Kvadratna funkcija i parabola - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Koordinate temena su
[tex]x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2}=-2,\quad y_V=(-2)^2+4\cdot (-2)+5=1[/tex]
Zaista, [tex]y=(x+2)^2+1[/tex], pa je teme [tex]V(-2; 1)[/tex]. Rastojanje tačke od [tex]y[/tex]-ose (prave [tex]x=0[/tex]) jednako je apsolutnoj vrednosti njene apscise:
[tex]d=|x_V|=|-2|=2[/tex]
(Broj [tex]1[/tex] je rastojanje temena od [tex]x[/tex]-ose, a ne od [tex]y[/tex]-ose.)

Rešenje:
Najmanja vrednost [tex]0[/tex] dostiže se za [tex]x=1[/tex], pa je [tex](1; 0)[/tex] teme parabole, a parabola je okrenuta naviše:
[tex]f(x)=a(x-1)^2,\quad a\gt 0[/tex]
Iz [tex]f(-1)=8[/tex] dobijamo
[tex]a\cdot (-1-1)^2=4a=8\Rightarrow a=2\gt 0[/tex]
Dakle, [tex]f(x)=2(x-1)^2=2x^2-4x+2[/tex] i
[tex]f(-2)=2\cdot (-3)^2=18[/tex]

Rešenje:
Pošto je [tex]a=b+6[/tex], proizvod je kvadratna funkcija od [tex]b[/tex] sa pozitivnim vodećim koeficijentom:
[tex]ab=b(b+6)=b^2+6b=(b+3)^2-9\ge -9[/tex]
Jednakost važi u temenu [tex]b=-3[/tex], tj. za [tex]a=3[/tex], [tex]b=-3[/tex]. Dakle, najmanja vrednost proizvoda [tex]ab[/tex] je [tex]-9[/tex].

Rešenje:
Dopunimo do potpunog kvadrata:
[tex]f(x)=-x^2-2x+19=-(x+1)^2+20[/tex]
Parabola je okrenuta naniže, a teme joj je [tex](-1; 20)[/tex]. Pošto je [tex]-1\in\left[-2; 1\right][/tex], najveća vrednost je [tex]f(-1)=20[/tex]. Funkcija raste na [tex]\left[-2; -1\right][/tex] i opada na [tex]\left[-1; 1\right][/tex], pa se najmanja vrednost dostiže u jednom od krajeva intervala:
[tex]f(-2)=19+4-4=19,\quad f(1)=19-2-1=16[/tex]
Dakle, najmanja vrednost je [tex]16[/tex], a traženi zbir je
[tex]20+16=36[/tex]

Rešenje:
Neka je jedna stranica pravougaonika [tex]x[/tex] m. Poluobim je [tex]4[/tex] m, pa je druga stranica [tex]4-x[/tex] m, pri čemu je [tex]0\lt x\lt 4[/tex]. Površina je
[tex]S(x)=x(4-x)=-x^2+4x=4-(x-2)^2\le 4[/tex]
Parabola je okrenuta naniže, a njeno teme [tex]x=2[/tex] pripada intervalu [tex]\left(0; 4\right)[/tex], pa je najveća površina [tex]S(2)=4[/tex]: prozor je kvadrat stranice [tex]2[/tex] m, a njegova površina je [tex]4[/tex] kvadratna metra.

Rešenje:
Zapišimo funkciju u obliku
[tex]y=5+2x-x^2=-(x-1)^2+6[/tex]
Translacija ne menja vodeći koeficijent (oblik parabole i njenu orijentaciju), već samo položaj temena. Sa novim temenom [tex](4; 6)[/tex] dobijamo
[tex]y=-(x-4)^2+6=-x^2+8x-16+6=-x^2+8x-10[/tex]
Isto se dobija i ovako: pomeranje za [tex]3[/tex] jedinice udesno znači zamenu [tex]x[/tex] sa [tex]x-3[/tex]:
[tex]5+2(x-3)-(x-3)^2=-x^2+8x-10[/tex]
(Zamena [tex]x[/tex] sa [tex]x+3[/tex] pomerila bi teme u [tex](-2; 6)[/tex], dodavanje [tex]3[/tex] funkciji u [tex](1; 9)[/tex], a parabola [tex]y=x^2-8x+22[/tex] je okrenuta naviše.)

Rešenje:
Grafik nema zajedničkih tačaka sa [tex]x[/tex]-osom, pa je diskriminanta negativna i parabola cela leži iznad ose (za [tex]a\gt 0[/tex]) ili cela ispod nje (za [tex]a\lt 0[/tex]).
Tačka [tex](1; f(1))[/tex] grafika leži iznad ose jer je [tex]f(1)\gt 0[/tex], pa cela parabola leži iznad ose. Zato je parabola okrenuta naviše i [tex]f(x)\gt 0[/tex] za svako [tex]x[/tex]; posebno, za [tex]x=0[/tex]:
[tex]a\gt 0,\quad c=f(0)\gt 0[/tex]