Polarne koordinate i jednačine u polarnom obliku - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Koristimo jednačine transformacije:

$x=r\cos\theta$
$y=r\sin \theta $
gde je $r=0$ $\theta =\frac{\pi}{2}$

$x=0\cdot \cos(\frac{\pi}{2})=0$

$y=0\cdot \sin (\frac{\pi}{2})=0$

Dakle, $(0,\frac{\pi}{2})$ je ekvivalentno $(0,0)$ u Dekartovim koordinatama.

Rešenje:
Odgovor: $(-\sqrt{2},\frac{\pi}{4})\equiv (-1,-1)$

Koristimo transformacione jednačine
$x=r\cos\theta$
$y=r\sin\theta $   where $r=-\sqrt{2}\qquad \theta =\pi /4$

$x=-\sqrt{2}\cdot \cos(\pi /4)=-\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=-1$
$y=-\sqrt{2}\cdot \sin (\pi /4)=-\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=-1$

Tačka u kartezijanskim koordinatama je $(-1,-1)$.

Rešenje:
$y=10\Longrightarrow y=r\sin\theta $ $=10\Longrightarrow r=\frac{10}{\sin\theta }=10\csc \theta $

Rešenje:
Odgovor: $r^{2}\left( \cos 2\theta \right) =4$

Koristimo transformacione jednačine
$x=rcos\theta \qquad y=r\sin\theta$

$x^{2}-y^{2}=4\Longrightarrow \left( rcos\theta \right)^{2}-\left(r\sin\theta \right) ^{2}=4\Longrightarrow r^{2}\left( \cos ^{2}\theta -\sin^{2}\theta \right) =4$

$r^{2}\left( \cos 2\theta \right) =4$
Ovo je jednačina hiperbole, i evo njenog grafika.

Rešenje:
Koristimo transformacione jednačine
$x=r\cos\theta \qquad y=r\sin\theta $

$y^{2}=4x$ $\Longrightarrow \left( r\sin\theta \right) ^{2}=4r\cos\theta \Longrightarrow r^{2}\sin^{2}\theta =4r\cos\theta \Longrightarrow r=4\frac{\cos \theta }{sin^{2}\theta }$

Ovo je jednačina parabole.

Rešenje:
$\theta =2\frac{\pi }{3};r\leq -2$

Ovo je grafika zraka koji pravi ugao od $2\frac{\pi}{3}$ sa pozitivnom $x$-osom, ali ide u suprotnom pravcu počevši od $-2.$

Rešenje:
Odgovor: $0\leq \theta \leq \pi \qquad r=-1$

Ovo je polovina kruga koja počinje od $\pi$ i ide do $2\pi$.
Znam da interval počinje od $0$, ali $r$ je negativan.

Rešenje:
Odgovor: $-\frac{\pi }{4}\leq \theta \leq \frac{\pi }{4}\qquad -1\leq r\leq 1$

Grafik ovog skupa nejednakosti su dva klina izrezana iz kruga sa radijusima $-1$ i $1$, i sve tačke u plavom koje su između tih vrednosti, ograničene pravama $\pm \frac{\pi }{4}$.

Rešenje:
Odgovor: $y=4$

$r\sin\theta =4\Longrightarrow y=4$

Pošto je $y=r\sin \theta$ transformaciona jednačina.

Ovo je jednačina horizontalne linije kroz tačku $(0,4)$.

Rešenje:
Odgovor: $y=x+4$

Koristimo transformacione jednačine
$x=r\cos\theta \qquad y=r\sin\theta$

Dakle, $r\sin\theta =r\cos\theta +4 \Longrightarrow y=x+4$

Ovo je prava linija sa nagibom $1$ i presekom sa $y$-osom u tački $(0,4)$.

Rešenje:
Izjednačimo obe jednačine
$r=\sin \theta$ i $r=\sin 2\theta$

zatim $\sin \theta = \sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta \Longrightarrow 2\cos \theta = 1 \Longrightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}$

Dakle, $\theta = \arccos \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\pi , \frac{5}{3}\pi$

kada je $\theta = \frac{1}{3}\pi \Longrightarrow r=\sin \left( \frac{1}{3}\pi \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ i $r=\sin \left( \frac{2}{3}\pi \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

i kada je $\theta = \frac{5}{3}\pi \Longrightarrow r=\sin \left( \frac{5}{3}\pi \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ i $r=\sin \left( \frac{10}{3}\pi \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Tačke preseka su $\left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{3}\pi \right)$ i $\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{5}{3}\pi \right)$.

Rešenje:
Odgovor: Hiperbola, elipsa.

$r=\frac{2}{1-2\sin \theta }$

Ako uporedimo svaki član u datoj jednačini u polarnom obliku $r=\frac{ep}{1-e\sin\theta }$, možemo videti da je $e=2$.

Dakle, konični presek je hiperbola.

---

$r=\frac{3}{4+\cos \theta }=\frac{3/4}{1+1/4\cos \theta }$
i kada uporedimo sa $r=\frac{ep}{1+e\sin\theta }$, tada je $e=\frac{1}{4}$

Dakle, konični presek je elipsa.

Rešenje:
$r=\frac{4}{3-2\sin \theta }=\frac{4/3}{1-2/3\sin \theta }$
Vidimo da je $e=\frac{2}{3}$, zatim
Jednačina $r=\frac{4}{3-2\sin \theta}$ predstavlja elipsu.

Rešenje:
Konični presek predstavlja parabolu čija je osa horizontalna, jer $r$ nije definisano kada je $\theta = 0$

Teme parabole je $\theta = \pi$
Teme: $(\frac{1}{2}, \pi)$

Presek sa $y$-osom: $(1, \frac{\pi}{2});$ $(1, \frac{3\pi}{2})$

Rešenje:
Vidimo da je $e=2$.
Dakle, jednačina $r=\frac{2}{1+2\cos \theta}$ predstavlja hiperbolu,
čija je osa horizontalna, duž $x$-ose. Temena, koja su krajevi poprečne ose hiperbole, su $\theta =0$ i $\theta =\pi$

Temena: $(\frac{2}{3},0); \ \ (-2,\pi)$

Presek sa $y$-osom na: $(2,\frac{\pi}{2}); \ \ (2,\frac{3\pi}{2})$