Jednačine višeg stepena - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Pošto je [tex]x+2=x-(-2)[/tex], primenjujemo Hornerovu šemu sa [tex]\alpha=-2[/tex] na koeficijente [tex]6; -1; 11; -2; -2[/tex]. Svaki novi broj jednak je proizvodu [tex]\alpha[/tex] i prethodnog rezultata, uvećanom za sledeći koeficijent:
[tex]6; \quad (-2)\cdot 6+(-1)=-13; \quad (-2)\cdot (-13)+11=37; \quad (-2)\cdot 37+(-2)=-76; \quad (-2)\cdot (-76)+(-2)=150[/tex]
Prva četiri broja su koeficijenti količnika, a poslednji je ostatak:
[tex]f(x)=(x+2)\left(6x^{3}-13x^{2}+37x-76\right)+150[/tex]
Provera pomoću Bezuovog stava: [tex]f(-2)=96+8+44+4-2=150[/tex]. Ostatak je [tex]150[/tex].

Rešenje:
Prema Bezuovom stavu, ostatak pri deljenju [tex]P(x)[/tex] sa [tex]x-3[/tex] jednak je [tex]P(3)[/tex]:
[tex]P(3)=81-81+9-3k+5=14-3k[/tex]
Iz uslova zadatka dobijamo
[tex]14-3k=2\Rightarrow k=4[/tex]
Provera Hornerovom šemom za [tex]k=4[/tex]: za koeficijente [tex]1; -3; 1; -4; 5[/tex] i delilac [tex]x-3[/tex] dobijamo koeficijente količnika [tex]1; 0; 1; -1[/tex] i ostatak [tex](-1)\cdot 3+5=2[/tex].

Rešenje:
Množenjem sa [tex]-1[/tex] dobijamo bikvadratnu jednačinu:
[tex]x^4-4x^2-32=0[/tex]
Uvodimo smenu [tex]t=x^2\ge 0[/tex]:
[tex]t^2-4t-32=0\Rightarrow t_1=8,\ t_2=-4[/tex]
Vrednost [tex]t_2=-4[/tex] odbacujemo, jer [tex]x^2[/tex] ne može biti negativno. Iz [tex]x^2=8[/tex] dobijamo
[tex]x_{1,2}=\pm\sqrt{8}=\pm 2\sqrt{2}[/tex]

Rešenje:
Koeficijenti [tex]1; 1; 3; 3; 1; 1[/tex] su simetrični, pa je ovo simetrična (recipročna) jednačina neparnog stepena i [tex]x=-1[/tex] je njen koren. Grupisanjem članova po parovima dobijamo
[tex]x^4(x+1)+3x^2(x+1)+(x+1)=0\iff (x+1)\left(x^4+3x^2+1\right)=0[/tex]
Za svako realno [tex]x[/tex] važi [tex]x^4+3x^2+1\ge 1\gt 0[/tex], pa drugi činilac nema realnih nula. Jedini realni koren je [tex]x=-1[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]P(x)=x^4-4x^3-19x^2+106x-120[/tex]. Svi koeficijenti su celi brojevi, a vodeći koeficijent je [tex]1[/tex], pa je svaki racionalni koren ceo broj koji deli [tex]120[/tex]. Proveravamo:
[tex]P(1)=1-4-19+106-120=-36\ne 0,\quad P(2)=16-32-76+212-120=0[/tex]
Hornerova šema sa [tex]2[/tex] za koeficijente [tex]1; -4; -19; 106; -120[/tex] daje [tex]1; -2; -23; 60[/tex] i ostatak [tex]0[/tex], pa je
[tex]P(x)=(x-2)\left(x^3-2x^2-23x+60\right)[/tex]
Za kubni činilac [tex]x=3[/tex] je koren ([tex]27-18-69+60=0[/tex]), a Hornerova šema sa [tex]3[/tex] daje [tex]1; 1; -20[/tex]. Dakle,
[tex]x^3-2x^2-23x+60=(x-3)\left(x^2+x-20\right)=(x-3)(x-4)(x+5)[/tex]
Prema tome, [tex]P(x)=(x-2)(x-3)(x-4)(x+5)[/tex], a koreni jednačine su
[tex]x\in\left\{-5; 2; 3; 4\right\}[/tex]

Rešenje:
Za [tex]x\le 0[/tex] svaki od članova [tex]6x^{4}; -23x^{3}; 37x^{2}; -28x[/tex] je nenegativan, a slobodni član je [tex]6\gt 0[/tex], pa je leva strana pozitivna; dakle, svaki realni koren je pozitivan. Za racionalni koren [tex]\frac{p}{q}[/tex] (neskrativ razlomak) [tex]p[/tex] deli [tex]6[/tex] i [tex]q[/tex] deli [tex]6[/tex], pa su pozitivni kandidati
[tex]1; 2; 3; 6; \frac{1}{2}; \frac{3}{2}; \frac{1}{3}; \frac{2}{3}; \frac{1}{6}[/tex]
Hornerova šema sa [tex]\frac{3}{2}[/tex]:
[tex]6; \quad 6\cdot \frac{3}{2}-23=-14; \quad (-14)\cdot \frac{3}{2}+37=16; \quad 16\cdot \frac{3}{2}-28=-4; \quad (-4)\cdot \frac{3}{2}+6=0[/tex]
Dakle, [tex]\frac{3}{2}[/tex] je koren, a količnik je
[tex]6x^{3}-14x^{2}+16x-4=2\left(3x^{3}-7x^{2}+8x-2\right)[/tex]
Hornerova šema za [tex]3x^{3}-7x^{2}+8x-2[/tex] sa [tex]\frac{1}{3}[/tex]:
[tex]3; \quad 3\cdot \frac{1}{3}-7=-6; \quad (-6)\cdot \frac{1}{3}+8=6; \quad 6\cdot \frac{1}{3}-2=0[/tex]
Dakle, [tex]\frac{1}{3}[/tex] je koren, a količnik je [tex]3x^{2}-6x+6=3\left(x^{2}-2x+2\right)[/tex]. Prema tome,
[tex]6x^{4}-23x^{3}+37x^{2}-28x+6=(2x-3)(3x-1)\left(x^{2}-2x+2\right)[/tex]
Poslednji činilac [tex]x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1[/tex] je uvek pozitivan i ne daje realne korene. Realni koreni su
[tex]x\in\left\{\frac{1}{3}; \frac{3}{2}\right\}[/tex]

Rešenje:
Broj [tex]x=-1[/tex] je višestruki koren tačno onda kada je polinom deljiv sa [tex](x+1)^{2}[/tex], tj. kada je [tex]-1[/tex] koren polinoma i ujedno koren količnika pri deljenju sa [tex]x+1[/tex]. Hornerova šema sa [tex]-1[/tex] za koeficijente [tex]3; 4; -6; b; a[/tex]:
[tex]3; \quad -3+4=1; \quad -1-6=-7; \quad 7+b; \quad -(7+b)+a=a-b-7[/tex]
Prvi uslov je [tex]a-b-7=0[/tex], a količnik je [tex]3x^{3}+x^{2}-7x+(b+7)[/tex]. Hornerova šema sa [tex]-1[/tex] za [tex]3; 1; -7; b+7[/tex]:
[tex]3; \quad -3+1=-2; \quad 2-7=-5; \quad 5+b+7=b+12[/tex]
Drugi uslov je [tex]b+12=0[/tex]. Prema tome,
[tex]b=-12,\quad a=b+7=-5[/tex]
Provera: [tex]3x^{4}+4x^{3}-6x^{2}-12x-5=(x+1)^{3}(3x-5)[/tex], pa je za ove vrednosti [tex]x=-1[/tex] čak trostruki koren.

Rešenje:
Pomnožimo prvi činilac sa četvrtim, a drugi sa trećim:
[tex]x(x-3)=x^2-3x,\quad (x-1)(x-2)=x^2-3x+2[/tex]
Smenom [tex]t=x^2-3x[/tex] jednačina postaje
[tex]t(t+2)=-1\iff t^2+2t+1=0\iff (t+1)^2=0\iff t=-1[/tex]
Vraćamo se na [tex]x[/tex]:
[tex]x^2-3x+1=0,\quad D=9-4=5,\quad x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}[/tex]
U stvari, jednačina glasi [tex]\left(x^2-3x+1\right)^2=0[/tex], pa su oba korena dvostruka; zato traženje racionalnih korena Hornerovom šemom ovde ne daje rezultat.