Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Karakteristični polinom je stepena [tex]5[/tex], pa je [tex]A[/tex] matrica reda [tex]5[/tex]. Zamenimo [tex]x=-5[/tex] u karakteristični polinom:
[tex]\det(-5E-A)=(-5-5)^3(-5+4)^2=(-10)^3\cdot 1=-1000[/tex]
Pošto je [tex]-5E-A=-(A+5E)[/tex], a množenje matrice reda [tex]5[/tex] sa [tex]-1[/tex] množi njenu determinantu sa [tex](-1)^5=-1[/tex], dobijamo
[tex]\det(-5E-A)=-\det(A+5E)\Rightarrow \det(A+5E)=1000[/tex]
Provera preko sopstvenih vrednosti: sopstvene vrednosti matrice [tex]A[/tex] (sa višestrukostima) su [tex]5; 5; 5; -4; -4[/tex], pa su sopstvene vrednosti matrice [tex]A+5E[/tex] jednake [tex]10; 10; 10; 1; 1[/tex], a determinanta je njihov proizvod:
[tex]\det(A+5E)=10^3\cdot 1^2=1000[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]E[/tex] jedinična matrica. U karakterističnoj determinanti treća vrsta ima samo jedan element različit od nule, pa razvijamo po njoj:
[tex]\det(A-\lambda E)=\begin{vmatrix}2-\lambda&-1&1\\-1&2-\lambda&-1\\0&0&1-\lambda\end{vmatrix}=(1-\lambda)\left[(2-\lambda)^2-1\right]=(1-\lambda)^2(3-\lambda)[/tex]
Sopstvene vrednosti su [tex]\lambda=1[/tex] (dvostruka) i [tex]\lambda=3[/tex]; najveća je [tex]\lambda=3[/tex]. Njeni sopstveni vektori su nenula rešenja jednačine [tex](A-3E)\vec{x}=\vec{0}[/tex], tj. sistema
[tex]\begin{cases}-x_1-x_2+x_3=0\\ -x_1-x_2-x_3=0\\ -2x_3=0\end{cases}[/tex]
Iz treće jednačine je [tex]x_3=0[/tex], a zatim iz prve [tex]x_2=-x_1[/tex]. Dakle, sopstveni vektori su
[tex]\vec{x}=c\left(1; -1; 0\right)^{T},\quad c\ne 0[/tex]
Provera:
[tex]A\left(1; -1; 0\right)^{T}=\left(3; -3; 0\right)^{T}=3\left(1; -1; 0\right)^{T}[/tex]
Napomena: [tex]\left(1; -1; 1\right)^{T}[/tex] je sopstveni vektor transponovane matrice [tex]A^{T}[/tex] za [tex]\lambda=3[/tex] (tipična greška kada se pomešaju vrste i kolone), a [tex]\left(1; 1; 0\right)^{T}[/tex] odgovara sopstvenoj vrednosti [tex]\lambda=1[/tex].

Rešenje:
Matrica forme je simetrična matrica čiji su vandijagonalni elementi jednaki polovini koeficijenta uz [tex]xy[/tex]:
[tex]A=\begin{bmatrix}9&3\\3&1\end{bmatrix}[/tex]
Njen karakteristični polinom i sopstvene vrednosti ([tex]E[/tex] je jedinična matrica):
[tex]\det(A-\lambda E)=(9-\lambda)(1-\lambda)-9=\lambda^2-10\lambda=\lambda(\lambda-10)\Rightarrow \lambda_1=0,\ \lambda_2=10[/tex]
Pošto je [tex]A[/tex] realna simetrična matrica, ortogonalnom smenom promenljivih forma se svodi na kanonski oblik
[tex]Q=10u^2+0\cdot v^2=10u^2[/tex]
Dakle, [tex]Q(x,y)\ge 0[/tex] za sve [tex](x,y)[/tex], ali [tex]Q[/tex] postaje nula i na nenula vektorima, na primer duž sopstvenog vektora [tex]\left(1; -3\right)[/tex] sopstvene vrednosti [tex]0[/tex]:
[tex]Q\left(1; -3\right)=9-18+9=0[/tex]
Dakle, forma je pozitivno semidefinitna, ali nije pozitivno definitna. Provera: [tex]Q(x,y)=(3x+y)^2[/tex]; takođe, prema Silvesterovom kriterijumu, [tex]\Delta_1=9\gt 0[/tex] i [tex]\Delta_2=\det A=0[/tex], pa forma nije definitna.

Rešenje:
Skalarna matrica [tex]\lambda E[/tex] komutira sa svakom matricom, pa je
[tex]T^{-1}(\lambda E)T=\lambda\, T^{-1}T=\lambda E[/tex]
Prema tome,
[tex]B-\lambda E=T^{-1}AT-T^{-1}(\lambda E)T=T^{-1}(A-\lambda E)T[/tex]
Determinanta proizvoda jednaka je proizvodu determinanti (to važi i za matrice čiji su elementi polinomi po [tex]\lambda[/tex], jer polinomi čine komutativan prsten), a same determinante komutiraju kao elementi tog prstena. Dakle,
[tex]\det(B-\lambda E)=\det(T^{-1})\det(A-\lambda E)\det T=\det(A-\lambda E)\,\det(T^{-1}T)=\det(A-\lambda E)\,\det E=\det(A-\lambda E)[/tex]
Dakle, [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex] imaju isti karakteristični polinom; specijalno, imaju iste sopstvene vrednosti sa istim algebarskim višestrukostima, isti trag i istu determinantu.