Diofantove jednačine - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Deljenjem sa [tex]2[/tex] dobijamo ekvivalentnu jednačinu
[tex]8x+13y=159[/tex]
Po modulu [tex]8[/tex] važi [tex]13\equiv 5[/tex] i [tex]159\equiv 7[/tex], pa je [tex]5y\equiv 7\pmod 8[/tex]. Pošto je [tex]5\cdot 5=25\equiv 1\pmod 8[/tex], množenjem sa [tex]5[/tex] dobijamo
[tex]y\equiv 35\equiv 3\pmod 8[/tex]
Za [tex]y=3[/tex] dobijamo [tex]8x=159-39=120[/tex], tj. [tex]x=15[/tex], pa je [tex](x; y)=(15; 3)[/tex] jedno partikularno rešenje. Ako je [tex](x; y)[/tex] proizvoljno rešenje, oduzimanjem [tex]8\cdot 15+13\cdot 3=159[/tex] od [tex]8x+13y=159[/tex] dobijamo
[tex]8(x-15)=-13(y-3)[/tex]
Pošto su [tex]8[/tex] i [tex]13[/tex] uzajamno prosti, broj [tex]y-3[/tex] je deljiv sa [tex]8[/tex], tj. [tex]y=3+8t[/tex], gde je [tex]t\in\mathbb{Z}[/tex]; tada je [tex]8(x-15)=-104t[/tex], tj. [tex]x=15-13t[/tex]. Obrnuto, svaki takav par je rešenje:
[tex]16(15-13t)+26(3+8t)=240-208t+78+208t=318[/tex]
Dakle, rešenja su [tex]x=15-13t,\ y=3+8t[/tex], gde je [tex]t\in\mathbb{Z}[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]x[/tex] broj sanduka od [tex]130[/tex] kg, a [tex]y[/tex] broj sanduka od [tex]160[/tex] kg, gde su [tex]x[/tex] i [tex]y[/tex] nenegativni celi brojevi. Pošto su [tex]3[/tex] tone [tex]3000[/tex] kg, važi
[tex]130x+160y=3000\iff 13x+16y=300[/tex]
Po modulu [tex]13[/tex] važi [tex]16\equiv 3[/tex] i [tex]300=13\cdot 23+1\equiv 1[/tex], pa je [tex]3y\equiv 1\pmod{13}[/tex]. Pošto je [tex]3\cdot 9=27\equiv 1\pmod{13}[/tex], množenjem sa [tex]9[/tex] dobijamo
[tex]y\equiv 9\pmod{13}[/tex]
S druge strane, [tex]16y\le 300[/tex], pa je [tex]y\le 18[/tex], i jedina takva vrednost je [tex]y=9[/tex]. Tada je
[tex]13x=300-16\cdot 9=156\Rightarrow x=12[/tex]
Dakle, kamion se može potpuno natovariti na jedinstven način: [tex]12[/tex] sanduka od po [tex]130[/tex] kg i [tex]9[/tex] sanduka od po [tex]160[/tex] kg ([tex]1560+1440=3000[/tex] kg). Ukupan broj sanduka je [tex]12+9=21[/tex].

Rešenje:
Neka tim ima [tex]w[/tex] pobeda, [tex]d[/tex] nerešenih utakmica i [tex]l[/tex] poraza ([tex]w[/tex], [tex]d[/tex], [tex]l[/tex] su nenegativni celi brojevi). Tada je
[tex]w+d+l=38,\qquad 3w+d=80[/tex]
Iz druge jednačine je [tex]d=80-3w\ge 0[/tex], pa je [tex]w\le 26[/tex]. Zamenom u prvu jednačinu dobijamo
[tex]l=38-w-(80-3w)=2w-42[/tex]
Broj poraza raste sa [tex]w[/tex], pa je najveći za [tex]w=26[/tex]: tada je [tex]d=2[/tex] i [tex]l=10[/tex]. Provera: [tex]26+2+10=38[/tex] utakmica i [tex]3\cdot 26+2=80[/tex] bodova. Dakle, najveći mogući broj poraza je [tex]10[/tex].

Rešenje:
Pretpostavimo da celi brojevi [tex]x[/tex] i [tex]y[/tex] zadovoljavaju jednačinu. Tada je [tex]5x^2=11y+7[/tex], pa je
[tex]5x^2\equiv 7\pmod{11}[/tex]
Pošto je [tex]5\cdot 9=45\equiv 1\pmod{11}[/tex], množenjem sa [tex]9[/tex] dobijamo
[tex]x^2\equiv 63\equiv 8\pmod{11}[/tex]
S druge strane, svaki ceo broj [tex]x[/tex] je po modulu [tex]11[/tex] kongruentan nekom od brojeva [tex]0; \pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 4; \pm 5[/tex], a
[tex]0^2=0,\quad (\pm 1)^2=1,\quad (\pm 2)^2=4,\quad (\pm 3)^2=9,\quad (\pm 4)^2=16\equiv 5,\quad (\pm 5)^2=25\equiv 3\pmod{11}[/tex]
Dakle, potpun kvadrat pri deljenju sa [tex]11[/tex] može dati samo ostatke [tex]0; 1; 3; 4; 5; 9[/tex], a nikada ostatak [tex]8[/tex]. Dobijena kontradikcija dokazuje da jednačina nema rešenja u skupu celih brojeva.