Bernulijeva šema i binomna verovatnoća - veoma teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Svaki od četiri izabrana kupca je, nezavisno od ostalih, žena, muškarac ili dete sa verovatnoćama [tex]0{,}6[/tex], [tex]0{,}3[/tex] i [tex]0{,}1[/tex] redom. Neka je [tex]M[/tex] događaj „među izabranim kupcima nema muškarca“, a [tex]C[/tex] događaj „među izabranim kupcima nema deteta“. Događaj [tex]M\cap C[/tex] znači da su svi izabrani kupci žene. Tada je
[tex]P(M)=0{,}7^4=0{,}2401; \quad P(C)=0{,}9^4=0{,}6561; \quad P(M\cap C)=0{,}6^4=0{,}1296[/tex]
Traženi događaj je suprotan događaju [tex]M\cup C[/tex], pa po formuli za verovatnoću unije
[tex]P=1-\left(P(M)+P(C)-P(M\cap C)\right)=1-0{,}2401-0{,}6561+0{,}1296=0{,}2334[/tex]

Rešenje:
Proveravanje se završava pre šestog dela tačno onda kada se četvrti ispravan deo pojavi među prvih pet, tj. kada među prvih pet delova ima bar [tex]4[/tex] ispravna. Zato se proveravaju svi delovi tačno onda kada među prvih pet ima najviše [tex]3[/tex] ispravna, tj. bar [tex]2[/tex] neispravna (ako je četvrti ispravan deo šesti po redu, i on se proverava).
Prvih pet delova čini [tex]5[/tex] nezavisnih opita po Bernulijevoj šemi sa verovatnoćom neispravnosti [tex]0{,}1[/tex]. Neka je [tex]P_5(k)[/tex] verovatnoća da među njima ima tačno [tex]k[/tex] neispravnih. Prelazimo na suprotan događaj (najviše jedan neispravan deo):
[tex]P_5(0)=0{,}9^5=0{,}59049; \quad P_5(1)=\binom{5}{1}\cdot 0{,}1\cdot 0{,}9^4=0{,}32805[/tex]
Dakle,
[tex]P=1-P_5(0)-P_5(1)=1-0{,}59049-0{,}32805=0{,}08146[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]q=1-p[/tex] i neka je [tex]P_{39}(k)=\binom{39}{k}p^kq^{39-k}[/tex] verovatnoća tačno [tex]k[/tex] uspeha. Tada je
[tex]\frac{P_{39}(k+1)}{P_{39}(k)}=\frac{39-k}{k+1}\cdot \frac{p}{q}[/tex]
Ovaj količnik opada sa rastom [tex]k[/tex], pa verovatnoće najpre rastu, a zatim opadaju. Zato su dva uzastopna broja [tex]25[/tex] i [tex]26[/tex] istovremeno najverovatnija tačno onda kada je [tex]P_{39}(26)=P_{39}(25)[/tex], tj. kada je količnik za [tex]k=25[/tex] jednak [tex]1[/tex]:
[tex]\frac{39-25}{25+1}\cdot \frac{p}{1-p}=1\iff 14p=26(1-p)\iff 40p=26\iff p=\frac{13}{20}[/tex]
Ovo se slaže sa opštim pravilom: najverovatniji broj [tex]k_0[/tex] uspeha u [tex]n[/tex] opita zadovoljava [tex](n+1)p-1\le k_0\le (n+1)p[/tex], a takva broja su dva tačno onda kada je [tex](n+1)p[/tex] ceo broj; ovde je [tex]n=39[/tex] i [tex](n+1)p=40\cdot \frac{13}{20}=26[/tex].

Rešenje:
Pretpostavimo da je prvi igrač dobio meč i posmatrajmo partiju u kojoj je ostvario svoju [tex]m[/tex]-tu pobedu. U tom trenutku drugi igrač ima [tex]k[/tex] pobeda, gde je [tex]k\in\{0; 1; \ldots; n-1\}[/tex] (sa [tex]n[/tex] pobeda on bi već dobio meč). To se dešava tačno onda kada partiju broj [tex]m+k[/tex] dobije prvi igrač, a od prethodnih [tex]m+k-1[/tex] partija tačno [tex]k[/tex] dobije drugi. Pošto su partije nezavisne, po Bernulijevoj formuli verovatnoća toga je
[tex]\binom{m+k-1}{k}p^{m-1}q^{k}\cdot p=\binom{m+k-1}{k}p^{m}q^{k}[/tex]
Ovi događaji za različite [tex]k[/tex] su međusobno isključivi, pa je
[tex]P=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{m+k-1}{k}p^{m}q^{k}[/tex]
Provera: isti broj je verovatnoća da prvi igrač dobije bar [tex]m[/tex] od [tex]m+n-1[/tex] partija, jer dodatne fiktivne partije posle završetka meča ne menjaju pobednika. Na primer, za [tex]m=2[/tex], [tex]n=3[/tex], [tex]p=q=\frac{1}{2}[/tex] oba načina daju
[tex]\frac{1}{4}+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}=\frac{11}{16}=\frac{\binom{4}{2}+\binom{4}{3}+\binom{4}{4}}{16}[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]A=(0; 0; 0)[/tex] i [tex]C=(1; 1; 1)[/tex]. Nivoom temena nazovimo broj njegovih koordinata jednakih [tex]1[/tex]. Nivoi su [tex]0[/tex], [tex]1[/tex], [tex]2[/tex], [tex]3[/tex], pri čemu je [tex]C[/tex] jedino teme nivoa [tex]3[/tex]. Svaki prelazak po ivici menja nivo za [tex]1[/tex]: sa nivoa [tex]0[/tex] mrav uvek prelazi na nivo [tex]1[/tex]; sa nivoa [tex]1[/tex] prelazi na nivo [tex]0[/tex] sa verovatnoćom [tex]\frac{1}{3}[/tex], a na nivo [tex]2[/tex] sa verovatnoćom [tex]\frac{2}{3}[/tex]; sa nivoa [tex]2[/tex] stiže u [tex]C[/tex] sa verovatnoćom [tex]\frac{1}{3}[/tex], a vraća se na nivo [tex]1[/tex] sa verovatnoćom [tex]\frac{2}{3}[/tex].
Posle neparnog broja minuta nivo je neparan, a posle parnog paran, pa se u [tex]C[/tex] može stići samo na kraju neparnog minuta. Posle prvog minuta mrav je na nivou [tex]1[/tex]. Podelimo dalje vreme na blokove od po dva minuta. Ako je na početku bloka na nivou [tex]1[/tex], mrav na kraju bloka stiže u [tex]C[/tex] sa verovatnoćom
[tex]\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{9}[/tex]
a inače (sa verovatnoćom [tex]\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{7}{9}[/tex]) ponovo je na nivou [tex]1[/tex]. Pošto su izbori nezavisni, blokovi su nezavisna ponavljanja istog opita. Zato je verovatnoća da mrav nije prošao kroz [tex]C[/tex] posle [tex]2k+1[/tex] minuta (a takođe i posle [tex]2k+2[/tex] minuta) jednaka [tex]\left(\frac{7}{9}\right)^k[/tex]. Potrebno je
[tex]1-\left(\frac{7}{9}\right)^k\gt\frac{9}{10}\iff 10\cdot 7^k\lt 9^k[/tex]
Količnik [tex]\frac{9^k}{7^k}[/tex] raste sa [tex]k[/tex], a za [tex]k=9[/tex] i [tex]k=10[/tex] imamo
[tex]10\cdot 7^9=403\,536\,070\gt 9^9=387\,420\,489[/tex]
[tex]10\cdot 7^{10}=2\,824\,752\,490\lt 9^{10}=3\,486\,784\,401[/tex]
Dakle, najmanje odgovarajuće [tex]k[/tex] je [tex]10[/tex], a traženi broj minuta je [tex]2\cdot 10+1=21[/tex] (posle [tex]20[/tex] minuta verovatnoća je još uvek [tex]1-\left(\frac{7}{9}\right)^9\lt 0{,}9[/tex]).