Racionalni izrazi i racionalne jednačine - veoma teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Pošto su [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] različiti, svi imenioci su konstante različite od nule. Posmatrajmo
[tex]P(x)=\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}-1[/tex]
To je polinom po [tex]x[/tex] stepena najviše [tex]2[/tex]. Za [tex]x=a[/tex] prvi razlomak je jednak [tex]1[/tex], a druga dva sadrže činilac [tex]x-a=0[/tex], pa je
[tex]P(a)=\frac{(a-b)(a-c)}{(a-b)(a-c)}+0+0-1=1-1=0[/tex]
Analogno, za [tex]x=b[/tex] samo drugi razlomak je različit od nule i jednak je [tex]1[/tex], a za [tex]x=c[/tex] samo treći razlomak je različit od nule i jednak je [tex]1[/tex]. Prema tome, [tex]P(b)=P(c)=0[/tex].
Dakle, [tex]P[/tex] ima tri različita korena [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex]. Polinom različit od nule stepena najviše [tex]2[/tex] ima najviše dva korena, pa je [tex]P[/tex] nula-polinom, tj. [tex]P(x)=0[/tex] za svako [tex]x[/tex]. To znači da data jednakost važi za svaki realan broj [tex]x[/tex].

Rešenje:
Uvedimo [tex]p=\frac{1}{a}[/tex], [tex]q=\frac{1}{b}[/tex], [tex]r=\frac{1}{c}[/tex]. Tada je [tex]p+q+r=0[/tex] i [tex]pqr=\frac{1}{abc}[/tex]. Najpre pokažimo da je [tex]p^3+q^3+r^3=3pqr[/tex]. Zaista, [tex]r=-(p+q)[/tex], pa je
[tex]r^3=-(p+q)^3=-p^3-q^3-3pq(p+q)=-p^3-q^3+3pqr\ \Rightarrow\ p^3+q^3+r^3=3pqr[/tex]
Osim toga,
[tex]\frac{bc}{a^2}=\frac{abc}{a^3}=abc\,p^3,\qquad \frac{ca}{b^2}=\frac{abc}{b^3}=abc\,q^3,\qquad \frac{ab}{c^2}=\frac{abc}{c^3}=abc\,r^3[/tex]
Prema tome,
[tex]\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=abc\left(p^3+q^3+r^3\right)=3abc\,pqr=\frac{3abc}{abc}=3[/tex]
što je i trebalo dokazati.

Rešenje:
Domen: [tex]x\ne -1[/tex]. Uvedimo oznake
[tex]A=\frac{x(19-x)}{x+1},\qquad B=x+\frac{19-x}{x+1}=\frac{x^2+19}{x+1}[/tex]
Tada za svako dozvoljeno [tex]x[/tex] važi
[tex]A+B=\frac{19x-x^2+x^2+19}{x+1}=\frac{19(x+1)}{x+1}=19[/tex]
a jednačina glasi [tex]AB=84[/tex]. Prema tome, [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex] su koreni jednačine [tex]z^2-19z+84=0[/tex], tj. [tex]\left\{A; B\right\}=\left\{7; 12\right\}[/tex]. Pošto [tex]A=19-B[/tex] važi automatski, dovoljno je zahtevati [tex]B=7[/tex] ili [tex]B=12[/tex].
Ako je [tex]B=7[/tex]:
[tex]x^2+19=7x+7\ \Rightarrow\ x^2-7x+12=0\ \Rightarrow\ x=3\text{ ili }x=4[/tex]
Ako je [tex]B=12[/tex]:
[tex]x^2+19=12x+12\ \Rightarrow\ x^2-12x+7=0\ \Rightarrow\ x=6\pm\sqrt{29}[/tex]
Nijedan od četiri broja nije jednak [tex]-1[/tex], pa su svi oni koreni jednačine: [tex]x_1=3; \ x_2=4; \ x_{3,4}=6\pm\sqrt{29}[/tex].

Rešenje:
Domen: [tex]x\ne -2[/tex]. Imenioci na levoj strani su pozitivni, jer je
[tex]x^2+2x+2013=(x+1)^2+2012,\quad x^2+2x+2014=(x+1)^2+2013,\quad x^2+2x+2015=(x+1)^2+2014[/tex]
Zato je svaki razlomak na levoj strani najviše [tex]1[/tex]:
[tex]\frac{2012}{(x+1)^2+2012}\le 1,\qquad \frac{2013}{(x+1)^2+2013}\le 1,\qquad \frac{2014}{(x+1)^2+2014}\le 1[/tex]
pa je leva strana najviše [tex]3[/tex], pri čemu jednakost važi samo za [tex](x+1)^2=0[/tex], tj. [tex]x=-1[/tex]. Na desnoj strani uvedimo [tex]w=(x+2)^2\gt 0[/tex]:
[tex]\frac{(x+2)^4+(x+2)^2+1}{(x+2)^2}=\frac{w^2+w+1}{w}=w+\frac{1}{w}+1=3+\frac{(w-1)^2}{w}\ge 3[/tex]
pri čemu jednakost važi samo za [tex]w=1[/tex], tj. za [tex]x=-1[/tex] ili [tex]x=-3[/tex]. Dakle, leva strana [tex]\le 3\le[/tex] desna strana, pa jednačina važi samo ako su obe strane jednake [tex]3[/tex]. To zahteva [tex]x=-1[/tex]; za [tex]x=-3[/tex] leva strana je manja od [tex]3[/tex].
Provera: za [tex]x=-1[/tex] leva strana je [tex]1+1+1=3[/tex], a desna [tex]\frac{1+1+1}{1}=3[/tex]. Jednačina ima jedinstveno rešenje [tex]x=-1[/tex].

Rešenje:
Pošto su [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] različiti od nule, pomnožimo svaku jednakost njenim imeniocem:
[tex]ab=bt-1,\qquad bc=ct-1,\qquad ca=at-1[/tex]
Pomnožimo prvu jednakost sa [tex]c[/tex] i iskoristimo drugu:
[tex]abc=bct-c=(ct-1)t-c=ct^2-t-c\ \Rightarrow\ abc+t=c\left(t^2-1\right)[/tex]
Pomnožimo drugu jednakost sa [tex]a[/tex] i iskoristimo treću:
[tex]abc=cat-a=(at-1)t-a=at^2-t-a\ \Rightarrow\ abc+t=a\left(t^2-1\right)[/tex]
Upoređivanjem ova dva rezultata dobijamo [tex]c\left(t^2-1\right)=a\left(t^2-1\right)[/tex], tj. [tex](c-a)\left(t^2-1\right)=0[/tex]. Pošto je [tex]a\ne c[/tex], sledi [tex]t^2=1[/tex], pa je
[tex]abc+t=c\left(t^2-1\right)=0[/tex]
što je i trebalo dokazati.

Rešenje:
Najpre pokažimo da su dva od tih brojeva suprotna. Zapišimo uslov u obliku
[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}\ \Rightarrow\ \frac{a+b}{ab}=\frac{c-(a+b+c)}{c(a+b+c)}=-\frac{a+b}{c(a+b+c)}[/tex]
Prema tome,
[tex](a+b)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c(a+b+c)}\right)=0\ \Rightarrow\ \frac{(a+b)\left(c(a+b+c)+ab\right)}{abc(a+b+c)}=0[/tex]
Pošto je [tex]c(a+b+c)+ab=c^2+ca+cb+ab=(c+a)(c+b)[/tex], dobijamo
[tex](a+b)(b+c)(c+a)=0[/tex]
I uslov i tvrđenje su simetrični u odnosu na [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex], pa možemo pretpostaviti da je [tex]a+b=0[/tex], tj. [tex]b=-a[/tex]. Za neparno [tex]n[/tex] je [tex]b^n=(-a)^n=-a^n[/tex], pa je leva strana
[tex]\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n}-\frac{1}{a^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{c^n}[/tex]
Na desnoj strani je [tex]a^n+b^n+c^n=a^n-a^n+c^n=c^n\ne 0[/tex], pa je i desna strana jednaka [tex]\frac{1}{c^n}[/tex]. Dakle, jednakost važi za svaki neparan prirodan broj [tex]n[/tex].

Rešenje:
Domen: [tex]x\notin\left\{2; 3; 4; 5\right\}[/tex]. Dodajmo [tex]1[/tex] svakom razlomku. Pošto razlomci učestvuju sa znakovima [tex]+[/tex], [tex]-[/tex], [tex]+[/tex], [tex]-[/tex], dodate jedinice se poništavaju, a kako je [tex]\frac{x-7}{x-5}+1=\frac{2(x-6)}{x-5}[/tex] (i analogno za ostale razlomke), jednačina postaje
[tex]2(x-6)\left(\frac{1}{x-5}-\frac{1}{x-4}+\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}\right)=x-6[/tex]
Jedan koren je [tex]x=6[/tex] (pripada domenu). Za [tex]x\ne 6[/tex] delimo sa [tex]x-6[/tex] i grupišemo razlomke:
[tex]2\left(\frac{1}{x-5}-\frac{1}{x-2}\right)+2\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}\right)=1\ \Rightarrow\ \frac{6}{x^2-7x+10}-\frac{2}{x^2-7x+12}=1[/tex]
Uvedimo smenu [tex]k=x^2-7x+11[/tex]; tada je [tex]x^2-7x+10=k-1[/tex], [tex]x^2-7x+12=k+1[/tex], a u domenu je [tex]k\ne\pm 1[/tex]:
[tex]\frac{6}{k-1}-\frac{2}{k+1}=1\ \Rightarrow\ 6(k+1)-2(k-1)=k^2-1\ \Rightarrow\ k^2-4k-9=0\ \Rightarrow\ k=2\pm\sqrt{13}[/tex]
Za [tex]k=2+\sqrt{13}[/tex] dobijamo [tex]x^2-7x+9-\sqrt{13}=0[/tex] sa diskriminantom [tex]13+4\sqrt{13}\gt 0[/tex], tj. dva realna korena [tex]x=\frac{7\pm\sqrt{13+4\sqrt{13}}}{2}[/tex].
Za [tex]k=2-\sqrt{13}[/tex] dobijamo [tex]x^2-7x+9+\sqrt{13}=0[/tex] sa diskriminantom [tex]13-4\sqrt{13}=\sqrt{13}\left(\sqrt{13}-4\right)\lt 0[/tex], pa realnih korena nema.
Za dva nova korena [tex]x^2-7x=\sqrt{13}-9[/tex] je iracionalan broj, dok je za [tex]x\in\left\{2; 3; 4; 5; 6\right\}[/tex] broj [tex]x^2-7x[/tex] ceo. Prema tome, ti koreni pripadaju domenu i različiti su od [tex]6[/tex]. Dakle, jednačina ima [tex]3[/tex] realna korena.