Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Neka je [tex]E[/tex] jedinična matrica. Druga vrsta matrice [tex]A-\lambda E[/tex] ima samo jedan element različit od nule, [tex]4-\lambda[/tex], pa razvijanjem po njoj dobijamo
[tex]\det(A-\lambda E)=(4-\lambda)\begin{vmatrix}a^2+b^2-\lambda&2ab\\2ab&a^2+b^2-\lambda\end{vmatrix}=(4-\lambda)\left[(a^2+b^2-\lambda)^2-(2ab)^2\right][/tex]
Prema formuli za razliku kvadrata
[tex](a^2+b^2-\lambda)^2-(2ab)^2=(a^2-2ab+b^2-\lambda)(a^2+2ab+b^2-\lambda)=\left((a-b)^2-\lambda\right)\left((a+b)^2-\lambda\right)[/tex]
Dakle, sopstvene vrednosti su
[tex]\lambda_1=4; \quad \lambda_2=(a-b)^2; \quad \lambda_3=(a+b)^2[/tex]
Provera preko traga:
[tex]4+(a-b)^2+(a+b)^2=4+2(a^2+b^2)=\operatorname{tr}A[/tex]
Odgovarajući sopstveni vektori [tex]\left(0; 1; 0\right)^{T}[/tex], [tex]\left(1; 0; -1\right)^{T}[/tex], [tex]\left(1; 0; 1\right)^{T}[/tex] ne zavise od [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex]; na primer,
[tex]A\left(1; 0; -1\right)^{T}=\left(a^2-2ab+b^2\right)\left(1; 0; -1\right)^{T}=(a-b)^2\left(1; 0; -1\right)^{T}[/tex]
Kao što se i očekuje za realnu simetričnu matricu, sve sopstvene vrednosti su realne, a sopstveni vektori su međusobno ortogonalni.

Rešenje:
Neka je [tex]E[/tex] jedinična matrica. Razvijamo karakterističnu determinantu po njenoj trećoj vrsti [tex]\left(-1; 0; -2-\lambda\right)[/tex]:
[tex]\det(A-\lambda E)=\begin{vmatrix}2-\lambda&-1&2\\5&-3-\lambda&3\\-1&0&-2-\lambda\end{vmatrix}=-1\cdot \begin{vmatrix}-1&2\\-3-\lambda&3\end{vmatrix}+(-2-\lambda)\begin{vmatrix}2-\lambda&-1\\5&-3-\lambda\end{vmatrix}[/tex]
[tex]=-(3+2\lambda)+(-2-\lambda)(\lambda^2+\lambda-1)=-\lambda^3-3\lambda^2-3\lambda-1=-(\lambda+1)^3[/tex]
Dakle, [tex]\lambda=-1[/tex] je jedina sopstvena vrednost, algebarske višestrukosti [tex]3[/tex]. Sopstveni vektori su nenula rešenja jednačine [tex](A+E)\vec{x}=\vec{0}[/tex], tj. sistema
[tex]\begin{cases}3x_1-x_2+2x_3=0\\ 5x_1-2x_2+3x_3=0\\ -x_1-x_3=0\end{cases}[/tex]
Iz treće jednačine je [tex]x_1=-x_3[/tex]; zatim iz prve [tex]-3x_3-x_2+2x_3=0[/tex], tj. [tex]x_2=-x_3[/tex], a druga, [tex]-5x_3+2x_3+3x_3=0[/tex], važi automatski. Dakle, rang matrice [tex]A+E[/tex] je [tex]2[/tex], prostor rešenja ima dimenziju [tex]3-2=1[/tex], i za [tex]x_3=-c[/tex] sopstveni vektori su
[tex]\vec{x}=c\left(1; 1; -1\right)^{T},\quad c\ne 0[/tex]
Provera:
[tex]A\left(1; 1; -1\right)^{T}=\left(-1; -1; 1\right)^{T}=-\left(1; 1; -1\right)^{T}[/tex]
Geometrijska višestrukost [tex]1[/tex] manja je od algebarske višestrukosti [tex]3[/tex], pa ne postoji baza od sopstvenih vektora i [tex]A[/tex] nije dijagonalizabilna. Primetimo da [tex]\left(1; 0; -1\right)^{T}[/tex] nije sopstveni vektor: [tex]A\left(1; 0; -1\right)^{T}=\left(0; 2; 1\right)^{T}[/tex].

Rešenje:
Matrica forme (njeni vandijagonalni elementi jednaki su polovini koeficijenata uz mešovite članove):
[tex]A=\begin{bmatrix}2&2&-2\\2&5&-4\\-2&-4&5\end{bmatrix}[/tex]
Neka je [tex]E[/tex] jedinična matrica. U [tex]\det(A-\lambda E)[/tex] dodajemo treću vrstu drugoj; nova druga vrsta je [tex]\left(0; 1-\lambda; 1-\lambda\right)[/tex], pa izvlačimo činilac [tex]1-\lambda[/tex]. Zatim od treće kolone oduzimamo drugu i razvijamo po drugoj vrsti:
[tex]\det(A-\lambda E)=(1-\lambda)\begin{vmatrix}2-\lambda&2&-2\\0&1&1\\-2&-4&5-\lambda\end{vmatrix}=(1-\lambda)\begin{vmatrix}2-\lambda&2&-4\\0&1&0\\-2&-4&9-\lambda\end{vmatrix}[/tex]
[tex]=(1-\lambda)\left[(2-\lambda)(9-\lambda)-8\right]=(1-\lambda)(\lambda^2-11\lambda+10)=-(\lambda-1)^2(\lambda-10)[/tex]
Sopstvene vrednosti su [tex]\lambda_1=\lambda_2=1[/tex] i [tex]\lambda_3=10[/tex]. Provera: njihov zbir je [tex]12=\operatorname{tr}A[/tex], a proizvod [tex]10=\det A[/tex].
Za [tex]\lambda=10[/tex] sistem [tex](A-10E)\vec{x}=\vec{0}[/tex] daje sopstveni vektor [tex]\left(1; 2; -2\right)[/tex]. Za [tex]\lambda=1[/tex] matrica [tex]A-E[/tex] ima rang [tex]1[/tex], pa sopstveni vektori ispunjavaju ravan [tex]x+2y-2z=0[/tex]; u njoj biramo dva ortogonalna vektora [tex]\left(2; -1; 0\right)[/tex] i [tex]\left(2; 4; 5\right)[/tex]. Sopstveni vektori simetrične matrice za različite sopstvene vrednosti su ortogonalni, pa su posle normiranja ta tri vektora kolone ortogonalne matrice [tex]Q[/tex]:
[tex]Q=\begin{bmatrix}\frac{2}{\sqrt5}&\frac{2}{3\sqrt5}&\frac13\\-\frac{1}{\sqrt5}&\frac{4}{3\sqrt5}&\frac23\\0&\frac{5}{3\sqrt5}&-\frac23\end{bmatrix},\qquad Q^{T}AQ=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&10\end{bmatrix}[/tex]
Dakle, ortogonalna smena [tex]\left(x; y; z\right)^{T}=Q\left(u; v; w\right)^{T}[/tex] svodi formu na kanonski oblik
[tex]f=u^2+v^2+10w^2[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]E[/tex] jedinična matrica. Nad kompleksnim brojevima karakteristični polinom matrice [tex]A[/tex] rastavlja se na linearne činioce; neka su [tex]\lambda_1; \lambda_2; \ldots; \lambda_n[/tex] sopstvene vrednosti matrice [tex]A[/tex], svaka ponovljena onoliko puta kolika je njena višestrukost:
[tex]\det(A-\lambda E)=(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)\ldots(\lambda_n-\lambda)[/tex]
Za [tex]\lambda=0[/tex] dobijamo sledeće, pa su sve sopstvene vrednosti matrice [tex]A[/tex] različite od nule i brojevi [tex]\frac{1}{\lambda_i}[/tex] imaju smisla:
[tex]\lambda_1\lambda_2\ldots\lambda_n=\det A\ne 0[/tex]
Neka je [tex]\mu\ne 0[/tex]. Pošto je [tex]A^{-1}A=E[/tex], možemo pisati
[tex]A^{-1}-\mu E=A^{-1}(E-\mu A)=-\mu A^{-1}\left(A-\frac{1}{\mu}E\right)[/tex]
Uzimamo determinante (množenje matrice reda [tex]n[/tex] brojem [tex]-\mu[/tex] množi njenu determinantu sa [tex](-\mu)^n[/tex]) i koristimo [tex](-\mu)\left(\lambda_i-\frac{1}{\mu}\right)=1-\lambda_i\mu[/tex]:
[tex]\det(A^{-1}-\mu E)=(-\mu)^n\det(A^{-1})\prod_{i=1}^{n}\left(\lambda_i-\frac{1}{\mu}\right)=\det(A^{-1})\prod_{i=1}^{n}(1-\lambda_i\mu)[/tex]
Sada je [tex]1-\lambda_i\mu=\lambda_i\left(\frac{1}{\lambda_i}-\mu\right)[/tex], [tex]\lambda_1\lambda_2\ldots\lambda_n=\det A[/tex] i [tex]\det(A^{-1})\det A=\det E=1[/tex], pa je
[tex]\det(A^{-1}-\mu E)=\det(A^{-1})\det A\prod_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{\lambda_i}-\mu\right)=\prod_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{\lambda_i}-\mu\right)[/tex]
Obe strane su polinomi po [tex]\mu[/tex] stepena [tex]n[/tex] koji se poklapaju za sve [tex]\mu\ne 0[/tex], tj. za beskonačno mnogo vrednosti, pa su identički jednaki. Dakle, karakteristični koreni matrice [tex]A^{-1}[/tex] su tačno [tex]\frac{1}{\lambda_1}; \frac{1}{\lambda_2}; \ldots; \frac{1}{\lambda_n}[/tex]. Preslikavanje [tex]\lambda\mapsto\frac{1}{\lambda}[/tex] je obostrano jednoznačno, pa jednakim činiocima odgovaraju jednaki činioci i svaki koren [tex]\frac{1}{\lambda}[/tex] matrice [tex]A^{-1}[/tex] ima istu višestrukost kao koren [tex]\lambda[/tex] matrice [tex]A[/tex].
Napomena: i sopstveni vektori su isti. Ako je [tex]A\vec{x}=\lambda\vec{x}[/tex], [tex]\vec{x}\ne\vec{0}[/tex], onda množenjem sa [tex]A^{-1}[/tex] dobijamo [tex]\vec{x}=\lambda A^{-1}\vec{x}[/tex], tj.
[tex]A^{-1}\vec{x}=\frac{1}{\lambda}\vec{x}[/tex]