Grafici funkcija - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Iz uslova za površinu je [tex]xy=400[/tex], tj. [tex]y=\frac{400}{x}[/tex] za [tex]x\gt 0[/tex]. Isečeni pravougaonik mora da stane u karton sa stranicama paralelnim stranicama kartona, a može se postaviti na dva načina.
Ako stranica [tex]x[/tex] leži duž stranice dužine [tex]20[/tex], onda je [tex]x\le 20[/tex] i [tex]y\le 40[/tex]:
[tex]x\le 20,\quad \frac{400}{x}\le 40\iff x\ge 10\qquad\Rightarrow\qquad 10\le x\le 20[/tex]
Ako stranica [tex]x[/tex] leži duž stranice dužine [tex]40[/tex], onda je [tex]x\le 40[/tex] i [tex]y\le 20[/tex]:
[tex]x\le 40,\quad \frac{400}{x}\le 20\iff x\ge 20\qquad\Rightarrow\qquad 20\le x\le 40[/tex]
Moguća je svaka vrednost [tex]x[/tex] iz bilo kog od dva slučaja, pa je domen unija dva intervala:
[tex]\left[10; 20\right]\cup\left[20; 40\right]=\left[10; 40\right][/tex]
Grafik je luk hiperbole [tex]y=\frac{400}{x}[/tex] od [tex](10; 40)[/tex] do [tex](40; 10)[/tex]. (Ako se razmotri samo jedan raspored, dobija se [tex]\left[10; 20\right][/tex] ili [tex]\left[20; 40\right][/tex]; ako se zanemari uslov za [tex]y[/tex], dobija se [tex]\left(0; 40\right][/tex].)

Rešenje:
Nacrtamo grafike funkcija [tex]y_1=\left|x\right|[/tex] (ugao s temenom [tex](0; 0)[/tex]) i [tex]y_2=\left|x+1\right|[/tex] (isti ugao pomeren za [tex]1[/tex] jedinicu ulevo, s temenom [tex](-1; 0)[/tex]). Oni su simetrični u odnosu na pravu [tex]x=-\frac{1}{2}[/tex] i seku se samo tamo gde opadajuća grana grafika [tex]y_1[/tex] seče rastuću granu grafika [tex]y_2[/tex]:
[tex]-x=x+1\Rightarrow x=-\frac{1}{2},\quad y=\frac{1}{2}[/tex]
Levo od presečne tačke [tex]\left(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)[/tex] grafik funkcije [tex]y_1[/tex] je iznad grafika funkcije [tex]y_2[/tex] (na primer, za [tex]x=-2[/tex]: [tex]2\gt 1[/tex]), a desno od nje ispod (za [tex]x=0[/tex]: [tex]0\lt 1[/tex]). Nejednačina je stroga, pa se [tex]x=-\frac{1}{2}[/tex], gde su vrednosti jednake, isključuje:
[tex]x\lt -\frac{1}{2}[/tex]
Algebarska provera: obe strane su nenegativne, pa ih možemo kvadrirati:
[tex]x^2\gt x^2+2x+1\iff 2x+1\lt 0\iff x\lt -\frac{1}{2}[/tex]

Rešenje:
Izrazi pod znacima apsolutne vrednosti jednaki su nuli za [tex]x=0[/tex] i [tex]x=1[/tex]; na svakom od tri intervala funkcija je linearna:
[tex]f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-x-(1-x)=-1, & x\lt 0\\ x-(1-x)=2x-1, & 0\le x\lt 1\\ x-(x-1)=1, & x\ge 1\end{array}\right.[/tex]
Grafik se sastoji od horizontalne poluprave [tex]y=-1[/tex] za [tex]x\lt 0[/tex], duži od [tex](0; -1)[/tex] do [tex](1; 1)[/tex] i horizontalne poluprave [tex]y=1[/tex] za [tex]x\ge 1[/tex]. Njegova projekcija na [tex]y[/tex]-osu je zatvoreni interval [tex]\left[-1; 1\right][/tex]; oba kraja se dostižu:
[tex]f(0)=-1,\qquad f(1)=1[/tex]
Ista ocena sledi i iz nejednakosti trougla:
[tex]\left|f(x)\right|=\left|\,\left|x\right|-\left|x-1\right|\,\right|\le\left|x-(x-1)\right|=1[/tex]
Dakle, skup vrednosti je [tex]\left[-1; 1\right][/tex].

Rešenje:
Izračunamo vrednosti na krajevima delova:
[tex]f(1)=3\cdot 1-3=0,\quad 3\cdot 2-3=3=f(2),\quad f(5)=10{,}5-7{,}5=3,\quad f(7)=10{,}5-10{,}5=0[/tex]
Dakle, grafik je duž od [tex](1; 0)[/tex] do [tex](2; 3)[/tex], horizontalna duž od [tex](2; 3)[/tex] do [tex](5; 3)[/tex] i duž od [tex](5; 3)[/tex] do [tex](7; 0)[/tex]. Delovi se nadovezuju, pa je grafik izlomljena linija [tex](1; 0)\to(2; 3)\to(5; 3)\to(7; 0)[/tex], koja leži na [tex]x[/tex]-osi ili iznad nje. Zajedno sa duži od [tex]1[/tex] do [tex]7[/tex] na [tex]x[/tex]-osi ona ograničava trapez sa osnovicama [tex]7-1=6[/tex] i [tex]5-2=3[/tex] i visinom [tex]3[/tex]:
[tex]S=\frac{6+3}{2}\cdot 3=\frac{27}{2}[/tex]
Provera po delovima (dva trougla i pravougaonik):
[tex]S=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 3+3\cdot 3+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3=\frac{3}{2}+9+3=\frac{27}{2}[/tex]

Rešenje:
Funkcija je definisana samo tamo gde je imenilac različit od nule, tj. za [tex]x\ne 0[/tex]. Za takve [tex]x[/tex] možemo skratiti:
[tex]f(x)=\frac{x^3}{x^2}=x,\qquad x\ne 0[/tex]
Dakle, grafik je prava [tex]y=x[/tex] (simetrala prvog i trećeg kvadranta) bez tačke [tex]O(0; 0)[/tex], koja se crta kao prazan kružić.
Horizontalna prava [tex]y=m[/tex] seče pravu [tex]y=x[/tex] u jedinoj tački [tex](m; m)[/tex]. Ta tačka pripada grafiku funkcije [tex]f[/tex] tačno onda kada je [tex]m\ne 0[/tex]. Za [tex]m=0[/tex] prava [tex]y=0[/tex] prolazi kroz izostavljenu tačku, pa jednačina [tex]f(x)=0[/tex] nema rešenja. Dakle,
[tex]m\ne 0[/tex]

Rešenje:
Funkcija ima smisla samo za [tex]a\ne 0[/tex]. Tada je
[tex]y=\frac{-2a-1}{a}\cdot \frac{1}{x}\ \Rightarrow\ k=\frac{-2a-1}{a}=-2-\frac{1}{a}[/tex]
Za ceo broj [tex]a[/tex] broj [tex]k[/tex] je ceo tačno onda kada je [tex]\frac{1}{a}[/tex] ceo broj, tj. za [tex]a=1[/tex] ili [tex]a=-1[/tex]:
[tex]a=1\ \Rightarrow\ k=-3,\ \ y=-\frac{3}{x}\qquad\qquad a=-1\ \Rightarrow\ k=\frac{2-1}{-1}=-1,\ \ y=-\frac{1}{x}[/tex]
Hiperbola [tex]y=\frac{k}{x}[/tex] nalazi se u drugom i četvrtom kvadrantu tačno onda kada je [tex]k\lt 0[/tex] (tada je [tex]y\gt 0[/tex] za [tex]x\lt 0[/tex] i [tex]y\lt 0[/tex] za [tex]x\gt 0[/tex]). Obe vrednosti daju [tex]k\lt 0[/tex], pa su obe rešenja:
[tex]a\in\left\{-1; 1\right\}[/tex]

Rešenje:
Izrazi pod apsolutnim vrednostima menjaju znak za [tex]x=-1[/tex] i [tex]x=\frac{1}{2}[/tex]. Na svakom intervalu oslobađamo se apsolutnih vrednosti:
[tex]x\lt -1:\quad f(x)=-(2x-1)+(x+1)+x+2=4[/tex]
[tex]-1\le x\lt\frac{1}{2}:\quad f(x)=-(2x-1)-(x+1)+x+2=2-2x[/tex]
[tex]x\ge\frac{1}{2}:\quad f(x)=(2x-1)-(x+1)+x+2=2x[/tex]
Dakle, grafik se sastoji od horizontalne poluprave [tex]y=4[/tex] za [tex]x\le -1[/tex], duži od [tex](-1; 4)[/tex] do [tex]\left(\frac{1}{2}; 1\right)[/tex] i poluprave [tex]y=2x[/tex] za [tex]x\ge\frac{1}{2}[/tex]. Najmanja vrednost funkcije je [tex]f\left(\frac{1}{2}\right)=1[/tex].
Neka je [tex]c=k+2[/tex] i pomerajmo horizontalnu pravu [tex]y=c[/tex]. Za [tex]c\lt 1[/tex] nema zajedničkih tačaka; za [tex]c=1[/tex] postoji jedna tačka ([tex]x=\frac{1}{2}[/tex]).
Za [tex]1\lt c\lt 4[/tex] postoje dve tačke: [tex]x=\frac{2-c}{2}\in\left(-1; \frac{1}{2}\right)[/tex] na duži i [tex]x=\frac{c}{2}\gt\frac{1}{2}[/tex] na polupravoj.
Za [tex]c=4[/tex] ima ih beskonačno mnogo (svako [tex]x\le -1[/tex], kao i [tex]x=2[/tex]); za [tex]c\gt 4[/tex] postoji jedna tačka ([tex]x=\frac{c}{2}[/tex]).
Tačno dva rešenja postoje samo za [tex]1\lt c\lt 4[/tex]:
[tex]1\lt k+2\lt 4\ \Leftrightarrow\ -1\lt k\lt 2\ \Leftrightarrow\ k\in\left(-1; 2\right)[/tex]

Rešenje:
Prava [tex]g[/tex] prolazi kroz [tex]B[/tex] i [tex]A[/tex]:
[tex]g(0)=n=\frac{16}{3},\qquad g(8)=8k+\frac{16}{3}=0\ \Rightarrow\ k=-\frac{2}{3},\qquad g(x)=-\frac{2}{3}x+\frac{16}{3}[/tex]
Funkcija [tex]f[/tex]. Ako je [tex]x\ge 1[/tex], onda je [tex]\left|1-x\right|=x-1[/tex] i [tex]3x+1-(x-1)=2x+2\gt 0[/tex], pa je
[tex]f(x)=2x+2-2x=2[/tex]
Ako je [tex]x\lt 1[/tex], onda je [tex]\left|1-x\right|=1-x[/tex] i [tex]3x+1-(1-x)=4x[/tex], pa je [tex]f(x)=\left|4x\right|-2x[/tex]:
[tex]0\le x\lt 1:\ f(x)=4x-2x=2x,\qquad x\lt 0:\ f(x)=-4x-2x=-6x[/tex]
Dakle, grafik funkcije [tex]f[/tex] je poluprava [tex]y=-6x[/tex] za [tex]x\lt 0[/tex], duž od [tex]O(0; 0)[/tex] do [tex]C(1; 2)[/tex] i horizontalna poluprava [tex]y=2[/tex] za [tex]x\ge 1[/tex]. Presečne tačke sa [tex]g[/tex]:
[tex]-6x=-\frac{2}{3}x+\frac{16}{3}\ \Rightarrow\ x=-1\lt 0,\quad P(-1; 6)[/tex]
[tex]2=-\frac{2}{3}x+\frac{16}{3}\ \Rightarrow\ x=5\ge 1,\quad Q(5; 2)[/tex]
Jednačina [tex]2x=-\frac{2}{3}x+\frac{16}{3}[/tex] daje [tex]x=2[/tex], što odbacujemo, jer formula [tex]f(x)=2x[/tex] važi samo za [tex]0\le x\lt 1[/tex].
Grafici se seku samo u tačkama [tex]P[/tex] i [tex]Q[/tex], a za [tex]x=0[/tex] imamo [tex]g(0)=\frac{16}{3}\gt 0=f(0)[/tex], pa za [tex]-1\lt x\lt 5[/tex] prava [tex]g[/tex] leži iznad grafika funkcije [tex]f[/tex]; obe funkcije su tu nenegativne. Ograničena figura ima temena [tex]P(-1; 6)[/tex], [tex]O(0; 0)[/tex], [tex]C(1; 2)[/tex], [tex]Q(5; 2)[/tex], a njena površina jednaka je površini ispod [tex]g[/tex] umanjenoj za površinu ispod [tex]f[/tex] na intervalu [tex]\left[-1; 5\right][/tex].
Ispod [tex]g[/tex]: trapez sa osnovicama [tex]g(-1)=6[/tex] i [tex]g(5)=2[/tex] i visinom [tex]6[/tex]. Ispod [tex]f[/tex]: dva trougla i pravougaonik:
[tex]S_g=\frac{6+2}{2}\cdot 6=24,\qquad S_f=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 6+\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2+4\cdot 2=3+1+8=12[/tex]
[tex]S=S_g-S_f=24-12=12[/tex]