Parcijalna integracija - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Moramo da rešimo $\int x^{3}\ln x\ dx$
$u=\ln x,$ $dv=x^{3}dx.$

Zatim $du=\frac{dx}{x}\qquad v=\int x^{3}dx=\frac{x^{4}}{4}$ i sada primenjujemo

$\int udv=uv-\int vdu=\frac{x^{4}}{4}\ln $ $x-\int \frac{x^{4}}{4}\frac{dx}{x}=\frac{x^{4}}{4}\ln $ $x-\frac{1}{4}\int x^{3}dx$

So $\int x^{3}\ln $ $x$ $dx=\frac{x^{4}}{4}\ln $ $x-\frac{1}{16}x^{4}+C=$
$\frac{x^{4}}{4}\left(\ln x-\frac{1}{4}\right) +C$

Rešenje:
Ako je [tex]u=4x+7,[/tex] [tex]dv=e^{x}dx[/tex] tada je [tex]du=4\qquad v=\int e^{x}dx=e^{x}[/tex]

pa je [tex]\int udv=uv-\int vdu[/tex] tada je [tex]\int (4x+7)e^{x}dx=\left( 4x+7\right) e^{x}-4\int e^{x}dx[/tex]

[tex]\int (4x+7)e^{x}dx=\left( 4x+7\right) e^{x}-4e^{x}+C=\left( 4x+3\right) e^{x}+C[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]u=x\qquad dv=\sin 3x[/tex] [tex]dx[/tex] tada je
[tex]du=dx\qquad v=\int \sin 3x[/tex] [tex]dx[/tex]
[tex]v=-\frac{1}{3}\cos 3x[/tex] pa je [tex]\int udv=uv-\int vdu[/tex] i zamenom dobijamo

[tex]\int x\sin 3x[/tex] [tex]dx=-\frac{1}{3}x\cos 3x-\int -\frac{1}{3}\cos 3xdx=[/tex]

[tex]=-\frac{1}{3}x\cos 3x+\frac{1}{3}\int \cos 3xdx=-\frac{1}{3}x\cos 3x+\frac{1}{9}\sin 3x+C[/tex]

Rešenje:
Ako uzmemo [tex]u=x,[/tex] [tex]dv=\cos 4x\ dx[/tex] dobijamo
[tex]du=dx\qquad v=\int \cos 4x[/tex] [tex]dx=\frac{1}{4}\sin 4x[/tex]
pa primenom formule [tex]\int udv=uv-\int vdu[/tex]


[tex]\int x\cos 4x\ dx=\frac{1}{4}x\sin 4x-\frac{1}{4}\int \sin 4xdx[/tex] tada je

[tex]\int x\cos 4x\ dx=\frac{1}{4}x\sin 4x+\frac{1}{16}\cos 4x+C[/tex]

Rešenje:
[tex]\int \cos ^{3}x\sin x[/tex] [tex]dx=\int \cos ^{2}x\sin x\cos x[/tex] [tex]dx[/tex] a sada uzimamo
[tex]\cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x[/tex] pa je [tex]\int \cos ^{3}x\sin x[/tex] [tex]dx=[/tex]
[tex]=\int \left( 1-\sin ^{2}x\right) \sin x\cos x[/tex] [tex]dx=\int \left( \sin x-\sin ^{3}x\right) \cos x[/tex] [tex]dx[/tex]

a sada [tex]u=\sin x\Rightarrow du=\cos xdx[/tex] tada je

[tex]\int \cos ^{3}x\sin x[/tex] [tex]dx=\int udu-\int u^{3}du=\frac{u^{2}}{2}-\frac{u^{4}}{4}+C[/tex]

tada je [tex]\int \cos ^{3}x\sin x[/tex] [tex]dx=\frac{\sin ^{2}x}{2}-\frac{\sin ^{4}x}{4}+C[/tex]

Rešenje:
[tex]\int \cos^{3}x\sin^{4}x\ dx=\int \cos^{2}x\sin^{4}x\cos x[/tex] [tex]dx[/tex] a sada uzimamo

[tex]\cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x[/tex]
Dakle, [tex]\int \cos^{3}x\sin^{4}x[/tex] [tex]dx=[/tex]
[tex]=\int \left( 1-\sin ^{2}x\right) \sin ^{4}x\cos x[/tex] [tex]dx=\int \left( \sin^{4}x-\sin ^{6}x\right) \cos x\ dx[/tex]

a sada [tex]u=\sin x\Rightarrow du=\cos xdx[/tex] tada je
[tex]\int \cos ^{3}x\sin ^{4}x[/tex] [tex]dx=\int u^{4}du-\int u^{6}du=\frac{u^{5}}{5}-\frac{u^{7}}{7}+C[/tex]
tada je [tex]\int \cos ^{3}x\sin ^{4}x[/tex] [tex]dx=\frac{\sin ^{5}x}{5}-\frac{\sin ^{7}x}{7}+C[/tex]

Rešenje:
[tex]\int \sin ^{3}x\cos ^{2}x\ dx=\int \sin ^{2}x\sin x\cos ^{2}x\ dx[/tex] i kako je
[tex]\sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x[/tex] dobijamo [tex]\int \sin ^{3}x\cos ^{2}x\ dx=[/tex]
[tex]=\int \left( 1-\cos ^{2}x\right) \sin x\cos ^{2}xdx=\int \left( \cos^{2}x-\cos ^{4}x\right) \sin xdx[/tex]

Sada uzimamo [tex]u=\cos x\qquad du=-\sin xdx[/tex] pa je

[tex]\int \sin ^{3}x\cos ^{2}x[/tex] [tex]dx=-\int u^{2}du+\int u^{4}du=-\frac{u^{3}}{3}+ \frac{u^{5}}{5}+C[/tex]

tada je [tex]\int \sin ^{3}x\cos ^{2}x[/tex] [tex]dx=-\frac{\cos ^{3}x}{3}+\frac{\cos ^{5}x}{5}+C[/tex]

Rešenje:
Možemo pisati [tex]\int \sin ^{3}x\ dx=\int \sin ^{2}x\sin x[/tex] [tex]dx=\int \left( 1-\cos ^{2}x\right) \sin x\ dx[/tex]

tada je [tex]\int \sin ^{3}x[/tex] [tex]dx=\int \sin xdx-\int \cos ^{2}x\sin x\ dx[/tex] i
uvodimo smenu [tex]u=\cos x\qquad du=-\sin xdx[/tex] pa je

[tex]\int \sin ^{3}x[/tex] [tex]dx=-\cos x+\int u^{2}du=-\cos x+\frac{u^{3}}{3}+C[/tex]

Tada je [tex]\int \sin ^{3}x[/tex] [tex]dx=[/tex] [tex]-\cos x+\frac{\cos ^{3}x}{3}+C[/tex]

Rešenje:
Uvedimo smenu [tex]u=x\qquad dv=e^{-2x}\ dx[/tex]
Dakle, [tex]du=dx\qquad v=\int e^{-2x}[/tex] [tex]dx=-\frac{1}{2}e^{-2x}[/tex] pa primenjujemo

[tex]\int udv=uv-\int vdu\Rightarrow[/tex]
[tex]\int xe^{-2x}[/tex] [tex]dx=-\frac{1}{2}xe^{-2x}-\int -\frac{1}{2}e^{-2x}dx[/tex]

Dakle, [tex]\int xe^{-2x}[/tex] [tex]dx=-\frac{1}{2}xe^{-2x}+\frac{1}{2}\int e^{-2x}dx= -\frac{1}{2}xe^{-2x}-\frac{1}{4}e^{-2x}+C[/tex]

Rešenje:
Napišimo integral u obliku [tex]\int \frac{2x}{e^{x}}\ dx=2\int xe^{-x}dx[/tex]

Zatim primenjujemo parcijalnu integraciju

[tex]\int udv=uv-\int vdu[/tex] gde je [tex]u=x[/tex]
[tex]dv=e^{-x}dx\Rightarrow du=dx[/tex]
[tex]v=\int e^{-x}dx=-e^{-x}[/tex] a sada zamenjujemo u
[tex]\int \frac{2x}{e^{x}}[/tex] [tex]dx=2\int xe^{-x}dx=2\left( -xe^{-x}-\int -e^{-x}dx\right) =-2xe^{-x}-2e^{-x}+C[/tex]

[tex]\int \frac{2x}{e^{x}}[/tex] [tex]dx=-e^{-x}\left( 2x+2\right) +C[/tex]

Rešenje:
Ovde dva puta primenjujemo parcijalnu integraciju da bismo snizili stepen od [tex]x[/tex], sa [tex]2,1,0[/tex]
i uprostili integral

[tex]u=x^{2}\qquad dv=e^{x}[/tex] [tex]dx[/tex]
tada je [tex]du=2xdx\qquad v=\int e^{x}[/tex] [tex]dx=e^{x}[/tex] i zamenjujemo u formulu
[tex]\int udv=uv-\int vdu[/tex] pa je
[tex]\int x^{2}e^{x}[/tex] [tex]dx=x^{2}e^{x}-2[/tex] [tex]\int xe^{x}dx[/tex]
Primenjujemo parcijalnu integraciju:
[tex]\int xe^{x}dx[/tex] gde je
[tex]u=x\qquad dv=e^{x}[/tex] [tex]dx[/tex]
[tex]u=dx\qquad v=\int e^{x}[/tex] [tex]dx=e^{x}[/tex]

tada je [tex]\int x^{2}e^{x}[/tex] [tex]dx=x^{2}e^{x}-2\left( xe^{x}-\int e^{x}dx\right) =x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}+C[/tex]

Dakle, [tex]\int x^{2}e^{x}[/tex] [tex]dx=e^{x}\left( x^{2}-2x+2\right) +C[/tex]

Rešenje:
Ovde uzimamo [tex]u=\ln (t+1)\qquad dv=tdt[/tex] pa je

[tex]du=\frac{1}{t+1}dt\qquad v=\int tdt=\frac{1}{2}t^{2}[/tex] i zamenom u formulu

[tex]\int udv=uv-\int vdu[/tex] dobijamo

[tex]\int t\ \ln (t+1)\ dt=\frac{1}{2}t^{2}\ln (t+1)-\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\int \frac{t^{2}}{t+1}dt[/tex] Da bismo rešili ovaj integral

Uvedimo smenu [tex]z=t+1[/tex]
tada je [tex]t=z-1[/tex] i [tex]dz=dt[/tex]
Dakle,
[tex]\int \frac{t^{2}}{t+1}dt=\int \frac{\left(z-1\right)^{2}}{z}dz[/tex]
[tex]=\int \frac{z^{2}-2z+1}{z}dz=\int zdz-2\int dz+\int z^{-1}dz=\frac{z^{2}}{2}-2z+\ln (z)[/tex]
Kako je [tex]z=t+1[/tex]

[tex]\int \frac{t^{2}}{t+1}dt=\frac{\left( t+1\right)^{2}}{2}-2\left( t+1\right) +\ln (t+1)[/tex] pa je [tex]\int t\ln (t+1)dt=\frac{1}{2}t^{2}\ln (t+1)-\frac{1}{2}\left[ \frac{\left( t+1\right) ^{2}}{2}-2\left( t+1\right) +\ln (t+1)\right] +C[/tex]

[tex]\int t[/tex] [tex]\ln (t+1)\ dt=\ln (t+1)\left[ \frac{1}{2}t^{2}-\frac{1}{2}\right] -\frac{1}{2}\left[ \frac{\left( t+1\right) ^{2}}{2}-2\left( t+1\right)\right] +C[/tex]

Rešenje:
Ovde uzimamo [tex]u=\ln (x)\qquad dv=x^{-2}dx[/tex] tada je

[tex]du=\frac{dx}{x}\qquad v=\int x^{-2}dx=-x^{-1}[/tex] a sada zamenjujemo u

[tex]\int udv=uv-\int vdu[/tex] tada je [tex]\int \frac{\ln (x)}{x^{2}}dx=-\frac{\ln (x)}{x}+\int x^{-2}dx[/tex] pa je

[tex]\int \frac{\ln (x)}{x^{2}}dx=-\frac{\ln (x)}{x}-x^{-1}+C=-\frac{1}{x}\left( \ln x+1\right) +C[/tex]

Rešenje:
Uzimamo [tex]u=x\qquad dv=\cos x[/tex] [tex]dx[/tex] pa je [tex]du=dx[/tex] i

[tex]v=\int \cos x\ dx=\sin x[/tex] pa primenom formule

[tex]\int udv=uv-\int vdu[/tex] dobijamo
[tex]\int x\cos x\ dx=x\sin x-\int \sin xdx[/tex]

Dakle, [tex]\int x\cos x[/tex] [tex]dx=x\sin x+\cos x+C[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]u=x\qquad dv=\sin xdx[/tex] tada je [tex]du=dx[/tex] i [tex]v=\int \sin xdx[/tex]
[tex]v=-\cos x[/tex], a sada zamenjujemo u [tex]\int udv=uv-\int vdu[/tex] pa je
[tex]\int x\sin x[/tex] [tex]dx=-x\cos x+\int \cos xdx=-x\cos x+\sin x+C[/tex]

Rešenje:
Dva puta primenjujemo parcijalnu integraciju.
Neka je [tex]u=x^{2}[/tex], [tex]dv=\sin x\,dx[/tex], pa je [tex]du=2x\,dx[/tex], [tex]v=-\cos x[/tex]:
[tex]\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2\int x\cos x\,dx[/tex]

Sada neka je [tex]u=x[/tex], [tex]dv=\cos x\,dx[/tex], pa je [tex]du=dx[/tex], [tex]v=\sin x[/tex]:
[tex]\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int \sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C[/tex]

Dakle,
[tex]\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2\left( x\sin x+\cos x\right) +C[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]I=\int e^{2x}\sin x\,dx[/tex].
Primenjujemo parcijalnu integraciju sa [tex]u=\sin x[/tex], [tex]dv=e^{2x}dx[/tex], pa je [tex]du=\cos x\,dx[/tex], [tex]v=\frac{1}{2}e^{2x}[/tex]:
[tex]I=\frac{1}{2}e^{2x}\sin x-\frac{1}{2}\int e^{2x}\cos x\,dx[/tex]

Ponovo primenjujemo parcijalnu integraciju sa [tex]u=\cos x[/tex], [tex]dv=e^{2x}dx[/tex], pa je [tex]du=-\sin x\,dx[/tex], [tex]v=\frac{1}{2}e^{2x}[/tex]:
[tex]\int e^{2x}\cos x\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}\cos x+\frac{1}{2}\int e^{2x}\sin x\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}\cos x+\frac{1}{2}I[/tex]

Dakle, [tex]I=\frac{1}{2}e^{2x}\sin x-\frac{1}{4}e^{2x}\cos x-\frac{1}{4}I[/tex], tj. [tex]\frac{5}{4}I=\frac{1}{4}e^{2x}\left( 2\sin x-\cos x\right)[/tex]

[tex]I=\frac{e^{2x}}{5}\left( 2\sin x-\cos x\right) +C[/tex]

Rešenje:
Primenjujemo parcijalnu integraciju sa [tex]u=\sin 5x[/tex], [tex]dv=e^{-3x}dx[/tex], pa je [tex]du=5\cos 5x\,dx[/tex], [tex]v=-\frac{1}{3}e^{-3x}[/tex]:
[tex]I=-\frac{1}{3}e^{-3x}\sin 5x+\frac{5}{3}\int e^{-3x}\cos 5x\,dx[/tex]

Ponovo primenjujemo parcijalnu integraciju sa [tex]u=\cos 5x[/tex], [tex]dv=e^{-3x}dx[/tex], pa je [tex]du=-5\sin 5x\,dx[/tex], [tex]v=-\frac{1}{3}e^{-3x}[/tex]:
[tex]\int e^{-3x}\cos 5x\,dx=-\frac{1}{3}e^{-3x}\cos 5x-\frac{5}{3}\int e^{-3x}\sin 5x\,dx=-\frac{1}{3}e^{-3x}\cos 5x-\frac{5}{3}I[/tex]

Dakle, [tex]I=-\frac{1}{3}e^{-3x}\sin 5x-\frac{5}{9}e^{-3x}\cos 5x-\frac{25}{9}I[/tex], tj. [tex]\frac{34}{9}I=-\frac{1}{9}e^{-3x}\left( 3\sin 5x+5\cos 5x\right)[/tex]

[tex]I=-\frac{e^{-3x}}{34}\left( 3\sin 5x+5\cos 5x\right) +C[/tex]