Numeričke metode - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Za [tex]f\in C^2[a; b][/tex] ostatak složene trapezne formule sa [tex]m[/tex] jednakih podintervala dužine [tex]h=\frac{b-a}{m}[/tex] jednak je
[tex]R=-\frac{(b-a)h^2}{12}f''(\xi)=-\frac{(b-a)^3}{12m^2}f''(\xi),\qquad \xi\in(a; b)[/tex]
Funkcija [tex]f(x)=\frac{1}{x+2}[/tex] je glatka na [tex][1; 11][/tex], jer je tamo [tex]x+2\gt 0[/tex], i
[tex]f'(x)=-\frac{1}{(x+2)^2},\qquad f''(x)=\frac{2}{(x+2)^3}[/tex]
Drugi izvod je pozitivan i opadajući na [tex][1; 11][/tex], pa je
[tex]M_2=\max_{[1; 11]}|f''(x)|=f''(1)=\frac{2}{27}[/tex]
Za [tex]b-a=10[/tex] i [tex]m=5[/tex] (korak [tex]h=2[/tex]):
[tex]|R|\le\frac{10^3}{12\cdot 25}\cdot \frac{2}{27}=\frac{10}{3}\cdot \frac{2}{27}=\frac{20}{81}\approx 0{,}247[/tex]
Provera: trapezna formula daje [tex]\frac{1}{3}+2\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}\right)+\frac{1}{13}\approx 1{,}5000[/tex], a tačna vrednost je [tex]\ln\frac{13}{3}\approx 1{,}4663[/tex]; stvarna greška [tex]\approx 0{,}034[/tex] zaista je u granicama ocene.

Rešenje:
Prema Tejlorovoj formuli sa ostatkom u Lagranžovom obliku, za svako [tex]x[/tex] postoji tačka [tex]\xi[/tex] između [tex]0[/tex] i [tex]x[/tex] takva da je
[tex]e^x=T_6(x)+\frac{f^{(7)}(\xi)}{7!}x^7[/tex]
Pošto je [tex]f^{(7)}(x)=e^x[/tex], greška je
[tex]|e^x-T_6(x)|=\frac{e^{\xi}|x|^7}{7!}[/tex]
Za [tex]x\in[-1; 1][/tex] tačka [tex]\xi[/tex] takođe leži u [tex][-1; 1][/tex], a pošto je [tex]e^x[/tex] rastuća funkcija, [tex]e^{\xi}\le e[/tex]; osim toga, [tex]|x|^7\le 1[/tex]. Prema tome,
[tex]|e^x-T_6(x)|\le\frac{e}{7!}=\frac{e}{5040}\approx 5{,}4\cdot 10^{-4}[/tex]
Na primer, [tex]T_6(1)=\frac{1957}{720}\approx 2{,}71806[/tex] aproksimira [tex]e\approx 2{,}71828[/tex] sa stvarnom greškom [tex]\approx 2{,}3\cdot 10^{-4}[/tex], koja je u granicama ocene. Činilac [tex]e^{\xi}[/tex] ne sme da se izostavi: ocena [tex]\frac{1}{7!}\approx 1{,}98\cdot 10^{-4}[/tex] nije tačna za [tex]x=1[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]\varphi(x)=1+0{,}5\sin x[/tex], tj. [tex]x_{k+1}=\varphi(x_k)[/tex]. Prema Lagranžovoj teoremi o srednjoj vrednosti, za sve [tex]a,b\in\mathbb{R}[/tex] postoji [tex]c[/tex] između njih takvo da je [tex]\varphi(a)-\varphi(b)=0{,}5\cos c\,(a-b)[/tex]. Pošto je [tex]|\cos c|\le 1[/tex],
[tex]|\varphi(a)-\varphi(b)|\le\frac{1}{2}|a-b|[/tex]
tj. [tex]\varphi[/tex] je kontrakcija sa konstantom [tex]q=\frac{1}{2}\lt 1[/tex]. Zato je
[tex]|x_{k+1}-x_k|=|\varphi(x_k)-\varphi(x_{k-1})|\le\frac{1}{2}|x_k-x_{k-1}|\le\ldots\le\frac{1}{2^k}|x_1-x_0|[/tex]
Za [tex]p\gt k[/tex] nejednakost trougla daje
[tex]|x_p-x_k|\le\sum_{j=k}^{p-1}|x_{j+1}-x_j|\le|x_1-x_0|\sum_{j=k}^{\infty}\frac{1}{2^j}=\frac{|x_1-x_0|}{2^{k-1}}[/tex]
što teži ka [tex]0[/tex] kada [tex]k\to\infty[/tex]. Dakle, [tex](x_k)[/tex] je Košijev niz i, zbog kompletnosti skupa [tex]\mathbb{R}[/tex], konvergira ka nekom [tex]\xi[/tex]. Pošto je [tex]\varphi[/tex] neprekidna, prelaskom na graničnu vrednost kada [tex]k\to\infty[/tex] u [tex]x_{k+1}=\varphi(x_k)[/tex] dobijamo
[tex]\xi=\varphi(\xi)=1+0{,}5\sin \xi[/tex]
pa je granična vrednost koren jednačine. Osim toga, koren je jedinstven: ako je i [tex]\eta=\varphi(\eta)[/tex], onda je [tex]|\xi-\eta|=|\varphi(\xi)-\varphi(\eta)|\le\frac{1}{2}|\xi-\eta|[/tex], odakle sledi [tex]\xi=\eta[/tex]. Prema tome, svaka početna aproksimacija vodi ka istom korenu [tex]\xi\approx 1{,}4987[/tex].