Dokazivanje nejednakosti - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Dopunimo izraz do potpunih kvadrata:
[tex]x^2+y^2+2x-4y+6=\left(x^2+2x+1\right)+\left(y^2-4y+4\right)+1=(x+1)^2+(y-2)^2+1[/tex]
Kvadrati su nenegativni, pa je za sve realne [tex]x[/tex] i [tex]y[/tex] vrednost izraza najmanje [tex]1[/tex]:
[tex](x+1)^2+(y-2)^2+1\ge 1[/tex]
Vrednost [tex]1[/tex] se dostiže za [tex]x=-1[/tex], [tex]y=2[/tex]. Dakle, najmanja vrednost je [tex]1[/tex].

Rešenje:
Za svako [tex]k=1,2,\ldots,n[/tex] važi [tex]\sqrt{k}\le\sqrt{n}[/tex], pa je
[tex]\frac{1}{\sqrt{k}}\ge\frac{1}{\sqrt{n}}[/tex]
Sabiranjem ovih [tex]n[/tex] nejednakosti dobijamo
[tex]\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}\ge n\cdot \frac{1}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}[/tex]
čime je nejednakost dokazana. Jednakost važi samo za [tex]n=1[/tex]; za [tex]n\ge 2[/tex] prvi sabirak zadovoljava [tex]1\gt\frac{1}{\sqrt{n}}[/tex], pa je nejednakost stroga.

Rešenje:
Prebacimo sve na levu stranu. Ako napišemo [tex]-a^2=-2a^2+a^2[/tex] i [tex]2=1+1[/tex], možemo grupisati sabirke:
[tex]a^4+2-a^2-2a=\left(a^4-2a^2+1\right)+\left(a^2-2a+1\right)=\left(a^2-1\right)^2+\left(a-1\right)^2[/tex]
Zbir dva kvadrata je nenegativan, pa za svaki realan broj [tex]a[/tex] važi
[tex]\left(a^2-1\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge 0\Rightarrow a^4+2\ge a^2+2a[/tex]
Jednakost važi kada je istovremeno [tex]a^2-1=0[/tex] i [tex]a-1=0[/tex], tj. samo za [tex]a=1[/tex].

Rešenje:
Oslobodimo se zagrada i iskoristimo [tex]xy=2[/tex]:
[tex]\left(x+1\right)\left(y+2\right)=xy+2x+y+2=2x+y+4[/tex]
Prema nejednakosti aritmetičke i geometrijske sredine za pozitivne brojeve [tex]2x[/tex] i [tex]y[/tex]:
[tex]2x+y\ge 2\sqrt{2x\cdot y}=2\sqrt{2\cdot 2}=4\Rightarrow \left(x+1\right)\left(y+2\right)\ge 4+4=8[/tex]
Jednakost važi za [tex]2x=y[/tex]; zajedno sa [tex]xy=2[/tex] to daje [tex]2x^2=2[/tex], tj. [tex]x=1[/tex] (jer je [tex]x\gt 0[/tex]) i [tex]y=2[/tex]. Zaista, [tex]\left(1+1\right)\left(2+2\right)=8[/tex]. Dakle, najmanja vrednost je [tex]8[/tex].

Rešenje:
Četiri činioca su pozitivna i njihov zbir je konstantan:
[tex]\left(1+a\right)+\left(1+b\right)+\left(1+c\right)+\left(1+d\right)=4+\left(a+b+c+d\right)=5[/tex]
Prema nejednakosti aritmetičke i geometrijske sredine za ova četiri pozitivna broja
[tex]\sqrt[4]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}\le\frac{5}{4}[/tex]
Stepenovanjem obe strane na četvrti stepen dobijamo
[tex]\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)\le\left(\frac{5}{4}\right)^4=\frac{625}{256}[/tex]
Jednakost važi kada su sva četiri činioca jednaka, tj. za [tex]a=b=c=d=\frac{1}{4}[/tex], što zadovoljava uslove. Dakle, najveća vrednost je [tex]\frac{625}{256}[/tex].

Rešenje:
Napišimo levu stranu kao zbir pet pozitivnih brojeva:
[tex]2\sqrt{a}+3\sqrt[3]{b}=\sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}[/tex]
Prema nejednakosti aritmetičke i geometrijske sredine za ovih pet brojeva
[tex]\sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}\ge 5\sqrt[5]{\left(\sqrt{a}\right)^2\left(\sqrt[3]{b}\right)^3}=5\sqrt[5]{ab}[/tex]
čime je nejednakost dokazana. Jednakost važi tačno kada su svi ovi brojevi jednaki, tj. [tex]\sqrt{a}=\sqrt[3]{b}[/tex], što znači [tex]a^3=b^2[/tex] (na primer [tex]a=b=1[/tex]).

Rešenje:
Uvedimo smene [tex]x=a^3[/tex], [tex]y=b^3[/tex], [tex]z=c^3[/tex]; ovi brojevi su pozitivni i [tex]xyz=\left(abc\right)^3=1[/tex]. Oslobodimo se zagrada na levoj strani:
[tex]\left(x+2\right)\left(y+2\right)\left(z+2\right)=xyz+2\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)+8=2\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)+9[/tex]
Na desnoj strani svaki proizvod ima oblik [tex]\left(x+2\right)\left(y+2\right)=xy+2x+2y+4[/tex], a svaka promenljiva se javlja u dva od tri proizvoda, pa je desna strana jednaka
[tex]\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)+12[/tex]
Razlika leve i desne strane jednaka je [tex]\left(xy+yz+zx\right)-3[/tex], pa je dovoljno dokazati da je [tex]xy+yz+zx\ge 3[/tex]. Prema nejednakosti aritmetičke i geometrijske sredine za pozitivne brojeve [tex]xy[/tex], [tex]yz[/tex], [tex]zx[/tex]:
[tex]xy+yz+zx\ge 3\sqrt[3]{xy\cdot yz\cdot zx}=3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}=3[/tex]
Time je nejednakost dokazana. Jednakost važi za [tex]xy=yz=zx[/tex], tj. [tex]x=y=z=1[/tex], odnosno [tex]a=b=c=1[/tex].

Rešenje:
Posmatrajmo zbir kvadrata odstupanja od [tex]n[/tex] i oslobodimo se zagrada:
[tex]\left(a_1-n\right)^2+\ldots+\left(a_n-n\right)^2=\left(a_1^2+\ldots+a_n^2\right)-2n\left(a_1+\ldots+a_n\right)+n\cdot n^2[/tex]
Prema drugom uslovu prva zagrada je najviše [tex]n^3+1[/tex]. Prema prvom uslovu [tex]a_1+\ldots+a_n\ge n^2[/tex], a pošto je [tex]-2n\lt 0[/tex], srednji sabirak je najviše [tex]-2n\cdot n^2=-2n^3[/tex]. Dakle,
[tex]\left(a_1-n\right)^2+\ldots+\left(a_n-n\right)^2\le n^3+1-2n^3+n^3=1[/tex]
Svi kvadrati su nenegativni, pa nijedan od njih nije veći od celog zbira. Dakle, za svako [tex]k[/tex]
[tex]\left(a_k-n\right)^2\le 1\iff\left|a_k-n\right|\le 1\iff -1\le a_k-n\le 1\iff n-1\le a_k\le n+1[/tex]
što je i trebalo dokazati.