Grafici funkcija - veoma teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Zajednička tačka ima apscisu [tex]x\ne 0[/tex] za koju je [tex]f(x)=g(x)[/tex].
Slučaj [tex]x\lt 0[/tex]. Tada je
[tex]f(x)=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\gt 0,\qquad g(x)=\frac{1}{x}\lt 0[/tex]
tj. parabola je iznad ose [tex]Ox[/tex], a leva grana hiperbole ispod nje: nema zajedničkih tačaka.
Slučaj [tex]x\gt 0[/tex]. Posmatrajmo funkciju
[tex]h(x)=f(x)-g(x)=x^2+x+1-\frac{1}{x}[/tex]
Na intervalu [tex]\left(0; +\infty\right)[/tex] funkcije [tex]x^2[/tex], [tex]x[/tex] i [tex]-\frac{1}{x}[/tex] su rastuće, pa je [tex]h[/tex] strogo rastuća i tu ima najviše jednu nulu. (Grafički: parabola raste, a ta grana hiperbole opada, pa se seku najviše jednom.)
Postojanje nule:
[tex]h\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1-2=-\frac{1}{4}\lt 0,\qquad h(1)=1+1+1-1=2\gt 0[/tex]
Funkcija [tex]h[/tex] je neprekidna na [tex]\left[\frac{1}{2}; 1\right][/tex], pa ima nulu u nekoj tački [tex]x_0[/tex] za koju je [tex]\frac{1}{2}\lt x_0\lt 1[/tex] (tj. [tex]x_0[/tex] je koren jednačine [tex]x^3+x^2+x-1=0[/tex] u tom intervalu).
Dakle, dva grafika imaju tačno jednu zajedničku tačku [tex]\left(x_0; \frac{1}{x_0}\right)[/tex] i ona leži u prvom kvadrantu.

Rešenje:
Izrazi pod apsolutnim vrednostima jednaki su nuli u tačkama [tex]0\lt a\lt b\lt a+b[/tex]. Za [tex]0\le x\le a+b[/tex] je
[tex]g(x)=x+(a+b-x)=a+b[/tex]
tj. tu je grafik funkcije [tex]g[/tex] horizontalna duž. Za [tex]f[/tex]:
[tex]0\le x\le a:\quad f(x)=(a-x)+(b-x)=a+b-2x[/tex]
[tex]a\le x\le b:\quad f(x)=(x-a)+(b-x)=b-a[/tex]
[tex]b\le x\le a+b:\quad f(x)=(x-a)+(x-b)=2x-a-b[/tex]
Grafik funkcije [tex]f[/tex] spušta se od [tex](0; a+b)[/tex] do [tex](a; b-a)[/tex], ostaje horizontalan do [tex](b; b-a)[/tex] i penje se do [tex](a+b; a+b)[/tex]. Dakle, na [tex]\left[0; a+b\right][/tex] grafici se sreću samo u krajnjim tačkama, a između njih je [tex]f\lt g[/tex].
Ograničena figura je odozgo ograničena duži [tex]y=a+b[/tex], a odozdo ovom izlomljenom linijom. To je jednakokraki trapez sa osnovicama [tex]a+b[/tex] i [tex]b-a[/tex] i visinom [tex](a+b)-(b-a)=2a[/tex]:
[tex]S=\frac{(a+b)+(b-a)}{2}\cdot 2a=b\cdot 2a=2ab[/tex]
Provera po delovima: dva trougla površine [tex]\frac{1}{2}\cdot a\cdot 2a=a^2[/tex] svaki i pravougaonik površine [tex](b-a)\cdot 2a[/tex]:
[tex]2a^2+2a(b-a)=2a^2+2ab-2a^2=2ab[/tex]

Rešenje:
Rešenja su apscise zajedničkih tačaka sinusoide [tex]y=\sin x[/tex] i prave [tex]y=\frac{x}{13}[/tex]. Obe funkcije su neparne, pa su rešenja simetrična u odnosu na [tex]0[/tex]: [tex]x=0[/tex] je rešenje i dovoljno je prebrojati pozitivna rešenja i udvostručiti njihov broj.
Pošto je [tex]\left|\sin x\right|\le 1[/tex], svako rešenje zadovoljava [tex]\left|x\right|\le 13[/tex]. Za [tex]x\gt 0[/tex] na intervalima [tex]\left[\pi; 2\pi\right][/tex] i [tex]\left[3\pi; 4\pi\right][/tex] je [tex]\sin x\le 0\lt\frac{x}{13}[/tex], pa tu nema rešenja. Primetimo da je [tex]4\pi\lt 13\lt\frac{9\pi}{2}[/tex], jer je [tex]\frac{26}{9}\lt\pi\lt\frac{13}{4}[/tex].
Neka je [tex]h(x)=\sin x-\frac{x}{13}[/tex]. Tamo gde je [tex]\sin x\gt 0[/tex] imamo [tex]h''(x)=-\sin x\lt 0[/tex], pa je tu [tex]h[/tex] konkavna i ima najviše dve nule na svakom takvom intervalu (prava seče svaki luk sinusoide u najviše dve tačke).
Na intervalu [tex]\left[0; \pi\right][/tex]:
[tex]h(0)=0,\qquad h'(0)=1-\frac{1}{13}\gt 0,\qquad h(\pi)=-\frac{\pi}{13}\lt 0[/tex]
Sinusoida počinje iznad prave i završava ispod nje, pa osim [tex]x=0[/tex] postoji nula u [tex]\left(0; \pi\right)[/tex], a pošto [tex]h[/tex] ima najviše dve nule na [tex]\left[0; \pi\right][/tex], u [tex]\left(0; \pi\right)[/tex] postoji tačno jedno rešenje.
Na intervalu [tex]\left[2\pi; 3\pi\right][/tex] (koristimo [tex]5\pi\lt 26[/tex]):
[tex]h(2\pi)=-\frac{2\pi}{13}\lt 0,\qquad h\left(\frac{5\pi}{2}\right)=1-\frac{5\pi}{26}\gt 0,\qquad h(3\pi)=-\frac{3\pi}{13}\lt 0[/tex]
pa postoji nula u svakom od intervala [tex]\left(2\pi; \frac{5\pi}{2}\right)[/tex] i [tex]\left(\frac{5\pi}{2}; 3\pi\right)[/tex], a ukupno najviše dve: tačno dva rešenja.
Na intervalu [tex]\left[4\pi; 13\right][/tex], koristeći [tex]\sin t\le t[/tex] za [tex]t\ge 0[/tex] i [tex]\frac{25}{8}\lt\pi[/tex]:
[tex]\sin x=\sin (x-4\pi)\le x-4\pi\le 13-4\pi\lt\frac{1}{2}\lt\frac{12}{13}\lt\frac{4\pi}{13}\le\frac{x}{13}[/tex]
pa tu nema rešenja. Dakle, postoje [tex]1+2=3[/tex] pozitivna rešenja, [tex]3[/tex] negativna i [tex]x=0[/tex]:
[tex]3+3+1=7[/tex]