Domen funkcije - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Kvadratni koren je definisan tačno kada je potkoreni izraz nenegativan:
[tex]23-2x^2\ge 0\iff x^2\le\frac{23}{2}=11{,}5[/tex]
Za ceo broj [tex]x[/tex] to znači [tex]|x|\le 3[/tex], jer je [tex]3^2=9\le 11{,}5[/tex], a [tex]4^2=16\gt 11{,}5[/tex]. Dakle, celi brojevi iz domena su
[tex]-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3[/tex]
tj. [tex]7[/tex] brojeva.

Rešenje:
Funkcija je definisana kada je
[tex]5x^2-x^3=x^2(5-x)\ge 0[/tex]
Ako je [tex]x=0[/tex], nejednačina je zadovoljena. Ako je [tex]x\ne 0[/tex], onda je [tex]x^2\gt 0[/tex] i nejednačina je ekvivalentna sa [tex]5-x\ge 0[/tex], tj. [tex]x\le 5[/tex].
Pošto je [tex]0\le 5[/tex], domen je [tex]\left(-\infty; 5\right][/tex], a najveći broj u njemu je [tex]5[/tex]. Zaista,
[tex]f(5)=\sqrt{125-125}=0[/tex]

Rešenje:
Izraz je definisan tačno kada imenilac nije jednak nuli, pa određujemo kada je imenilac jednak nuli:
[tex]|x-2|-4+3x=0[/tex]
Ako je [tex]x\ge 2[/tex], onda je [tex]|x-2|=x-2[/tex] i jednačina postaje [tex]4x-6=0[/tex], odakle je [tex]x=\frac{3}{2}[/tex]. Ova vrednost ne zadovoljava uslov [tex]x\ge 2[/tex], pa se odbacuje (zaista, za [tex]x=\frac{3}{2}[/tex] imenilac je [tex]\frac{1}{2}-4+\frac{9}{2}=1\ne 0[/tex]).
Ako je [tex]x\lt 2[/tex], onda je [tex]|x-2|=2-x[/tex] i jednačina postaje [tex]2x-2=0[/tex], odakle je [tex]x=1[/tex], što zadovoljava uslov [tex]x\lt 2[/tex].
Dakle, imenilac je jednak nuli samo za [tex]x=1[/tex], pa je oblast definisanosti
[tex]x\in\left(-\infty; 1\right)\cup\left(1; +\infty\right)[/tex]

Rešenje:
Osnova logaritma mora biti pozitivna i različita od [tex]1[/tex], a njegov argument mora biti pozitivan:
[tex]x\gt 0,\qquad x\ne 1,\qquad x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\gt 0[/tex]
Poslednja nejednačina je zadovoljena za [tex]x\lt 1[/tex] ili [tex]x\gt 2[/tex]. Presekom sa uslovima za osnovu [tex]x\in\left(0; 1\right)\cup\left(1; +\infty\right)[/tex] dobijamo
[tex]x\in\left(0; 1\right)\cup\left(2; +\infty\right)[/tex]

Rešenje:
Potkoreni izraz mora biti nenegativan:
[tex]x^4-x^2=x^2(x-1)(x+1)\ge 0[/tex]
Ako je [tex]x=0[/tex], leva strana je jednaka [tex]0[/tex], pa je nejednačina zadovoljena i [tex]0[/tex] pripada domenu.
Ako je [tex]x\ne 0[/tex], onda je [tex]x^2\gt 0[/tex] i možemo da delimo sa njim: [tex](x-1)(x+1)\ge 0[/tex], tj. [tex]x\le -1[/tex] ili [tex]x\ge 1[/tex]. Dakle, domen je
[tex]\left(-\infty; -1\right]\cup\left\{0\right\}\cup\left[1; +\infty\right)[/tex]
Primetimo da je [tex]0[/tex] dvostruki koren: činilac [tex]x^2[/tex] ne menja znak, pa je izraz negativan sa obe strane tačke [tex]0[/tex] (za [tex]0\lt |x|\lt 1[/tex]), a tačka [tex]0[/tex] je izolovana tačka domena.

Rešenje:
Koren stepena [tex]112[/tex] je koren parnog stepena, pa potkoreni izraz mora biti nenegativan:
[tex]-x^2-4x+5\ge 0\iff x^2+4x-5\le 0\iff (x+5)(x-1)\le 0\iff x\in\left[-5; 1\right][/tex]
Koren stepena [tex]13[/tex] je koren neparnog stepena, pa je definisan za svaki realan potkoreni izraz (uključujući i negativan). Jedino ograničenje potiče od toga što se nalazi u imeniocu:
[tex]\sqrt[13]{11-11x}\ne 0\iff 11-11x\ne 0\iff x\ne 1[/tex]
Kombinovanjem oba uslova dobijamo oblast definisanosti
[tex]x\in\left[-5; 1\right)[/tex]

Rešenje:
Svaki od kvadratnih korena mora da postoji zasebno, a imenilac ne sme biti jednak nuli. Za brojilac:
[tex]x^2+4x+3=(x+1)(x+3)\ge 0\iff x\in\left(-\infty; -3\right]\cup\left[-1; +\infty\right)[/tex]
Koren u imeniocu postoji i različit je od nule tačno kada je
[tex]x^2+2x-8=(x+4)(x-2)\gt 0\iff x\in\left(-\infty; -4\right)\cup\left(2; +\infty\right)[/tex]
Domen je presek ova dva skupa:
[tex]x\in\left(-\infty; -4\right)\cup\left(2; +\infty\right)[/tex]
Primetimo da je za [tex]x\in\left[-3; -1\right][/tex] količnik [tex]\frac{x^2+4x+3}{x^2+2x-8}[/tex] nenegativan, ali je potkoreni izraz [tex]x^2+2x-8[/tex] negativan, pa te vrednosti ne pripadaju domenu funkcije [tex]f[/tex] (one pripadaju samo domenu funkcije [tex]\sqrt{\frac{x^2+4x+3}{x^2+2x-8}}[/tex]).

Rešenje:
Oba potkorena izraza moraju biti nenegativna. Iz [tex]9-x^2\ge 0[/tex] dobijamo [tex]x\in\left[-3; 3\right][/tex], a iz [tex]\sin x\ge 0[/tex] dobijamo
[tex]x\in\left[2k\pi; \pi+2k\pi\right],\ k\in\mathbb{Z}[/tex]
Proveravamo koji od ovih intervala imaju zajedničke tačke sa [tex]\left[-3; 3\right][/tex]. Za [tex]k=0[/tex] interval je [tex]\left[0; \pi\right][/tex]; pošto je [tex]\pi\gt 3[/tex], njegov presek sa [tex]\left[-3; 3\right][/tex] je [tex]\left[0; 3\right][/tex].
Za [tex]k\le -1[/tex] intervali se završavaju u [tex](2k+1)\pi\le -\pi\lt -3[/tex], a za [tex]k\ge 1[/tex] počinju od [tex]2k\pi\ge 2\pi\gt 3[/tex], pa nemaju zajedničkih tačaka sa [tex]\left[-3; 3\right][/tex]. Dakle, domen je
[tex]x\in\left[0; 3\right][/tex]

Rešenje:
Argument od [tex]\log_2[/tex] mora biti pozitivan, argument od [tex]\log_{\frac{1}{3}}[/tex] mora biti pozitivan, a potkoreni izraz mora biti nenegativan:
[tex]\frac{x^2-7}{x+4}\gt 0,\qquad L=\log_{2}\frac{x^2-7}{x+4}\gt 0,\qquad -\log_{\frac{1}{3}}L\ge 0[/tex]
Poslednji uslov znači [tex]\log_{\frac{1}{3}}L\le 0=\log_{\frac{1}{3}}1[/tex]. Osnova je [tex]\frac{1}{3}\lt 1[/tex], pa je ovaj logaritam opadajuća funkcija i uslov je ekvivalentan sa [tex]L\ge 1[/tex], tj.
[tex]\log_{2}\frac{x^2-7}{x+4}\ge 1=\log_2 2\iff\frac{x^2-7}{x+4}\ge 2[/tex]
Ova nejednačina već obezbeđuje i prva dva uslova. Rešavamo je:
[tex]\frac{x^2-7}{x+4}-2\ge 0\iff\frac{x^2-2x-15}{x+4}\ge 0\iff\frac{(x-5)(x+3)}{x+4}\ge 0[/tex]
Metodom intervala (kritične tačke [tex]-4[/tex], [tex]-3[/tex], [tex]5[/tex], pri čemu je [tex]-4[/tex] isključena) dobijamo da je domen
[tex]x\in\left(-4; -3\right]\cup\left[5; +\infty\right)[/tex]
Interval [tex]\left(-4; -3\right)[/tex] ne sadrži cele brojeve, pa je najmanji ceo broj iz domena [tex]-3[/tex]. Provera:
[tex]\frac{9-7}{-3+4}=2,\qquad \log_2 2=1,\qquad \log_{\frac{1}{3}}1=0,\qquad f(-3)=\sqrt{0}=0[/tex]

Rešenje:
Potrebno je da važi [tex]x\ge 0[/tex] (zbog unutrašnjeg korena) i [tex]\sin \sqrt{x}\ge 0[/tex] (zbog spoljašnjeg korena). Uvodimo smenu [tex]t=\sqrt{x}\ge 0[/tex]. Nejednačina [tex]\sin t\ge 0[/tex] je zadovoljena za
[tex]t\in\left[2k\pi; (2k+1)\pi\right],\ k\in\mathbb{Z}[/tex]
Za [tex]k\le -1[/tex] ceo interval je negativan (njegov desni kraj je [tex](2k+1)\pi\le -\pi\lt 0[/tex]), pa ne sadrži dozvoljene vrednosti [tex]t[/tex]; dakle, [tex]k\in\left\{0; 1; 2; \ldots\right\}[/tex]. Za [tex]t\ge 0[/tex] funkcija [tex]x=t^2[/tex] je rastuća, pa je
[tex]2k\pi\le\sqrt{x}\le(2k+1)\pi\iff 4k^2\pi^2\le x\le(2k+1)^2\pi^2[/tex]
Dakle, domen je unija intervala [tex]\left[4k^2\pi^2; (2k+1)^2\pi^2\right][/tex], [tex]k\in\left\{0; 1; 2; \ldots\right\}[/tex]:
[tex]\left[0; \pi^2\right]\cup\left[4\pi^2; 9\pi^2\right]\cup\left[16\pi^2; 25\pi^2\right]\cup\ldots[/tex]