Slučajne promenljive i raspodele - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Zbir verovatnoća svih mogućih vrednosti jednak je [tex]1[/tex], pa je
[tex]p_3=1-0{,}5-0{,}3=0{,}2[/tex]
Po definiciji matematičkog očekivanja diskretne slučajne promenljive
[tex]E(X)=x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3=3\cdot 0{,}5+5\cdot 0{,}3+0{,}2\,x_3=3+0{,}2\,x_3[/tex]
Prema tome,
[tex]3+0{,}2\,x_3=5\Rightarrow 0{,}2\,x_3=2\Rightarrow x_3=10[/tex]
Vrednost [tex]10[/tex] razlikuje se od [tex]3[/tex] i [tex]5[/tex], pa su tri vrednosti zaista različite, a raspodela promenljive [tex]X[/tex] je
[tex]P(X=3)=0{,}5 ; \quad P(X=5)=0{,}3 ; \quad P(X=10)=0{,}2[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]X[/tex] rezultat ispita, a [tex]Y[/tex] rezultat modula, tj. [tex]D(X)=18[/tex], [tex]D(Y)=2[/tex] i [tex]\rho=\frac{1}{3}[/tex] (srednje vrednosti nisu potrebne). Po definiciji koeficijenta korelacije, kovarijansa je
[tex]\operatorname{cov}(X,Y)=\rho\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}=\frac{1}{3}\sqrt{18\cdot 2}=\frac{1}{3}\cdot 6=2[/tex]
Disperzija zbira dve slučajne promenljive je
[tex]D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\operatorname{cov}(X,Y)=18+2+4=24[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]a=E(X)[/tex] i [tex]\sigma=\sqrt{D(X)}\gt 0[/tex]. Nejednakost Čebiševa važi za svaku slučajnu promenljivu sa konačnom disperzijom i svako [tex]\varepsilon\gt 0[/tex]:
[tex]P(|X-a|\ge\varepsilon)\le\frac{D(X)}{\varepsilon^2}[/tex]
Za [tex]\varepsilon=3\sigma[/tex] dobijamo
[tex]P(|X-a|\ge 3\sigma)\le\frac{\sigma^2}{9\sigma^2}=\frac{1}{9}[/tex]
Događaj [tex]|X-a|\lt 3\sigma[/tex] je suprotan događaju [tex]|X-a|\ge 3\sigma[/tex], pa je
[tex]P(|X-a|\lt 3\sigma)\ge 1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}[/tex]
Ocena važi za svaku raspodelu i u opštem slučaju ne može da se poboljša: ako [tex]X[/tex] uzima vrednosti [tex]a-3\sigma[/tex], [tex]a[/tex], [tex]a+3\sigma[/tex] sa verovatnoćama [tex]\frac{1}{18}[/tex], [tex]\frac{8}{9}[/tex], [tex]\frac{1}{18}[/tex], onda je njena disperzija [tex]2\cdot \frac{1}{18}\cdot 9\sigma^2=\sigma^2[/tex], a verovatnoća je tačno [tex]\frac{8}{9}[/tex]. Vrednost [tex]0{,}9973[/tex] (pravilo tri sigme) važi samo za normalnu raspodelu.

Rešenje:
Po definiciji, disperzija slučajne promenljive [tex]Y[/tex] je
[tex]D(Y)=E\left[(Y-E(Y))^2\right][/tex]
Za svaku slučajnu promenljivu [tex]Y[/tex] sa konačnim matematičkim očekivanjem važi [tex]E(cY)=cE(Y)[/tex], jer se konstanta može izvući ispred sume (diskretan slučaj) ili ispred integrala (neprekidan slučaj sa gustinom [tex]f[/tex]):
[tex]E(cY)=\sum_i c\,y_ip_i=c\sum_i y_ip_i,\qquad E(cY)=\int_{-\infty}^{\infty}c\,yf(y)\,dy=c\int_{-\infty}^{\infty}yf(y)\,dy[/tex]
Pošto je [tex]D(X)[/tex] konačna, [tex]E(X)[/tex] postoji, pa je [tex]E(cX)=cE(X)[/tex] i
[tex]cX-E(cX)=c\,(X-E(X))\Rightarrow (cX-E(cX))^2=c^2(X-E(X))^2[/tex]
Primenom istog svojstva na slučajnu promenljivu [tex](X-E(X))^2[/tex], čije je matematičko očekivanje [tex]D(X)[/tex] konačno, dobijamo
[tex]D(cX)=E\left[c^2(X-E(X))^2\right]=c^2E\left[(X-E(X))^2\right]=c^2D(X)[/tex]
čime je tvrđenje dokazano. Specijalno, [tex]D(-X)=D(X)[/tex] i [tex]\sigma(cX)=|c|\,\sigma(X)[/tex].

Rešenje:
Broj [tex]X[/tex] uspešno rešenih testova ima binomnu raspodelu sa [tex]n=4[/tex], [tex]p=0{,}6[/tex], [tex]q=0{,}4[/tex]:
[tex]P(X=k)=\binom{4}{k}(0{,}6)^k(0{,}4)^{4-k}[/tex]
Odavde je
[tex]P(X=0)=\frac{16}{625} ; \quad P(X=1)=\frac{96}{625} ; \quad P(X=2)=\frac{216}{625}[/tex]
[tex]P(X=3)=\frac{216}{625} ; \quad P(X=4)=\frac{81}{625}[/tex]
Maksimum se dostiže za dve vrednosti: [tex]k=2[/tex] i [tex]k=3[/tex]. U opštem slučaju
[tex]\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}=\frac{(n-k)p}{(k+1)q}[/tex]
a za [tex]k=2[/tex] ovaj količnik je [tex]\frac{2\cdot 0{,}6}{3\cdot 0{,}4}=1[/tex]. To se dešava zato što je [tex](n+1)p=3[/tex] ceo broj; tada su i [tex](n+1)p-1=2[/tex] i [tex](n+1)p=3[/tex] najverovatnije vrednosti. Primetimo da matematičko očekivanje [tex]np=2{,}4[/tex] nije čak ni moguća vrednost promenljive [tex]X[/tex].

Rešenje:
Svih [tex]\binom{6}{3}=20[/tex] izbora [tex]3[/tex] uređaja su jednako verovatni. Nestandardnih uređaja ima samo [tex]2[/tex], pa je bar jedan izabrani uređaj standardan i [tex]X\in\{1; 2; 3\}[/tex]. Promenljiva [tex]X[/tex] ima hipergeometrijsku raspodelu:
[tex]P(X=k)=\frac{\binom{4}{k}\binom{2}{3-k}}{\binom{6}{3}}[/tex]
pa je
[tex]P(X=1)=\frac{4\cdot 1}{20}=\frac{1}{5} ; \quad P(X=2)=\frac{6\cdot 2}{20}=\frac{3}{5} ; \quad P(X=3)=\frac{4\cdot 1}{20}=\frac{1}{5}[/tex]
(zbir je [tex]1[/tex]). Tada je
[tex]E(X)=1\cdot \frac{1}{5}+2\cdot \frac{3}{5}+3\cdot \frac{1}{5}=2[/tex]
[tex]E(X^2)=1\cdot \frac{1}{5}+4\cdot \frac{3}{5}+9\cdot \frac{1}{5}=\frac{22}{5}[/tex]
[tex]D(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\frac{22}{5}-4=\frac{2}{5}[/tex]
Provera pomoću formule za disperziju hipergeometrijske raspodele ([tex]N=6[/tex], [tex]M=4[/tex], [tex]n=3[/tex]):
[tex]D(X)=n\frac{M}{N}\left(1-\frac{M}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}=3\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{5}=\frac{2}{5}[/tex]

Rešenje:
Najpre određujemo [tex]c[/tex] iz uslova normiranja [tex]\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1[/tex]. Podintegralna funkcija je parna, pa je
[tex]\int_{-8}^{8}c\,(8-|x|)\,dx=2c\int_0^8(8-x)\,dx=2c\cdot 32=64c=1\Rightarrow c=\frac{1}{64}[/tex]
Sada je [tex]F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt[/tex]. Za [tex]x\lt -8[/tex] gustina je nula, pa je [tex]F(x)=0[/tex]. Za [tex]-8\le x\le 0[/tex] važi [tex]|t|=-t[/tex], pa je
[tex]F(x)=\frac{1}{64}\int_{-8}^{x}(8+t)\,dt=\frac{(x+8)^2}{128}[/tex]
Specijalno, [tex]F(0)=\frac{1}{2}[/tex], kao što se i očekuje zbog simetrije gustine. Za [tex]0\lt x\le 8[/tex]:
[tex]F(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{64}\int_0^x(8-t)\,dt=\frac{1}{2}+\frac{x}{8}-\frac{x^2}{128}=1-\frac{(8-x)^2}{128}[/tex]
Za [tex]x\gt 8[/tex] cela masa verovatnoće nalazi se levo od [tex]x[/tex], pa je [tex]F(x)=1[/tex]. Provera: [tex]F(-8)=0[/tex], [tex]F(8)=1[/tex], a [tex]F[/tex] je neprekidna i neopadajuća. Dakle,
[tex]F(x)=\begin{cases}0, & x\lt -8\\ \frac{(x+8)^2}{128}, & -8\le x\le 0\\ 1-\frac{(8-x)^2}{128}, & 0\lt x\le 8\\ 1, & x\gt 8\end{cases}[/tex]