Racionalni izrazi i racionalne jednačine - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Svaki imenilac mora biti različit od nule:
[tex]x^2-4=(x-2)(x+2)\ne 0\ \Rightarrow\ x\ne 2,\ x\ne -2[/tex]
[tex]x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\ne 0\ \Rightarrow\ x\ne -1,\ x\ne -2[/tex]
[tex]x+4\ne 0\ \Rightarrow\ x\ne -4[/tex]
Osim toga, delimo razlomkom [tex]\frac{x-4}{x+4}[/tex], pa i taj delilac mora biti različit od nule (kada deljenje zamenimo množenjem, [tex]x-4[/tex] postaje imenilac):
[tex]x-4\ne 0\ \Rightarrow\ x\ne 4[/tex]
Dakle, dozvoljeni su svi realni brojevi [tex]x[/tex] osim [tex]-4[/tex], [tex]-2[/tex], [tex]-1[/tex], [tex]2[/tex] i [tex]4[/tex]:
[tex]x\in\mathbb{R}\setminus\{-4; \,-2; \,-1; \,2; \,4\}[/tex]

Rešenje:
Rastavimo brojioce i imenioce na činioce:
[tex]a^2-b^2=(a-b)(a+b),\qquad a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/tex]
Pošto je [tex]a\ne b[/tex], oba razlomka skraćujemo sa [tex]a-b[/tex]:
[tex]\frac{(a-b)(a+b)}{a-b}=a+b,\qquad \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{(a-b)(a+b)}=\frac{a^2+ab+b^2}{a+b}[/tex]
Svodimo na zajednički imenilac [tex]a+b[/tex], koji je različit od nule jer je [tex]a\ne -b[/tex]:
[tex]a+b-\frac{a^2+ab+b^2}{a+b}=\frac{(a+b)^2-(a^2+ab+b^2)}{a+b}=\frac{a^2+2ab+b^2-a^2-ab-b^2}{a+b}=\frac{ab}{a+b}[/tex]

Rešenje:
Oblast definisanosti: [tex]x\ne\pm 2[/tex]. Promenimo znake u razlomku na desnoj strani:
[tex]\frac{24-x^2}{4-x^2}=\frac{x^2-24}{x^2-4}=\frac{x^2-24}{(x-2)(x+2)}[/tex]
Pomnožimo obe strane sa [tex](x-2)(x+2)\ne 0[/tex]:
[tex]5(x-2)-3(x+2)=x^2-24\ \Rightarrow\ 2x-16=x^2-24\ \Rightarrow\ x^2-2x-8=0\ \Rightarrow\ (x-4)(x+2)=0[/tex]
Vrednost [tex]x=-2[/tex] anulira imenioce, pa je to strano rešenje i odbacujemo ga. Vrednost [tex]x=4[/tex] je dozvoljena. Provera:
[tex]\frac{5}{6}-\frac{3}{2}=-\frac{2}{3},\qquad \frac{24-16}{4-16}=\frac{8}{-12}=-\frac{2}{3}[/tex]
Jedino rešenje je [tex]x=4[/tex].

Rešenje:
Rastavimo imenilac: [tex]x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)[/tex]. Drugi činilac je pozitivan za svako [tex]x[/tex], jer je
[tex]x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\gt 0[/tex]
pa je jedino ograničenje [tex]x\ne -1[/tex]. Množenjem obe strane zajedničkim imeniocem [tex](x+1)(x^2-x+1)[/tex] dobijamo
[tex]2x-1+(x^2-x+1)=2(x+1)\ \Rightarrow\ x^2+x=2x+2\ \Rightarrow\ x^2-x-2=0[/tex]
Njena rešenja su [tex]x=2[/tex] i [tex]x=-1[/tex]. Vrednost [tex]x=-1[/tex] anulira imenioce [tex]x+1[/tex] i [tex]x^3+1[/tex], pa je to strano rešenje i odbacujemo ga. Provera za [tex]x=2[/tex]:
[tex]\frac{3}{9}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3},\qquad \frac{2}{4-2+1}=\frac{2}{3}[/tex]
Jednačina ima jedinstveno rešenje [tex]x=2[/tex].

Rešenje:
Oblast definisanosti: [tex]y^2-9\ne 0[/tex], tj. [tex]y\ne\pm 3[/tex]. Pomnožimo obe strane sa [tex](y-3)(y+3)\ne 0[/tex]:
[tex](y+1)(y+3)-(y-1)(y-3)=8y[/tex]
[tex](y^2+4y+3)-(y^2-4y+3)=8y\ \Rightarrow\ 8y=8y[/tex]
Ovo važi za svako [tex]y[/tex], tj. jednačina je identitet na svojoj oblasti definisanosti: svaka dozvoljena vrednost [tex]y[/tex] je rešenje, dok [tex]y=\pm 3[/tex] nisu rešenja jer razlomci tada nisu definisani. Dakle,
[tex]y\in\mathbb{R}\setminus\{-3; \,3\}[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]n[/tex] broj dana za koje je učenik pročitao knjigu; tada je čitao po [tex]\frac{240}{n}[/tex] strana dnevno. Sa [tex]4[/tex] strane dnevno više trebalo bi mu [tex]n-2[/tex] dana (dakle [tex]n\gt 2[/tex]), tj. čitao bi po [tex]\frac{240}{n-2}[/tex] strana dnevno. Zato je
[tex]\frac{240}{n-2}=\frac{240}{n}+4[/tex]
Pomnožimo sa [tex]n(n-2)\ne 0[/tex]:
[tex]240n=240(n-2)+4n(n-2)\ \Rightarrow\ 4n^2-8n-480=0\ \Rightarrow\ n^2-2n-120=0[/tex]
Rešenja su [tex]n=12[/tex] i [tex]n=-10[/tex]; broj dana ne može biti negativan, pa je [tex]n=12[/tex]. Provera: [tex]\frac{240}{12}=20[/tex] strana dnevno, a sa [tex]24[/tex] strane dnevno knjiga se pročita za [tex]\frac{240}{24}=10=12-2[/tex] dana. Učenik je pročitao knjigu za [tex]12[/tex] dana.

Rešenje:
Oblast definisanosti: imenioci su različiti od nule, tj. [tex]x\ne 0[/tex], [tex]y\ne x[/tex], [tex]y\ne -x[/tex] i [tex]y\ne 2x[/tex]. Prva zagrada:
[tex]1+\frac{x^2-xy+y^2}{x^2-y^2}=\frac{x^2-y^2+x^2-xy+y^2}{x^2-y^2}=\frac{2x^2-xy}{x^2-y^2}=\frac{x(2x-y)}{x^2-y^2}[/tex]
Druga zagrada:
[tex]\frac{3x}{2x-y}-\frac{2x+y}{x}=\frac{3x^2-(2x+y)(2x-y)}{x(2x-y)}=\frac{3x^2-4x^2+y^2}{x(2x-y)}=-\frac{x^2-y^2}{x(2x-y)}[/tex]
Množenjem dobijamo
[tex]A=\frac{x(2x-y)}{x^2-y^2}\cdot \left(-\frac{x^2-y^2}{x(2x-y)}\right)=-1[/tex]
Dakle, za sve dozvoljene vrednosti izraz je jednak [tex]-1[/tex].

Rešenje:
Iz [tex]\frac{b}{a}=-\frac{1}{2}[/tex] sledi [tex]a=-2b[/tex], pri čemu je [tex]b\ne 0[/tex]; tada je [tex]a-b=-3b\ne 0[/tex] i [tex]a+b=-b\ne 0[/tex], pa je izraz definisan. Rastavimo na činioce:
[tex]a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2),\qquad ab^4-b^5=b^4(a-b)[/tex]
[tex]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b)[/tex]
Dakle, izraz je jednak
[tex]\frac{(a+b)(a^2+b^2)}{b^4}\cdot \frac{a^2+ab+b^2}{a+b}=\frac{(a^2+b^2)(a^2+ab+b^2)}{b^4}=\left(\frac{a^2}{b^2}+1\right)\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a}{b}+1\right)[/tex]
Ovde je [tex]\frac{a}{b}=-2[/tex] (a ne [tex]-\frac{1}{2}[/tex]), pa je vrednost
[tex](4+1)(4-2+1)=5\cdot 3=15[/tex]