Bernulijeva šema i binomna verovatnoća - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Neka je [tex]p[/tex] verovatnoća pogotka pri jednom hicu; tada je verovatnoća promašaja [tex]1-p[/tex]. Hici su nezavisni, pa je verovatnoća da u [tex]4[/tex] hica nema nijednog pogotka jednaka [tex](1-p)^4[/tex]. Događaj „bar jedan pogodak“ je suprotan događaju „nijedan pogodak“, pa je
[tex]1-(1-p)^4=0{,}9984\ \Rightarrow\ (1-p)^4=0{,}0016=0{,}2^4[/tex]
Pošto je [tex]1-p\ge 0[/tex], uzimamo nenegativni četvrti koren:
[tex]1-p=0{,}2\ \Rightarrow\ p=0{,}8[/tex]
Verovatnoća pogotka pri jednom hicu je [tex]0{,}8[/tex].

Rešenje:
Posmatranja čine Bernulijevu šemu sa [tex]p=0{,}8[/tex] i [tex]q=1-p=0{,}2[/tex]. Verovatnoća da u [tex]n[/tex] posmatranja objekat ne bude otkriven nijednom je [tex]0{,}2^n[/tex], pa je verovatnoća da bude otkriven bar jednom [tex]1-0{,}2^n[/tex]. Potrebno je da važi
[tex]1-0{,}2^n\ge 0{,}99\ \Leftrightarrow\ 0{,}2^n\le 0{,}01[/tex]
Stepen [tex]0{,}2^n[/tex] opada kad [tex]n[/tex] raste. Proveravamo prve vrednosti:
[tex]0{,}2^2=0{,}04\gt 0{,}01 ; \qquad 0{,}2^3=0{,}008\le 0{,}01[/tex]
Dakle, [tex]2[/tex] posmatranja nisu dovoljna, a pri [tex]3[/tex] posmatranja verovatnoća je [tex]1-0{,}008=0{,}992\ge 0{,}99[/tex]. Najmanji broj posmatranja je [tex]3[/tex].

Rešenje:
Imamo Bernulijevu šemu sa [tex]n=5[/tex] opita, verovatnoćom uspeha [tex]p=0{,}8[/tex] i [tex]q=0{,}2[/tex]. Verovatnoća da tačno [tex]k[/tex] bolesnika bude izlečeno je
[tex]P_5(k)=\binom{5}{k}\cdot 0{,}8^k\cdot 0{,}2^{5-k}[/tex]
Uporedimo dve uzastopne verovatnoće:
[tex]\frac{P_5(k+1)}{P_5(k)}=\frac{5-k}{k+1}\cdot \frac{0{,}8}{0{,}2}=\frac{4(5-k)}{k+1}[/tex]
Ovaj količnik je veći od [tex]1[/tex] tačno kada je [tex]20-4k\gt k+1[/tex], tj. [tex]k\lt 3{,}8[/tex]. Dakle, verovatnoće rastu do [tex]k=4[/tex], a posle toga opadaju:
[tex]P_5(0)\lt P_5(1)\lt \ldots\lt P_5(4)\gt P_5(5)[/tex]
Provera:
[tex]P_5(3)=10\cdot 0{,}8^3\cdot 0{,}2^2=0{,}2048 ; \quad P_5(4)=5\cdot 0{,}8^4\cdot 0{,}2=0{,}4096 ; \quad P_5(5)=0{,}8^5=0{,}32768[/tex]
Najverovatniji broj izlečenih bolesnika je [tex]4[/tex].

Rešenje:
Pošto se svaka kuglica vraća, [tex]8[/tex] izvlačenja su nezavisna i u svakom od njih crna kuglica se izvlači sa istom verovatnoćom:
[tex]p=\frac{5}{20}=\frac{1}{4} ; \quad q=1-p=\frac{3}{4}[/tex]
Dakle, imamo Bernulijevu šemu i verovatnoća da se izvuče tačno [tex]k[/tex] crnih kuglica je [tex]P_8(k)=\binom{8}{k}p^kq^{8-k}[/tex]. Uporedimo dve uzastopne verovatnoće:
[tex]\frac{P_8(k+1)}{P_8(k)}=\frac{8-k}{k+1}\cdot \frac{p}{q}=\frac{8-k}{3(k+1)}[/tex]
Ovaj količnik je veći od [tex]1[/tex] tačno kada je [tex]8-k\gt 3k+3[/tex], tj. [tex]k\lt \frac{5}{4}[/tex], a to važi samo za [tex]k=0[/tex] i [tex]k=1[/tex]; za [tex]k\ge 2[/tex] on je manji od [tex]1[/tex]. Prema tome,
[tex]P_8(0)\lt P_8(1)\lt P_8(2)\gt P_8(3)\gt \ldots\gt P_8(8)[/tex]
Najverovatniji broj izvučenih crnih kuglica je [tex]2[/tex]; njegova verovatnoća je [tex]P_8(2)=28\cdot \frac{1}{16}\cdot \frac{729}{4096}\approx 0{,}311[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]u[/tex] broj dana kada cena poraste, a [tex]d[/tex] broj dana kada opadne. Tada je
[tex]u+d=10 ; \quad u-d=-4\ \Rightarrow\ u=3 ; \quad d=7[/tex]
Ovih [tex]10[/tex] dana su nezavisna ponavljanja istog opita sa verovatnoćom porasta [tex]p=\frac{1}{2}[/tex], pa je prema Bernulijevoj formuli verovatnoća tačno [tex]3[/tex] porasta
[tex]P=\binom{10}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{7}=\frac{120}{1024}=\frac{15}{128}[/tex]
Verovatnoća da cena bude niža za [tex]4[/tex] poena je [tex]\frac{15}{128}[/tex].

Rešenje:
Pri jednom penalu postoji [tex]3\cdot 3=9[/tex] jednako verovatnih parova pravaca (Ivančov i Marijkin), a u [tex]3[/tex] od njih pravci se poklapaju. Dakle, penal se brani sa verovatnoćom [tex]\frac{3}{9}=\frac{1}{3}[/tex], a gol se postiže sa verovatnoćom
[tex]p=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}[/tex]
Pet penala su nezavisna ponavljanja istog opita (Bernulijeva šema sa [tex]n=5[/tex] i [tex]p=\frac{2}{3}[/tex]), pa je verovatnoća tačno [tex]k[/tex] golova
[tex]P_5(k)=\binom{5}{k}\left(\frac{2}{3}\right)^k\left(\frac{1}{3}\right)^{5-k}=\binom{5}{k}\frac{2^k}{3^5}[/tex]
Ivančo pobeđuje ako postigne [tex]3[/tex], [tex]4[/tex] ili [tex]5[/tex] golova:
[tex]P=\binom{5}{3}\frac{2^3}{3^5}+\binom{5}{4}\frac{2^4}{3^5}+\binom{5}{5}\frac{2^5}{3^5}=\frac{80+80+32}{243}=\frac{192}{243}=\frac{64}{81}[/tex]
Verovatnoća da Ivančo pobedi je [tex]\frac{64}{81}[/tex].

Rešenje:
U jednom izvlačenju svi [tex]\binom{80}{20}[/tex] skupovi od [tex]20[/tex] brojeva su jednako verovatni, a [tex]\binom{79}{19}[/tex] od njih sadrže izabrani broj. Dakle, u jednom izvlačenju on se izvlači sa verovatnoćom
[tex]p=\frac{\binom{79}{19}}{\binom{80}{20}}=\frac{20}{80}=\frac{1}{4}[/tex]
Izvlačenja su nezavisna, pa je verovatnoća da u [tex]n[/tex] izvlačenja broj nijednom ne bude izvučen jednaka [tex]\left(\frac{3}{4}\right)^n[/tex], a verovatnoća da bude izvučen bar jednom jednaka [tex]1-\left(\frac{3}{4}\right)^n[/tex]. Potrebno je da važi
[tex]1-\left(\frac{3}{4}\right)^n\gt 0{,}9\ \Leftrightarrow\ \left(\frac{3}{4}\right)^n\lt 0{,}1[/tex]
Stepen [tex]\left(\frac{3}{4}\right)^n[/tex] opada kad [tex]n[/tex] raste. Za [tex]n=8[/tex] uslov nije ispunjen (verovatnoća je oko [tex]0{,}8999[/tex]):
[tex]\left(\frac{3}{4}\right)^8=\frac{6561}{65536}\gt\frac{6553{,}6}{65536}=0{,}1[/tex]
Za [tex]n=9[/tex] uslov je ispunjen (verovatnoća je oko [tex]0{,}925\gt 0{,}9[/tex]):
[tex]\left(\frac{3}{4}\right)^9=\frac{19683}{262144}\lt\frac{26214{,}4}{262144}=0{,}1[/tex]
Najmanji broj izvlačenja je [tex]9[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]n[/tex] broj bacanja, a [tex]A[/tex] događaj „bar jednom je pala šestica“. Bacanja su nezavisna i pri svakom od njih šestica ne pada sa verovatnoćom [tex]\frac{5}{6}[/tex]. Suprotan događaj „nijedna šestica u [tex]n[/tex] bacanja“ ima verovatnoću [tex]\left(\frac{5}{6}\right)^n[/tex], pa je
[tex]P(A)=1-\left(\frac{5}{6}\right)^n\ge 0{,}95\iff\left(\frac{5}{6}\right)^n\le 0{,}05[/tex]
Logaritmujemo obe strane dekadnim logaritmom (funkcija [tex]\lg[/tex] je rastuća):
[tex]n\lg\frac{5}{6}\le\lg 0{,}05[/tex]
Sa datim vrednostima dobijamo
[tex]\lg\frac{5}{6}=\lg\frac{10}{12}=1-2\lg 2-\lg 3\approx 1-0{,}6020-0{,}4771=-0{,}0791[/tex]
[tex]\lg 0{,}05=\lg\frac{10}{200}=1-\lg 2-2\approx -1{,}3010[/tex]
Pošto je [tex]\lg\frac{5}{6}\lt 0[/tex], pri deljenju tim brojem znak nejednakosti se menja:
[tex]n\ge\frac{\lg 0{,}05}{\lg\frac{5}{6}}\approx\frac{-1{,}3010}{-0{,}0791}\approx 16{,}4[/tex]
Najmanji takav ceo broj je [tex]n=17[/tex]. Provera: [tex]\left(\frac{5}{6}\right)^{16}\approx 0{,}054\gt 0{,}05[/tex], a [tex]\left(\frac{5}{6}\right)^{17}\approx 0{,}045\lt 0{,}05[/tex]. Dakle, kocku treba baciti najmanje [tex]17[/tex] puta.

Rešenje:
Fiksirajmo izabranu stranu. Za svaku od šest slika događaj „slika je na toj strani“ je opit sa verovatnoćom uspeha [tex]p=\frac{1}{120}[/tex] i neuspeha [tex]q=\frac{119}{120}[/tex], pri čemu su svi ti opiti nezavisni. Zato je broj slika na strani broj uspeha u [tex]6[/tex] opita po Bernulijevoj šemi i
[tex]P=\sum_{k=3}^{6}\binom{6}{k}p^kq^{6-k}=\binom{6}{3}p^3q^3+\binom{6}{4}p^4q^2+\binom{6}{5}p^5q+\binom{6}{6}p^6[/tex]
Ovde je [tex]p^kq^{6-k}=\frac{119^{6-k}}{120^6}[/tex] i [tex]\binom{6}{3}=20[/tex], [tex]\binom{6}{4}=15[/tex], [tex]\binom{6}{5}=6[/tex], [tex]\binom{6}{6}=1[/tex], pa je
[tex]P=\frac{20\cdot 119^{3}+15\cdot 119^{2}+6\cdot 119+1}{120^{6}}\approx 1{,}14\cdot 10^{-5}[/tex]