formulama imamo
[tex]D=k^{2}+4k-12=(k+6)(k-2),\qquad t_{1}+t_{2}=k,\qquad t_{1}t_{2}=3-k[/tex]
Ako je [tex]k\gt 3[/tex], onda je [tex]t_{1}t_{2}\lt 0[/tex], koreni su različitog znaka i tačno jedan je pozitivan: jedan koren [tex]x[/tex].
Ako je [tex]k=3[/tex], jednačina je [tex]t^{2}-3t=0[/tex] sa korenima [tex]0[/tex] (otpada, jer je [tex]t\gt 0[/tex]) i [tex]3[/tex]: jedan koren [tex]x=\log_{2}3[/tex].
Ako je [tex]D=0[/tex], dvostruki koren je [tex]t=\frac{k}{2}[/tex]: za [tex]k=2[/tex] to je [tex]t=1\gt 0[/tex], što daje tačno jedan koren [tex]x=0[/tex]; za [tex]k=-6[/tex] to je [tex]t=-3\lt 0[/tex], pa korena nema.
Ako je [tex]2\lt k\lt 3[/tex], onda je [tex]D\gt 0[/tex], [tex]t_{1}t_{2}\gt 0[/tex] i [tex]t_{1}+t_{2}\gt 0[/tex], pa postoje dva različita pozitivna korena [tex]t[/tex], a time i dva korena [tex]x[/tex].
Ako je [tex]k\lt -6[/tex], onda je [tex]t_{1}t_{2}\gt 0[/tex] i [tex]t_{1}+t_{2}=k\lt 0[/tex], pa su oba korena [tex]t[/tex] negativna; ako je [tex]-6\lt k\lt 2[/tex], onda je [tex]D\lt 0[/tex] i realnih korena nema. U oba slučaja nema korena [tex]x[/tex].
Dakle, [tex]k\in\left\{2\right\}\cup\left[3 ; +\infty\right)[/tex].

Rešenje:
Uvedimo smenu [tex]t=2^x\gt 0[/tex]. Tada je [tex]2^{-x}=\frac{1}{t}[/tex], pa posle množenja sa [tex]t[/tex] dobijamo
[tex]\left(a^2+a-6\right)t^2-2at+1=0[/tex]
Pošto je [tex]x=\log_2 t[/tex], različitim korenima [tex]t[/tex] odgovaraju različiti koreni [tex]x[/tex], pri čemu je [tex]x\gt 0\iff t\gt 1[/tex] i [tex]x\lt 0\iff 0\lt t\lt 1[/tex]. Dakle, jednačina po [tex]t[/tex] mora imati jedan koren u [tex]\left(0 ; 1\right)[/tex] i jedan koren u [tex]\left(1 ; +\infty\right)[/tex].
Ako je [tex]a^2+a-6=0[/tex], tj. [tex]a=2[/tex] ili [tex]a=-3[/tex], jednačina je linearna i ima najviše jedan koren, pa ove vrednosti otpadaju.
Neka je [tex]c=a^2+a-6\ne 0[/tex] i [tex]f(t)=ct^2-2at+1[/tex]. Broj [tex]1[/tex] leži strogo između dva realna korena tačno kada je [tex]c\,f(1)\lt 0[/tex], a tada su oba korena pozitivna tačno kada je njihov proizvod [tex]t_1t_2=\frac{1}{c}[/tex] pozitivan. Zato su uslovi
[tex]c\gt 0,\qquad f(1)\lt 0[/tex]
Prvo,
[tex]c\gt 0\iff (a+3)(a-2)\gt 0\iff a\lt -3\text{ ili }a\gt 2[/tex]
Drugo,
[tex]f(1)=a^2+a-6-2a+1=a^2-a-5\lt 0\iff \frac{1-\sqrt{21}}{2}\lt a\lt \frac{1+\sqrt{21}}{2}[/tex]
Pošto je [tex]\frac{1-\sqrt{21}}{2}\gt -3[/tex] i [tex]\frac{1+\sqrt{21}}{2}\gt 2[/tex] (jer je [tex]3\lt\sqrt{21}\lt 7[/tex]), presek je [tex]2\lt a\lt\frac{1+\sqrt{21}}{2}[/tex], tj. [tex]a\in\left(2 ; \frac{1+\sqrt{21}}{2}\right)[/tex].

Rešenje:
Uvedimo smenu [tex]u=3^{x^2}[/tex]. Pošto je [tex]x^2\ge 0[/tex], važi [tex]u\ge 1[/tex]. Vrednosti [tex]u=1[/tex] odgovara jedino rešenje [tex]x=0[/tex], svakoj vrednosti [tex]u\gt 1[/tex] odgovaraju tačno dva rešenja [tex]x=\pm\sqrt{\log_3 u}[/tex], a vrednosti [tex]u\lt 1[/tex] ne daju rešenja. Jednačina postaje
[tex]u^2-(2a+1)u+a^2-3=0[/tex]
Ona ima najviše dva korena. Svaki koren [tex]u\gt 1[/tex] daje dva rešenja, a koren [tex]u=1[/tex] daje jedno, pa su tri rešenja moguća samo ako je [tex]u=1[/tex] koren, a drugi koren veći od [tex]1[/tex]. Vrednost [tex]u=1[/tex] je koren kada je
[tex]1-(2a+1)+a^2-3=a^2-2a-3=0\iff a=3\text{ ili }a=-1[/tex]
Za [tex]a=3[/tex]: [tex]u^2-7u+6=0[/tex], odakle je [tex]u=1[/tex] ili [tex]u=6\gt 1[/tex], što daje [tex]x=0[/tex] i [tex]x=\pm\sqrt{\log_3 6}[/tex], tačno tri rešenja.
Za [tex]a=-1[/tex]: [tex]u^2+u-2=0[/tex], odakle je [tex]u=1[/tex] ili [tex]u=-2\lt 1[/tex], što daje samo [tex]x=0[/tex], jedno rešenje; otpada. Dakle, [tex]a=3[/tex].

Rešenje:
Domen: [tex]kx\gt 0[/tex], [tex]x+1\gt 0[/tex] i [tex]\lg(x+1)\ne 0[/tex], tj. [tex]x\gt -1[/tex], [tex]x\ne 0[/tex], [tex]kx\gt 0[/tex]; posebno, [tex]k\ne 0[/tex]. Na domenu je jednačina ekvivalentna sa
[tex]\lg(kx)=2\lg(x+1)=\lg\left((x+1)^2\right)\iff kx=(x+1)^2\iff x^2+(2-k)x+1=0[/tex]
Za [tex]k\ne 0[/tex] broj [tex]x=-1[/tex] nije koren (zamena daje [tex]k=0[/tex]), pa svaki koren automatski zadovoljava [tex]kx=(x+1)^2\gt 0[/tex]; osim toga, [tex]x=0[/tex] nikad nije koren. Dakle, koren kvadratne jednačine je koren date jednačine ako i samo ako je [tex]x\gt -1[/tex].
Za diskriminantu i prema Vijetovim formulama imamo
[tex]D=(2-k)^2-4=k(k-4),\qquad x_1x_2=1,\qquad x_1+x_2=k-2[/tex]
Ako je [tex]0\lt k\lt 4[/tex], onda je [tex]D\lt 0[/tex]: nema korena. Ako je [tex]k=4[/tex], dvostruki koren je [tex]x=1\gt -1[/tex]: tačno jedan koren.
Ako je [tex]k\gt 4[/tex], dva različita korena imaju proizvod [tex]1[/tex] i zbir [tex]k-2\gt 0[/tex], pa su oba pozitivna i oba zadovoljavaju: dva korena.
Ako je [tex]k\lt 0[/tex], onda je [tex]D\gt 0[/tex] i dva različita korena imaju proizvod [tex]1[/tex] i zbir [tex]k-2\lt 0[/tex], pa su oba negativna; pošto je njihov proizvod [tex]1[/tex], jedan leži u [tex]\left(-1 ; 0\right)[/tex], a drugi je manji od [tex]-1[/tex]. Zadovoljava samo prvi: tačno jedan koren.
Dakle, [tex]k\in\left(-\infty ; 0\right)\cup\left\{4\right\}[/tex].

Rešenje:
Domen je [tex]x\ne a[/tex], [tex]x\ne b[/tex], [tex]x\ne c[/tex]. Na njemu, množenjem sa [tex](x-a)(x-b)(x-c)\ne 0[/tex], dobijamo ekvivalentnu jednačinu [tex]g(x)=0[/tex], gde je
[tex]g(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)=3x^2-2(a+b+c)x+ab+bc+ca[/tex]
Za kvadratni trinom [tex]g[/tex] imamo
[tex]\frac{D}{4}=(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right][/tex]
Pošto su [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] različiti, svaki kvadrat je pozitivan, pa je [tex]\frac{D}{4}\gt 0[/tex] i [tex]g[/tex] ima dva različita realna korena. Nijedan od njih nije isključen domenom, jer je
[tex]g(a)=(a-b)(a-c)\ne 0,\qquad g(b)=(b-a)(b-c)\ne 0,\qquad g(c)=(c-a)(c-b)\ne 0[/tex]
Dakle, oba korena od [tex]g[/tex] su koreni date jednačine, a pošto je na domenu ona ekvivalentna sa [tex]g(x)=0[/tex], jednačina ima tačno dva različita realna korena.

Rešenje:
Neka je [tex]x_{0}[/tex] realan koren jednačine za neku realnu vrednost [tex]m[/tex]. Uredimo jednakost po stepenima od [tex]m[/tex]:
[tex]x_{0}^{2}-2mx_{0}+2m^{2}-2m-3=0\iff 2m^{2}-2(x_{0}+1)m+x_{0}^{2}-3=0[/tex]
Ovo je kvadratna jednačina po [tex]m[/tex] sa realnim koeficijentima koja ima realan koren [tex]m[/tex]. Zato je njena diskriminanta nenegativna:
[tex]\frac{D}{4}=(x_{0}+1)^{2}-2(x_{0}^{2}-3)=-x_{0}^{2}+2x_{0}+7\ge 0\iff x_{0}^{2}-2x_{0}-7\le 0[/tex]
Koreni jednačine [tex]x^{2}-2x-7=0[/tex] su [tex]1\pm 2\sqrt{2}[/tex], pa je
[tex]1-2\sqrt{2}\le x_{0}\le 1+2\sqrt{2}[/tex]
Time je tvrđenje dokazano. Granice se dostižu: za [tex]m=1+\sqrt{2}[/tex] koreni su [tex]1[/tex] i [tex]1+2\sqrt{2}[/tex], a za [tex]m=1-\sqrt{2}[/tex] koreni su [tex]1[/tex] i [tex]1-2\sqrt{2}[/tex].

Rešenje:
Zapišimo jednačinu u obliku [tex]a=f(x)[/tex], gde je [tex]f(x)=x-\left|2|x|-1\right|[/tex]. Broj rešenja jednak je broju zajedničkih tačaka grafika funkcije [tex]f[/tex] i horizontalne prave [tex]y=a[/tex]. Oslobađanjem od apsolutnih vrednosti dobijamo
[tex]f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 3x+1, & x\le -\frac{1}{2} \\ -x-1, & -\frac{1}{2}\le x\le 0 \\ 3x-1, & 0\le x\le \frac{1}{2} \\ 1-x, & x\ge \frac{1}{2} \end{array}\right.[/tex]
Dakle, [tex]f[/tex] raste od [tex]-\infty[/tex] do [tex]f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}[/tex], opada do [tex]f(0)=-1[/tex], raste do [tex]f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}[/tex], a zatim opada do [tex]-\infty[/tex]. Prebrojimo zajedničke tačke sa pravom [tex]y=a[/tex].
Za [tex]a\gt \frac{1}{2}[/tex] rešenja nema, za [tex]a=\frac{1}{2}[/tex] postoji jedno, a za [tex]-\frac{1}{2}\lt a\lt \frac{1}{2}[/tex] dva.
Za [tex]a=-\frac{1}{2}[/tex] postoje tri rešenja: [tex]x=-\frac{1}{2}[/tex], [tex]x=\frac{1}{6}[/tex], [tex]x=\frac{3}{2}[/tex].
Za [tex]-1\lt a\lt -\frac{1}{2}[/tex] postoje četiri rešenja (po jedno na svakom intervalu monotonosti).
Za [tex]a=-1[/tex] postoje tri rešenja: [tex]x=-\frac{2}{3}[/tex], [tex]x=0[/tex], [tex]x=2[/tex], a za [tex]a\lt -1[/tex] dva.
Prema tome, jednačina ima tačno tri rešenja za [tex]a=-1[/tex] i za [tex]a=-\frac{1}{2}[/tex].

Rešenje:
Fiksirajmo [tex]a[/tex]. Izraz [tex]A\cos x+B\sin x[/tex] uzima tačno sve vrednosti iz intervala [tex]\left[-\sqrt{A^2+B^2} ; \sqrt{A^2+B^2}\right][/tex]. Ovde je [tex]A=a^2-9[/tex], [tex]B=6a[/tex] i
[tex]A^2+B^2=(a^2-9)^2+36a^2=a^4+18a^2+81=(a^2+9)^2[/tex]
Dakle, najmanja vrednost leve strane je [tex]-(a^2+9)[/tex]. Nejednačina ima rešenje [tex]x[/tex] ako i samo ako ta najmanja vrednost nije veća od desne strane:
[tex]-(a^2+9)\le ab\iff a^2+ab+9\ge 0[/tex]
Ovo mora da važi za svako realno [tex]a[/tex]. Kvadratni trinom po [tex]a[/tex] sa pozitivnim vodećim koeficijentom je nenegativan za svako [tex]a[/tex] ako i samo ako mu je diskriminanta nepozitivna:
[tex]D=b^2-36\le 0\iff -6\le b\le 6[/tex]
Za [tex]b=\pm 6[/tex] dobijamo [tex](a\pm 3)^2\ge 0[/tex], što je tačno, pa krajevi ulaze u rešenje. Odgovor: [tex]b\in\left[-6 ; 6\right][/tex].

Rešenje:
Za [tex]x\in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)[/tex] brojevi [tex]\sin x[/tex] i [tex]\cos x[/tex] su pozitivni, pa jednačina dobija oblik [tex]\frac{\sin x+\cos x}{\sin x\cos x}=\lambda[/tex]. Uvedimo smenu
[tex]t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/tex]
Pošto je [tex]x+\frac{\pi}{4}\in\left(\frac{\pi}{4} ; \frac{3\pi}{4}\right)[/tex], promenljiva [tex]t[/tex] uzima tačno sve vrednosti iz [tex]\left(1 ; \sqrt{2}\right][/tex], a [tex]\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}[/tex]. Jednačina postaje
[tex]\lambda=\frac{2t}{t^2-1}=\frac{2}{t-\frac{1}{t}}[/tex]
Na intervalu [tex]\left(1 ; \sqrt{2}\right][/tex] imenilac [tex]t-\frac{1}{t}[/tex] je pozitivan i strogo rastući – od vrednosti proizvoljno bliskih [tex]0[/tex] do [tex]\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]. Zato je desna strana neprekidna i strogo opadajuća, neograničeno raste kada [tex]t\to 1^{+}[/tex], a za [tex]t=\sqrt{2}[/tex] (tj. za [tex]x=\frac{\pi}{4}[/tex]) jednaka je
[tex]\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{2}[/tex]
Njen skup vrednosti je [tex]\left[2\sqrt{2} ; +\infty\right)[/tex], pa jednačina ima koren u [tex]\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)[/tex] tačno kada je [tex]\lambda\ge 2\sqrt{2}[/tex].

Rešenje:
Uvedimo smenu [tex]t=x^2-2x+2=(x-1)^2+1[/tex], pa je [tex]t\ge 1[/tex]. Za [tex]t=1[/tex] dobijamo samo [tex]x=1[/tex], a za [tex]t\gt 1[/tex] dve različite vrednosti
[tex]x=1\pm\sqrt{t-1}[/tex]
Obe su pozitivne ako i samo ako je [tex]1-\sqrt{t-1}\gt 0[/tex], tj. [tex]t\lt 2[/tex] (za [tex]t=2[/tex] jedna od njih je [tex]0[/tex], a za [tex]t\gt 2[/tex] jedna je negativna). Različitim vrednostima [tex]t[/tex] odgovaraju različite vrednosti [tex]x[/tex]. Jednačina postaje
[tex]g(t)=t^2-mt+3=0[/tex]
Ona ima najviše dva korena, i svaki od njih daje najviše dve pozitivne vrednosti [tex]x[/tex]. Zato polazna jednačina ima četiri različita pozitivna korena ako i samo ako [tex]g[/tex] ima dva različita korena, oba u otvorenom intervalu [tex]\left(1 ; 2\right)[/tex]. Uslovi su
[tex]D=m^2-12\gt 0,\quad g(1)=4-m\gt 0,\quad g(2)=7-2m\gt 0,\quad 1\lt \frac{m}{2}\lt 2[/tex]
Iz poslednjeg uslova je [tex]m\gt 0[/tex], pa [tex]D\gt 0[/tex] daje [tex]m\gt 2\sqrt{3}[/tex]; ostali uslovi daju [tex]m\lt 4[/tex] i [tex]m\lt \frac{7}{2}[/tex]. Pošto je [tex]2\sqrt{3}=\sqrt{12}\lt \sqrt{\frac{49}{4}}=\frac{7}{2}[/tex], dobijamo
[tex]2\sqrt{3}\lt m\lt \frac{7}{2}[/tex]

Rešenje:
Domen: [tex]x\ge 3[/tex]. Uvedimo smenu [tex]s=\sqrt{x-3}\ge 0[/tex]; tada je [tex]x=s^2+3[/tex], i različitim [tex]s\ge 0[/tex] odgovaraju različiti [tex]x\ge 3[/tex]. Jednačina postaje
[tex]s+a\left(s^2+3\right)=2a+3\iff as^2+s+a-3=0\quad (\ast)[/tex]
Potrebno je da jednačina [tex](\ast)[/tex] ima tačno jedan nenegativan koren [tex]s[/tex]. Ako je [tex]a=0[/tex], onda je [tex]s=3[/tex], tj. [tex]x=12[/tex] – jedno rešenje.
Neka je [tex]a\ne 0[/tex]. Tada je
[tex]s_1s_2=\frac{a-3}{a},\quad s_1+s_2=-\frac{1}{a},\quad D=1-4a(a-3)=-4a^2+12a+1[/tex]
Ako je [tex]0\lt a\lt 3[/tex], onda je [tex]s_1s_2\lt 0[/tex], pa su koreni realni i suprotnih znakova, i tačno jedan od njih je pozitivan – jedno rešenje.
Ako je [tex]a=3[/tex], onda je [tex]3s^2+s=0[/tex], pa je [tex]s=0[/tex] ili [tex]s=-\frac{1}{3}[/tex], i dopustiv je samo [tex]s=0[/tex] ([tex]x=3[/tex]) – jedno rešenje.
Ako je [tex]a\gt 3[/tex], onda je [tex]s_1s_2\gt 0[/tex] i [tex]s_1+s_2\lt 0[/tex], pa su realni koreni (ako postoje) negativni – rešenja nema.
Ako je [tex]a\lt 0[/tex], onda je [tex]s_1s_2\gt 0[/tex] i [tex]s_1+s_2\gt 0[/tex], pa su realni koreni (ako postoje) pozitivni: za [tex]D\gt 0[/tex] postoje dva rešenja, za [tex]D\lt 0[/tex] nijedno, a za [tex]D=0[/tex] tačno jedno. Imamo
[tex]D=0\iff 4a^2-12a-1=0\iff a=\frac{3\pm\sqrt{10}}{2}[/tex]
Uslov [tex]a\lt 0[/tex] zadovoljava samo [tex]a=\frac{3-\sqrt{10}}{2}[/tex] (dvostruki koren [tex]s=-\frac{1}{2a}=3+\sqrt{10}[/tex], tj. [tex]x=22+6\sqrt{10}[/tex]). Odgovor: [tex]a\in\left\{\frac{3-\sqrt{10}}{2}\right\}\cup\left[0 ; 3\right][/tex].

Rešenje:
Domen: osnova [tex]\sqrt{2-x}[/tex] mora biti pozitivna i različita od [tex]1[/tex], tj. [tex]x\lt 2[/tex] i [tex]x\ne 1[/tex]; argument mora biti pozitivan, tj. [tex]x^2+4a\ne 0[/tex]. Na domenu je jednačina ekvivalentna sa
[tex]\left|x^2+4a\right|=\left(\sqrt{2-x}\right)^4=(2-x)^2[/tex]
Pošto je [tex](2-x)^2\gt 0[/tex] za [tex]x\lt 2[/tex], svaki koren ove jednačine automatski zadovoljava [tex]x^2+4a\ne 0[/tex]. Zato brojimo korene sa [tex]x\lt 2[/tex], [tex]x\ne 1[/tex] dveju jednačina [tex]x^2+4a=(2-x)^2[/tex] i [tex]x^2+4a=-(2-x)^2[/tex].
Prva daje [tex]x^2+4a=x^2-4x+4\iff x=1-a[/tex]; ovaj koren je dopustiv ako i samo ako je [tex]1-a\lt 2[/tex] i [tex]1-a\ne 1[/tex], tj. [tex]a\gt -1[/tex], [tex]a\ne 0[/tex].
Druga daje
[tex]x^2+4a=-x^2+4x-4\iff (x-1)^2=-1-2a[/tex]
Za [tex]a\gt -\frac{1}{2}[/tex] ona nema korena, a za [tex]a=-\frac{1}{2}[/tex] njen jedini koren je [tex]x=1[/tex], koji nije dopustiv. Za [tex]a\lt -\frac{1}{2}[/tex] stavimo [tex]s=\sqrt{-1-2a}\gt 0[/tex]; koreni su [tex]1-s[/tex] (uvek dopustiv) i [tex]1+s[/tex], koji je dopustiv ako i samo ako je [tex]s\lt 1\iff -1-2a\lt 1\iff a\gt -1[/tex].
Prebrojavanje: ako je [tex]a\le -1[/tex], ostaje samo [tex]x=1-s[/tex], tj. jedan koren. Ako je [tex]a\ge -\frac{1}{2}[/tex], druga jednačina ne daje dopustive korene, a prva daje najviše jedan.
Ako je [tex]-1\lt a\lt -\frac{1}{2}[/tex], dobijamo [tex]1-s[/tex] i [tex]1+s[/tex], gde je [tex]0\lt s\lt 1[/tex], kao i [tex]x=1-a\in\left(\frac{3}{2} ; 2\right)[/tex]. Pri tome je [tex]1-a\gt 1\gt 1-s[/tex], a [tex]1-a=1+s[/tex] bi značilo [tex]a^2=-1-2a[/tex], tj. [tex](a+1)^2=0[/tex], [tex]a=-1[/tex], što je isključeno. Dakle, korena ima tačno tri.
Odgovor: [tex]a\in\left(-1 ; -\frac{1}{2}\right)[/tex].