Diofantove jednačine - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Jednačina ima rešenje tačno onda kada se broj [tex]n=c-3[/tex] može zapisati kao [tex]n=5a+7b[/tex] sa celim [tex]a,b\ge 0[/tex]. Za [tex]n=23[/tex], tj. [tex]c=26[/tex], mora biti [tex]7b\le 23[/tex], pa je [tex]b\in\{0; 1; 2; 3\}[/tex] i
[tex]23-7b\in\{23; 16; 9; 2\}[/tex]
Nijedan od ovih brojeva nije deljiv sa [tex]5[/tex], pa za [tex]c=26[/tex] jednačina nema rešenja.
Neka je sada [tex]n\ge 24[/tex]. Brojevi [tex]7b[/tex] za [tex]b=0; 1; 2; 3; 4[/tex] daju sve moguće ostatke po modulu [tex]5[/tex]:
[tex]0\equiv 0,\quad 7\equiv 2,\quad 14\equiv 4,\quad 21\equiv 1,\quad 28\equiv 3\pmod 5[/tex]
Izaberimo [tex]b\in\{0; 1; 2; 3; 4\}[/tex] tako da je [tex]7b\equiv n\pmod 5[/tex]. Ako je [tex]b\le 3[/tex], onda je [tex]7b\le 21\lt n[/tex]. Ako je [tex]b=4[/tex], onda je [tex]n\equiv 3\pmod 5[/tex], što zajedno sa [tex]n\ge 24[/tex] daje [tex]n\ge 28=7b[/tex]. U oba slučaja [tex]n-7b[/tex] je nenegativan umnožak broja [tex]5[/tex], tj. [tex]n-7b=5a[/tex] sa [tex]a\ge 0[/tex].
Dakle, jednačina ima rešenje za svako [tex]c\ge 27[/tex], a najveće [tex]c[/tex] za koje nema rešenja je [tex]c=26[/tex].

Rešenje:
Zapišimo jednačinu u obliku
[tex](x-y)(x+y)=400[/tex]
Brojevi [tex]x-y[/tex] i [tex]x+y[/tex] su iste parnosti, jer je njihov zbir [tex]2x[/tex] paran; njihov proizvod je paran, pa su oba parna. Stavimo [tex]x-y=2u[/tex], [tex]x+y=2v[/tex] sa celim [tex]u[/tex] i [tex]v[/tex]; tada je
[tex]uv=100,\qquad x=u+v,\quad y=v-u[/tex]
Obrnuto, svaki uređeni par celih brojeva [tex](u; v)[/tex] sa [tex]uv=100[/tex] daje rešenje [tex](x; y)=(u+v; v-u)[/tex], pri čemu različiti parovi daju različita rešenja, jer su [tex]u=\frac{x-y}{2}[/tex] i [tex]v=\frac{x+y}{2}[/tex] određeni parom [tex](x; y)[/tex]. Dakle, treba prebrojati uređene parove celih brojeva [tex](u; v)[/tex] sa [tex]uv=100[/tex].
Broj [tex]100=2^2\cdot 5^2[/tex] ima [tex](2+1)(2+1)=9[/tex] pozitivnih delilaca, pa postoji [tex]9[/tex] takvih parova sa [tex]u,v\gt 0[/tex] i [tex]9[/tex] parova sa [tex]u,v\lt 0[/tex]. Dakle, jednačina ima [tex]18[/tex] celobrojnih rešenja (sa svim kombinacijama znakova):
[tex](\pm 20; 0),\ (\pm 25; \pm 15),\ (\pm 29; \pm 21),\ (\pm 52; \pm 48),\ (\pm 101; \pm 99)[/tex]

Rešenje:
Grupišemo sabirke koji sadrže [tex]x[/tex]:
[tex]x(y-3)=2y^2+1[/tex]
Ako je [tex]y=3[/tex], dobijamo [tex]0=19[/tex], što nije tačno. Zato je [tex]y\ne 3[/tex], a pošto je [tex]2y^2+1=(y-3)(2y+6)+19[/tex], važi
[tex]x=\frac{2y^2+1}{y-3}=2y+6+\frac{19}{y-3}[/tex]
Dakle, [tex]x[/tex] je ceo broj tačno onda kada je [tex]19[/tex] deljivo sa [tex]y-3[/tex], tj. [tex]y-3\in\{1; -1; 19; -19\}[/tex]:
[tex]y-3=1\Rightarrow y=4,\ x=8+6+19=33[/tex]
[tex]y-3=-1\Rightarrow y=2,\ x=4+6-19=-9[/tex]
[tex]y-3=19\Rightarrow y=22,\ x=44+6+1=51[/tex]
[tex]y-3=-19\Rightarrow y=-16,\ x=-32+6-1=-27[/tex]
Sva četiri para zadovoljavaju jednačinu (na primer, [tex]33\cdot 4=132=2\cdot 16+99+1[/tex] i [tex](-27)(-16)=432=2\cdot 256-81+1[/tex]), pa su rešenja [tex](33; 4)[/tex], [tex](-9; 2)[/tex], [tex](51; 22)[/tex] i [tex](-27; -16)[/tex].

Rešenje:
Svaki činilac je veći od [tex]1[/tex], a činilac [tex]1+\frac{1}{n}[/tex] opada kada [tex]n[/tex] raste. Ako je [tex]a=1[/tex], prvi činilac je već jednak [tex]2[/tex] i proizvod je veći od [tex]2[/tex]. Ako je [tex]a\ge 4[/tex], onda je [tex]b,c\ge 4[/tex] i
[tex]\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\le\left(\frac{5}{4}\right)^3=\frac{125}{64}\lt 2[/tex]
Dakle, [tex]a=2[/tex] ili [tex]a=3[/tex].
Slučaj [tex]a=2[/tex]. Tada je [tex]\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=\frac{4}{3}[/tex], tj. [tex]3(b+1)(c+1)=4bc[/tex], što je ekvivalentno sa
[tex]bc-3b-3c-3=0\iff (b-3)(c-3)=12[/tex]
Pošto je drugi činilac veći od [tex]1[/tex], važi [tex]1+\frac{1}{b}\lt\frac{4}{3}[/tex], tj. [tex]b\gt 3[/tex]. Zato je [tex]1\le b-3\le c-3[/tex] i [tex](b-3; c-3)\in\{(1; 12),\ (2; 6),\ (3; 4)\}[/tex], odakle dobijamo trojke [tex](2; 4; 15)[/tex], [tex](2; 5; 9)[/tex], [tex](2; 6; 7)[/tex].
Slučaj [tex]a=3[/tex]. Tada je [tex]\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=\frac{3}{2}[/tex], tj. [tex]2(b+1)(c+1)=3bc[/tex], što je ekvivalentno sa
[tex]bc-2b-2c-2=0\iff (b-2)(c-2)=6[/tex]
Ovde je [tex]b\ge a=3[/tex], pa je [tex]1\le b-2\le c-2[/tex] i [tex](b-2; c-2)\in\{(1; 6),\ (2; 3)\}[/tex], odakle dobijamo trojke [tex](3; 3; 8)[/tex] i [tex](3; 4; 5)[/tex].
Svih pet trojki zadovoljava uslov [tex]a\le b\le c[/tex], pa takvih trojki ima [tex]5[/tex].

Rešenje:
Sabiranjem prve jednačine sa dvostrukom drugom dobijamo
[tex](x+y+z)^2=138+2\cdot 131=400\Rightarrow x+y+z=\pm 20[/tex]
Oduzimanjem druge jednačine od prve i udvostručavanjem dobijamo
[tex](x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=2\cdot 138-2\cdot 131=14[/tex]
Svaki od ovih kvadrata je najviše [tex]14[/tex], pa je jedan od brojeva [tex]0; 1; 4; 9[/tex], a jedini način da se [tex]14[/tex] zapiše kao zbir tri takva kvadrata je [tex]9+4+1[/tex]. Zato su tri broja međusobno različita, i kada ih poređamo po veličini, dve razlike između susednih su [tex]1[/tex] i [tex]2[/tex] u nekom redosledu (najveća razlika je [tex]3[/tex]). Dakle, to su brojevi [tex]t,\ t+1,\ t+3[/tex] ili [tex]t,\ t+2,\ t+3[/tex] za neki ceo broj [tex]t[/tex].
U prvom slučaju zbir je [tex]3t+4=\pm 20[/tex], odakle je [tex]t=-8[/tex] (vrednost [tex]t=\frac{16}{3}[/tex] nije ceo broj): brojevi [tex]-8; -7; -5[/tex]. U drugom slučaju iz [tex]3t+5=\pm 20[/tex] dobijamo [tex]t=5[/tex] (vrednost [tex]t=-\frac{25}{3}[/tex] nije ceo broj): brojevi [tex]5; 7; 8[/tex].
Provera: [tex]25+49+64=138[/tex] i [tex]35+56+40=131[/tex]; za [tex]-8; -7; -5[/tex] vrednosti su iste. Obe jednačine su simetrične, pa je svaki raspored svake od dve trojke brojeva rešenje, i broj uređenih trojki je
[tex]2\cdot 3!=12[/tex]

Rešenje:
Ako je [tex]n=1[/tex], onda je [tex]3^m=3[/tex] i [tex]m=1[/tex]. Neka je [tex]n\ge 2[/tex]. Tada [tex]3^m=1+2^n[/tex] daje ostatak [tex]1[/tex] pri deljenju sa [tex]4[/tex], a [tex]3\equiv -1\pmod 4[/tex]:
[tex]3^m\equiv (-1)^m\equiv 1\pmod 4[/tex]
pa je [tex]m[/tex] paran: [tex]m=2k[/tex], [tex]k\ge 1[/tex]. Tada je
[tex]2^n=3^{2k}-1=\left(3^k-1\right)\left(3^k+1\right)[/tex]
Oba činioca su pozitivni delioci stepena broja [tex]2[/tex], pa su i sami stepeni broja [tex]2[/tex], i razlikuju se za [tex]2[/tex]. Manji od njih je [tex]3^k-1\ge 2[/tex]. Kada bi on bio bar [tex]4[/tex], oba činioca bila bi deljiva sa [tex]4[/tex], pa i njihova razlika [tex]2[/tex], što nije tačno. Dakle,
[tex]3^k-1=2\Rightarrow k=1,\quad m=2,\quad 2^n=2\cdot 4=8,\quad n=3[/tex]
Provera: [tex]3^1-2^1=1[/tex] i [tex]3^2-2^3=1[/tex]. Rešenja su [tex](1; 1)[/tex] i [tex](2; 3)[/tex].

Rešenje:
Uporedimo desnu stranu sa susednim kubovima [tex]y^3[/tex] i [tex](y+1)^3[/tex]:
[tex]x^3-y^3=2y^2+1\gt 0[/tex]
[tex](y+1)^3-x^3=\left(y^3+3y^2+3y+1\right)-\left(y^3+2y^2+1\right)=y^2+3y=y(y+3)[/tex]
Ako je [tex]y\ge 1[/tex] ili [tex]y\le -4[/tex], onda je [tex]y(y+3)\gt 0[/tex], pa je [tex]y^3\lt x^3\lt (y+1)^3[/tex], tj. [tex]y\lt x\lt y+1[/tex], što je nemoguće za ceo broj [tex]x[/tex]. Ostaje da proverimo [tex]y\in\{-3; -2; -1; 0\}[/tex]:
[tex]y=-3:\quad x^3=-27+18+1=-8\Rightarrow x=-2[/tex]
[tex]y=-2:\quad x^3=-8+8+1=1\Rightarrow x=1[/tex]
[tex]y=-1[/tex]: [tex]x^3=-1+2+1=2[/tex], što nema celobrojno rešenje;
[tex]y=0:\quad x^3=1\Rightarrow x=1[/tex]
Rešenja su [tex](1; 0)[/tex], [tex](1; -2)[/tex] i [tex](-2; -3)[/tex].