Bernulijeva šema i binomna verovatnoća - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Pošto se kuglica posle svakog izvlačenja vraća, [tex]10[/tex] izvlačenja su nezavisna ponavljanja istog eksperimenta. U jednom izvlačenju crvena kuglica se izvlači sa verovatnoćom [tex]p=\frac{1}{3}[/tex], pa se ne izvlači sa verovatnoćom
[tex]q=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}[/tex]
Crvena kuglica nijednom nije izvučena tačno onda kada se to desi u svih [tex]10[/tex] izvlačenja (nula uspeha u Bernulijevoj šemi sa [tex]n=10[/tex], [tex]p=\frac{1}{3}[/tex]), pa je
[tex]P=q^{10}=\left(\frac{2}{3}\right)^{10}=\frac{1024}{59049}\approx 0{,}0173[/tex]

Rešenje:
Svako dete je nezavisan eksperiment sa verovatnoćom uspeha (plavokoso dete) [tex]p=\frac{1}{3}[/tex] i verovatnoćom neuspeha [tex]q=\frac{2}{3}[/tex]. To je Bernulijeva šema sa [tex]n=4[/tex] eksperimenta, a tražimo tačno [tex]k=2[/tex] uspeha. Dvoje plavokose dece može se izabrati na [tex]\binom{4}{2}=6[/tex] načina, i svaki takav izbor ima verovatnoću [tex]p^2q^2[/tex]. Dakle,
[tex]P_4(2)=\binom{4}{2}p^2q^2=6\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{4}{9}=\frac{24}{81}=\frac{8}{27}[/tex]

Rešenje:
Partije su nezavisni eksperimenti, u svakom od kojih prvi šahista pobeđuje sa verovatnoćom [tex]p=\frac{1}{2}[/tex], pa važi Bernulijeva formula:
[tex]P_n(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=\frac{\binom{n}{k}}{2^n}[/tex]
Odatle je
[tex]P_4(3)=\frac{\binom{4}{3}}{2^4}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4},\qquad P_8(5)=\frac{\binom{8}{5}}{2^8}=\frac{56}{256}=\frac{7}{32}[/tex]
Pošto je [tex]\frac{1}{4}=\frac{8}{32}\gt\frac{7}{32}[/tex], verovatnije je dobiti tačno [tex]3[/tex] od [tex]4[/tex] partije. Primetimo da su [tex]\frac{3}{4}[/tex] i [tex]\frac{5}{8}[/tex] samo udeli dobijenih partija, a ne verovatnoće.

Rešenje:
Provera [tex]6[/tex] proizvoda je niz od [tex]n=6[/tex] nezavisnih eksperimenata, od kojih je svaki uspeh (kvalitetan proizvod) sa verovatnoćom [tex]p=0{,}9[/tex] i neuspeh sa verovatnoćom [tex]q=0{,}1[/tex]. Mesta [tex]4[/tex] kvalitetna proizvoda mogu se izabrati na [tex]\binom{6}{4}=15[/tex] načina, a svaki takav raspored ima verovatnoću [tex]p^4q^2[/tex]. Prema Bernulijevoj formuli
[tex]P_6(4)=\binom{6}{4}p^4q^2=15\cdot 0{,}6561\cdot 0{,}01=0{,}098415[/tex]

Rešenje:
Pet bacanja su nezavisna ponavljanja istog eksperimenta sa verovatnoćom uspeha [tex]p=0{,}9[/tex] i verovatnoćom neuspeha [tex]q=0{,}1[/tex], tj. to je Bernulijeva šema i [tex]P_5(k)=\binom{5}{k}p^kq^{5-k}[/tex]. Najmanje [tex]4[/tex] uspeha znači tačno [tex]4[/tex] ili tačno [tex]5[/tex] uspeha:
[tex]P_5(4)=\binom{5}{4}\cdot 0{,}9^4\cdot 0{,}1=5\cdot 0{,}6561\cdot 0{,}1=0{,}32805[/tex]
[tex]P_5(5)=0{,}9^5=0{,}59049[/tex]
Ova dva događaja su međusobno isključiva, pa je
[tex]P=P_5(4)+P_5(5)=0{,}32805+0{,}59049=0{,}91854[/tex]

Rešenje:
Bacanja su [tex]11[/tex] nezavisnih ponavljanja istog eksperimenta, i pri svakom bacanju pismo pada sa verovatnoćom [tex]p=\frac{1}{2}[/tex], a ne pada sa verovatnoćom [tex]q=\frac{1}{2}[/tex]. U ovoj Bernulijevoj šemi sa [tex]n=11[/tex] verovatnoća da pismo padne tačno [tex]k[/tex] puta jednaka je
[tex]P_{11}(k)=\binom{11}{k}p^kq^{11-k}=\frac{\binom{11}{k}}{2^{11}}[/tex]
Najviše [tex]4[/tex] puta znači [tex]k\in\left\{0; 1; 2; 3; 4\right\}[/tex], pri čemu su ti slučajevi međusobno isključivi:
[tex]P=\frac{\binom{11}{0}+\binom{11}{1}+\binom{11}{2}+\binom{11}{3}+\binom{11}{4}}{2^{11}}=\frac{1+11+55+165+330}{2048}=\frac{562}{2048}=\frac{281}{1024}[/tex]

Rešenje:
Na svakom novčiću pismo pada sa verovatnoćom [tex]\frac{1}{2}[/tex], nezavisno od ostalih, pa je to Bernulijeva šema sa [tex]n=100[/tex] i [tex]p=q=\frac{1}{2}[/tex]. Prema Bernulijevoj formuli
[tex]P_{100}(50)=\binom{100}{50}\left(\frac{1}{2}\right)^{50}\left(\frac{1}{2}\right)^{50}=\frac{\binom{100}{50}}{2^{100}}[/tex]
Isto se dobija i direktno: postoji [tex]2^{100}[/tex] jednako verovatnih ishoda, a [tex]50[/tex] novčića na kojima je palo pismo mogu se izabrati na [tex]\binom{100}{50}[/tex] načina. Ova verovatnoća iznosi samo oko [tex]0{,}08[/tex], što je daleko od [tex]\frac{1}{2}[/tex]: iako je [tex]50[/tex] najverovatniji broj pisama, svaka pojedinačna vrednost tog broja je malo verovatna.

Rešenje:
Odgovori na [tex]100[/tex] zadataka su [tex]100[/tex] nezavisnih ponavljanja istog eksperimenta: uspeh (ispravan odgovor) sa verovatnoćom [tex]p=\frac{1}{4}[/tex] i neuspeh sa verovatnoćom [tex]q=\frac{3}{4}[/tex]. Prema Bernulijevoj formuli, verovatnoća tačno [tex]k=90[/tex] uspeha u [tex]n=100[/tex] eksperimenata jednaka je
[tex]P_{100}(90)=\binom{100}{90}p^{90}q^{10}=\binom{100}{90}\cdot \frac{1}{4^{90}}\cdot \frac{3^{10}}{4^{10}}=\binom{100}{90}\cdot \frac{3^{10}}{4^{100}}[/tex]
Činilac [tex]\binom{100}{90}[/tex] je broj načina da se izabere [tex]90[/tex] zadataka sa ispravnim odgovorom, a činilac [tex]q^{10}[/tex] je potreban jer ostali [tex]10[/tex] odgovori moraju biti pogrešni.