Numeričke metode - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Njutnova metoda koristi sledeću iteraciju, koja zahteva [tex]f'(x_k)\ne 0[/tex]:
[tex]x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}[/tex]
Ovde je [tex]f'(x)=3x^2-1[/tex], pa je
[tex]f(2)=8-2=6,\qquad f'(2)=12-1=11\ne 0[/tex]
Prema tome,
[tex]x_1=2-\frac{6}{11}=\frac{16}{11}\approx 1{,}4545[/tex]
Korak vodi od [tex]x_0=2[/tex] ka korenu [tex]x=1[/tex] jednačine, kao što se i očekuje.

Rešenje:
Neka je [tex]f(x)=x^3+x-4[/tex]. Funkcija je neprekidna, [tex]f(1)=-2\lt 0[/tex] i [tex]f(4)=64\gt 0[/tex], pa prema Bolcanovoj teoremi postoji koren u [tex][1; 4][/tex]; pošto je [tex]f'(x)=3x^2+1\gt 0[/tex], funkcija je strogo rastuća i koren je jedinstven.
Svaki korak metode polovi tekući interval i zadržava onu polovinu na čijim krajevima [tex]f[/tex] ima suprotne znake. Zato posle [tex]n[/tex] koraka koren leži u intervalu dužine
[tex]\frac{4-1}{2^n}=\frac{3}{2^n}[/tex]
Potrebno je
[tex]\frac{3}{2^n}\lt 0{,}01\iff 2^n\gt 300[/tex]
Pošto je [tex]2^8=256\lt 300[/tex] i [tex]2^9=512\gt 300[/tex], najmanje takvo [tex]n[/tex] je [tex]9[/tex].

Rešenje:
Algebarski stepen tačnosti je najveće [tex]m[/tex] za koje je formula tačna za svaki polinom stepena [tex]\le m[/tex]. Obe strane su linearne po [tex]f[/tex], pa je dovoljno proveriti monome [tex]1,\ x,\ x^2,\ \ldots[/tex] do prvog neslaganja:
[tex]f=1:\quad \int_0^1 1\,dx=1,\qquad \frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1[/tex]
[tex]f=x:\quad \int_0^1 x\,dx=\frac{1}{2},\qquad \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]f=x^2:\quad \int_0^1 x^2\,dx=\frac{1}{3},\qquad \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{9}+\frac{1}{4}=\frac{1}{12}+\frac{3}{12}=\frac{1}{3}[/tex]
[tex]f=x^3:\quad \int_0^1 x^3\,dx=\frac{1}{4},\qquad \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{27}+\frac{1}{4}=\frac{1}{36}+\frac{9}{36}=\frac{5}{18}\ne\frac{1}{4}[/tex]
Dakle, formula je tačna za sve polinome stepena [tex]\le 2[/tex], ali ne i za [tex]x^3[/tex], pa je njen algebarski stepen tačnosti [tex]2[/tex].