Grafici funkcija - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Za [tex]x\lt 0[/tex] vrednost funkcije je pozitivna:
[tex]y=-\frac{2}{x}=\frac{2}{-x}=\frac{2}{\left|x\right|}\gt 0[/tex]
Dakle, svaka tačka grafika ima negativnu apscisu i pozitivnu ordinatu, tj. leži u [tex]\text{II}[/tex] kvadrantu. Tabela vrednosti:
[tex]\begin{array}{c|c|c|c|c} x & -4 & -2 & -1 & -\frac{1}{2} \\ \hline y & \frac{1}{2} & 1 & 2 & 4 \end{array}[/tex]
Grafik je jedna grana hiperbole [tex]y=-\frac{2}{x}[/tex]: kada se [tex]x[/tex] približava ka [tex]0[/tex] sleva, [tex]y[/tex] neograničeno raste, a kada [tex]x\to -\infty[/tex], [tex]y[/tex] se približava ka [tex]0[/tex]; grafik nikada ne dostiže ose.
Cela hiperbola leži u [tex]\text{II}[/tex] i [tex]\text{IV}[/tex] kvadrantu; uslov [tex]x\lt 0[/tex] ostavlja samo granu u [tex]\text{II}[/tex] kvadrantu. Znak minus ispred razlomka ne čini [tex]y[/tex] negativnim, jer je sam [tex]x[/tex] negativan.

Rešenje:
Osa [tex]Oy[/tex] je prava [tex]x=0[/tex]. Kada bi grafik funkcije [tex]y=f(x)[/tex] imao na njoj dve različite tačke [tex]\left(0; y_1\right)[/tex] i [tex]\left(0; y_2\right)[/tex], gde je [tex]y_1\ne y_2[/tex], funkcija bi imala dve različite vrednosti za isti argument [tex]x=0[/tex]. To je u suprotnosti sa definicijom funkcije: svakom [tex]x[/tex] iz domena odgovara tačno jedna vrednost [tex]f(x)[/tex]. Uopšte, svaka vertikalna prava [tex]x=c[/tex] seče grafik funkcije u najviše jednoj tački.
Ostale tri prave mogu imati dve zajedničke tačke sa grafikom. Na primer, grafik funkcije [tex]f(x)=2\left|x\right|-1[/tex] seče ih u tačkama
[tex]Ox:\ \left(-\frac{1}{2}; 0\right),\ \left(\frac{1}{2}; 0\right)[/tex]
[tex]y=x:\ \left(-\frac{1}{3}; -\frac{1}{3}\right),\ (1; 1)[/tex]
[tex]y=-x:\ (-1; 1),\ \left(\frac{1}{3}; -\frac{1}{3}\right)[/tex]
dok osu [tex]Oy[/tex] seče samo u tački [tex](0; -1)[/tex]. Odgovor je osa [tex]Oy[/tex].

Rešenje:
Koeficijenti pravca funkcija [tex]f_1[/tex] i [tex]f_2[/tex] su različiti ([tex]-2\ne 1[/tex]), pa se njihovi grafici seku u tačno jednoj tački. Odredimo je:
[tex]1-2x=x+4\iff -3x=3\iff x=-1,\quad y=f_1(-1)=1+2=3[/tex]
Dakle, zajednička tačka sva tri grafika može biti samo [tex]P(-1; 3)[/tex], pa je [tex]f_3(-1)=3[/tex]:
[tex]-(-1)+b=3\iff 1+b=3\iff b=2[/tex]
Provera: za [tex]f_3(x)=-x+2[/tex] je [tex]f_3(-1)=3[/tex], tj. sve tri prave prolaze kroz [tex]P(-1; 3)[/tex].

Rešenje:
Pošto [tex]A(0; -2)[/tex] leži na grafiku funkcije [tex]f[/tex], dobijamo [tex]f(0)=b=-2[/tex]. Paralelne prave imaju jednake koeficijente pravca, pa je [tex]a=2[/tex] (a [tex]-2\ne -4[/tex], tako da se prave ne poklapaju). Dakle,
[tex]f(x)=2x-2[/tex]
Presečne tačke dveju pravih sa osama su:
[tex]f(x)=2x-2:\quad (1; 0),\ (0; -2)[/tex]
[tex]g(x)=2x-4:\quad (2; 0),\ (0; -4)[/tex]
Figura je trapez (prave su paralelne) sa temenima [tex](1; 0)[/tex], [tex](2; 0)[/tex], [tex](0; -4)[/tex], [tex](0; -2)[/tex] u [tex]\text{IV}[/tex] kvadrantu. Njena površina jednaka je površini pravouglog trougla koji prava [tex]g[/tex] odseca od osa, umanjenoj za površinu pravouglog trougla koji odseca prava [tex]f[/tex]:
[tex]S=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4-\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=4-1=3[/tex]

Rešenje:
Pošto [tex]A[/tex] leži na [tex]y=ax[/tex] i njena apscisa je [tex]1[/tex], njena ordinata je [tex]a\cdot 1=a[/tex], tj. [tex]A(1; a)[/tex]. Podnožje normale je [tex]A_1(1; 0)[/tex].
Trougao [tex]OA_1A[/tex] je pravougli sa pravim uglom kod temena [tex]A_1[/tex] i katetama [tex]OA_1=1[/tex] i [tex]A_1A=\left|a\right|[/tex] (dužina ne može biti negativna: za [tex]a\lt 0[/tex] tačka [tex]A[/tex] je ispod ose [tex]Ox[/tex] i kateta je [tex]-a[/tex]). Dakle,
[tex]S=\frac{1}{2}\cdot OA_1\cdot A_1A=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \left|a\right|=\frac{\left|a\right|}{2}[/tex]
Odgovor [tex]\frac{a}{2}[/tex] je tačan samo za [tex]a\gt 0[/tex]; za [tex]a\lt 0[/tex] dao bi negativnu površinu.

Rešenje:
Pomeranje grafika za [tex]2[/tex] jedinice ulevo znači da [tex]g[/tex] u tački [tex]x[/tex] ima vrednost koju [tex]f[/tex] ima u tački [tex]x+2[/tex]. Zamenjujemo [tex]x[/tex] sa [tex]x+2[/tex] u formuli funkcije [tex]f[/tex]:
[tex]g(x)=f(x+2)=\frac{1}{3}(x+2)-5=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}-5=\frac{1}{3}x-\frac{13}{3}[/tex]
Provera: tačke [tex](0; -5)[/tex] i [tex](3; -4)[/tex] grafika funkcije [tex]f[/tex] prelaze u [tex](-2; -5)[/tex] i [tex](1; -4)[/tex], i zaista
[tex]g(-2)=-\frac{2}{3}-\frac{13}{3}=-5,\quad g(1)=\frac{1}{3}-\frac{13}{3}=-4[/tex]
Tipične greške: [tex]\frac{1}{3}x-3=f(x)+2[/tex] je pomeranje za [tex]2[/tex] naviše, a [tex]\frac{1}{3}x-\frac{17}{3}=f(x-2)[/tex] je pomeranje udesno.

Rešenje:
Grafik funkcije [tex]y=f(x-5)[/tex] dobija se iz grafika funkcije [tex]y=f(x)[/tex] translacijom za [tex]5[/tex] jedinica udesno duž ose [tex]Ox[/tex]: tačka [tex]\left(t; f(t)\right)[/tex] prelazi u [tex]\left(t+5; f(t)\right)[/tex]. Horizontalna translacija menja samo apscise tačaka, a ne njihove ordinate, pa se skup vrednosti ne menja.
Formalno: kada [tex]x[/tex] prolazi kroz domen funkcije [tex]f(x-5)[/tex], broj [tex]t=x-5[/tex] prolazi kroz ceo domen funkcije [tex]f[/tex], pa [tex]f(x-5)[/tex] i [tex]f(t)[/tex] uzimaju iste vrednosti. Dakle, skup vrednosti funkcije [tex]f(x)[/tex] je takođe [tex]\left[-2; 3\right][/tex].
Odgovori kao što su [tex]\left[3; 8\right][/tex] ili [tex]\left[-7; -2\right][/tex] mešaju horizontalno pomeranje sa vertikalnim.

Rešenje:
U istom koordinatnom sistemu nacrtamo grafik funkcije [tex]y=\left|x\right|[/tex] i pravu [tex]y=-x[/tex] (simetralu drugog i četvrtog kvadranta). Grafik funkcije [tex]y=\left|x\right|[/tex] sastoji se od dve poluprave sa zajedničkim početkom [tex]O(0; 0)[/tex]:
[tex]y=\left|x\right|=\left\{\begin{array}{ll}x, & x\ge 0\\ -x, & x\lt 0\end{array}\right.[/tex]
Za [tex]x\le 0[/tex] leva poluprava leži na pravoj [tex]y=-x[/tex], pa se dva grafika poklapaju duž cele te poluprave, uključujući i tačku [tex]O[/tex]. Za [tex]x\gt 0[/tex] važi [tex]\left|x\right|=x\gt 0\gt -x[/tex]: grafik funkcije [tex]y=\left|x\right|[/tex] je iznad [tex]x[/tex]-ose, a prava je ispod nje, pa zajedničkih tačaka nema.
Dakle, rešenja su svi [tex]x\le 0[/tex] (uključujući [tex]x=0[/tex]). To se slaže sa definicijom apsolutne vrednosti: [tex]\left|x\right|=-x[/tex] važi tačno kada je [tex]x\le 0[/tex].
[tex]x\in\left(-\infty ; 0\right][/tex]

Rešenje:
Tabela vrednosti:
[tex]\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & 1 & 4 & 9 & 16\\ \hline y & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\end{array}[/tex]
To je grafik funkcije [tex]y=\sqrt{x}[/tex] pomeren za [tex]2[/tex] jedinice naniže i ograničen na [tex]0\le x\le 16[/tex]: luk od [tex](0; -2)[/tex] do [tex](16; 2)[/tex] koji seče [tex]x[/tex]-osu u tački [tex](4; 0)[/tex]. Pošto je [tex]\sqrt{x}[/tex] rastuća funkcija, rastuća je i [tex]y=\sqrt{x}-2[/tex], pa najmanju i najveću vrednost dostiže na krajevima intervala:
[tex]y_{\min}=y(0)=0-2=-2,\qquad y_{\max}=y(16)=\sqrt{16}-2=2[/tex]
Funkcija je neprekidna, pa uzima sve vrednosti između [tex]-2[/tex] i [tex]2[/tex]. Skup vrednosti je [tex]\left[-2; 2\right][/tex]. (Interval [tex]\left[0; 4\right][/tex] je skup vrednosti funkcije [tex]\sqrt{x}[/tex] pre pomeranja, a [tex]\left[-2; 14\right][/tex] se dobija ako se [tex]2[/tex] oduzme od [tex]16[/tex] umesto od [tex]\sqrt{16}[/tex].)

Rešenje:
Grafik se sastoji iz tri dela:
za [tex]x\lt -1[/tex] — deo prave [tex]y=4-x[/tex] koji ide naviše ulevo od tačke [tex](-1; 5)[/tex]; ta krajnja tačka ne pripada grafiku (prazan kružić), jer [tex]x=-1[/tex] ne zadovoljava [tex]x\lt -1[/tex];
za [tex]-1\le x\lt 2[/tex] — horizontalna duž [tex]y=3[/tex] od pune tačke [tex](-1; 3)[/tex] do tačke [tex](2; 3)[/tex]; posebno, [tex]f(-1)=3[/tex], a ne [tex]5[/tex];
za [tex]x\ge 2[/tex] — poluprava prave [tex]y=x+1[/tex] s početkom u punoj tački [tex](2; 3)[/tex], usmerena naviše udesno.
Presečemo grafik horizontalnom pravom [tex]y=5[/tex]. Na prvom delu:
[tex]4-x=5\Rightarrow x=-1[/tex]
Ta vrednost ne zadovoljava [tex]x\lt -1[/tex] i odbacuje se: prava [tex]y=5[/tex] prolazi tačno kroz praznu tačku [tex](-1; 5)[/tex]. Na drugom delu [tex]f(x)=3\ne 5[/tex], pa rešenja nema. Na trećem delu:
[tex]x+1=5\Rightarrow x=4\ge 2[/tex]
pa je [tex]x=4[/tex] rešenje. Jednačina ima tačno jedno rešenje.