Racionalni izrazi i racionalne jednačine - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Imenioci su pozitivni za svaki realan broj [tex]x[/tex], pa je domen [tex]\mathbb{R}[/tex]. Pošto je [tex]x^2+4\ge 4[/tex] i [tex]x^2+5\ge 5[/tex], važi
[tex]\frac{4}{x^2+4}\le 1,\qquad \frac{5}{x^2+5}\le 1[/tex]
pri čemu u oba slučaja jednakost važi samo za [tex]x=0[/tex]. Zato je leva strana najviše [tex]2[/tex] i jednaka je [tex]2[/tex] samo kada su oba razlomka jednaka [tex]1[/tex], tj. samo za [tex]x=0[/tex].
Isto se dobija i oslobađanjem od imenilaca:
[tex]4(x^2+5)+5(x^2+4)=2(x^2+4)(x^2+5)\iff 2x^4+9x^2=0\iff x^2(2x^2+9)=0[/tex]
Pošto je [tex]2x^2+9\gt 0[/tex], jedini realan koren je [tex]x=0[/tex]. Jednačina ima tačno jedan realan koren.

Rešenje:
Domeni: [tex]F[/tex] je definisana za [tex]x\ne 0[/tex], [tex]x\ne -1[/tex]; kod [tex]G[/tex] i delilac [tex]\left(\frac{x+2}{2}\right)^2[/tex] mora biti različit od nule, pa je dodatno [tex]x\ne -2[/tex].
Uprostimo [tex]F[/tex]: pošto je [tex]\frac{x}{x(x+1)}=\frac{1}{x+1}[/tex], imamo
[tex]1-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x}-\frac{x}{x+1}=1+\frac{1}{x}-\frac{x+1}{x+1}=\frac{1}{x}\Rightarrow F(x)=\frac{4}{x}[/tex]
Uprostimo [tex]G[/tex]:
[tex]\frac{1}{x(x+1)}+\frac{x+3}{x}=\frac{1+(x+3)(x+1)}{x(x+1)}=\frac{x^2+4x+4}{x(x+1)}=\frac{(x+2)^2}{x(x+1)}[/tex]
[tex]G(x)=\frac{(x+2)^2}{x(x+1)}\cdot \frac{4}{(x+2)^2}=\frac{4}{x(x+1)},\quad x\ne -2[/tex]
Apscise zajedničkih tačaka zadovoljavaju [tex]\frac{4}{x}=\frac{4}{x(x+1)}[/tex] uz [tex]x\notin\{-2; -1; 0\}[/tex]. Množenjem sa [tex]x(x+1)\ne 0[/tex] dobijamo [tex]x+1=1[/tex], tj. [tex]x=0[/tex], što nije dozvoljeno.
(Ako se ne vodi računa o domenima, oslobađanje od imenilaca daje [tex]x(x+2)^2=0[/tex], ali i [tex]x=0[/tex] i [tex]x=-2[/tex] su van domena funkcije [tex]G[/tex].) Dakle, grafici nemaju zajedničkih tačaka i traženi skup je prazan: [tex]\varnothing[/tex].

Rešenje:
Domen: [tex]x\ne 1[/tex] i [tex]x\ne -1[/tex]. Za dopustive vrednosti [tex]x[/tex] je
[tex]\frac{x+1}{1-x^2}=\frac{x+1}{(1-x)(1+x)}=\frac{1}{1-x}=-\frac{1}{x-1}[/tex]
pa se prvi i treći sabirak potiru i jednačina postaje [tex]x^3-4x^2-4x+1=0[/tex]. Grupišemo sabirke:
[tex]x^3-4x^2-4x+1=(x^3+1)-4x(x+1)=(x+1)(x^2-x+1)-4x(x+1)=(x+1)(x^2-5x+1)[/tex]
Koren [tex]x=-1[/tex] ne pripada domenu (razlomci tu nisu definisani), pa je stran. Iz [tex]x^2-5x+1=0[/tex] dobijamo
[tex]x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}[/tex]
Ovi brojevi su iracionalni, dakle različiti od [tex]\pm 1[/tex], pa su oba koreni jednačine.

Rešenje:
Za prirodan broj [tex]n[/tex] važi
[tex]f(n)f(n+1)=\frac{2}{2n+1}\cdot \frac{2}{2n+3}=\frac{4}{(2n+1)(2n+3)}=2\left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right)[/tex]
jer je [tex]\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}=\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}[/tex]. Sabiranjem za [tex]n=1,2,\ldots,1002[/tex] svi međusabirci se potiru:
[tex]2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots+\frac{1}{2005}-\frac{1}{2007}\right)=2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2007}\right)=2\cdot \frac{668}{2007}=\frac{1336}{2007}[/tex]

Rešenje:
Rastavimo imenioce na činioce:
[tex]9x^2-6x+1=(3x-1)^2,\qquad 11-9x^2-30x=-(9x^2+30x-11)=-(3x-1)(3x+11)[/tex]
Domen: [tex]x\ne\frac{1}{3}[/tex] i [tex]x\ne-\frac{11}{3}[/tex]. Uvedimo smene [tex]u=3x-1[/tex] i [tex]v=3x+11[/tex]; na domenu su obe različite od nule i [tex]v-u=12[/tex]. Jednačina postaje
[tex]-\frac{2}{uv}=\frac{1}{u^2}-\frac{3}{v^2}[/tex]
Pomnožimo sa [tex]u^2v^2\ne 0[/tex]:
[tex]-2uv=v^2-3u^2\iff 3u^2-2uv-v^2=0\iff (3u+v)(u-v)=0[/tex]
Činilac [tex]u-v=-12[/tex] nikada nije nula, pa je [tex]3u+v=0[/tex]:
[tex]3(3x-1)+(3x+11)=0\iff 12x+8=0\iff x=-\frac{2}{3}[/tex]
Ova vrednost pripada domenu ([tex]u=-3[/tex], [tex]v=9[/tex]). Provera: leva strana je [tex]\frac{2}{27}[/tex], a desna [tex]\frac{1}{9}-\frac{3}{81}=\frac{2}{27}[/tex]. Jedini koren je [tex]x=-\frac{2}{3}[/tex].

Rešenje:
Diskriminante trinoma [tex]4x^2-8x+7[/tex] i [tex]4x^2-10x+7[/tex] su [tex]64-112\lt 0[/tex] i [tex]100-112\lt 0[/tex], pa imenioci nikada nisu nula i domen je [tex]\mathbb{R}[/tex]. Broj [tex]x=0[/tex] nije koren (leva strana je [tex]0\ne 1[/tex]).
Za [tex]x\ne 0[/tex] podelimo brojilac i imenilac svakog razlomka sa [tex]x[/tex]:
[tex]\frac{4}{4x+\frac{7}{x}-8}+\frac{3}{4x+\frac{7}{x}-10}=1[/tex]
Uvedimo smenu [tex]t=4x+\frac{7}{x}[/tex] (uz [tex]t\ne 8[/tex], [tex]t\ne 10[/tex]):
[tex]\frac{4}{t-8}+\frac{3}{t-10}=1\iff 4(t-10)+3(t-8)=(t-8)(t-10)\iff t^2-25t+144=0\iff t=9\text{ ili }t=16[/tex]
Za [tex]t=9[/tex]: jednačina [tex]4x^2-9x+7=0[/tex] ima diskriminantu [tex]81-112\lt 0[/tex], pa nema realnih korena.
Za [tex]t=16[/tex]:
[tex]4x^2-16x+7=0\Rightarrow x=\frac{16\pm 12}{8}\Rightarrow x_1=\frac{1}{2},\ x_2=\frac{7}{2}[/tex]
Oba broja su različita od nule, pa su oba koreni jednačine.

Rešenje:
Izraz je definisan za [tex]a\ne 0[/tex], [tex]a\ne \pm 1[/tex]; nijedan od ovih brojeva ne zadovoljava [tex]8a^3=6a+1[/tex] (za [tex]a=0[/tex]: [tex]0\ne 1[/tex]; za [tex]a=1[/tex]: [tex]8\ne 7[/tex]; za [tex]a=-1[/tex]: [tex]-8\ne -5[/tex]), pa je [tex]A[/tex] definisan. Sa zajedničkim imeniocem [tex]a(a-1)(a+1)=a^3-a[/tex]:
[tex]A=\frac{a^2}{(a-1)(a+1)}+\frac{1}{a(a+1)}=\frac{a^3+a-1}{a^3-a}[/tex]
Iz uslova je [tex]a^3=\frac{6a+1}{8}[/tex], pa je
[tex]a^3+a-1=\frac{6a+1+8a-8}{8}=\frac{7(2a-1)}{8},\qquad a^3-a=\frac{6a+1-8a}{8}=\frac{1-2a}{8}[/tex]
Osim toga, [tex]2a-1\ne 0[/tex], jer za [tex]a=\frac{1}{2}[/tex] imamo [tex]8a^3=1\ne 4=6a+1[/tex]. Dakle,
[tex]A=\frac{7(2a-1)}{1-2a}=-7[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]p=a[/tex], [tex]q=2b[/tex], [tex]r=3c[/tex]; ovi brojevi su pozitivni i
[tex]\frac{p}{q+r}=\frac{q}{r+p}=\frac{r}{p+q}[/tex]
Dodavanjem [tex]1[/tex] svakom od tri jednaka razlomka dobijamo
[tex]\frac{p+q+r}{q+r}=\frac{p+q+r}{r+p}=\frac{p+q+r}{p+q}[/tex]
Pošto je [tex]p+q+r\gt 0[/tex], imenioci su jednaki: [tex]q+r=r+p=p+q[/tex], odakle je [tex]p=q=r[/tex], tj. [tex]a=2b=3c[/tex]. Neka je [tex]a=6s[/tex], [tex]b=3s[/tex], [tex]c=2s[/tex], gde je [tex]s\gt 0[/tex]. Tada je
[tex]a+b+c=11s,\qquad \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{6s}+\frac{2}{6s}+\frac{3}{6s}=\frac{1}{s}[/tex]
[tex]F=11s\cdot \frac{1}{s}=11[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]s=a+b+c[/tex]; tada je [tex]s\ne 0[/tex] i [tex]a=s-(b+c)[/tex], odakle je
[tex]\frac{a^2}{b+c}=\frac{a\left(s-(b+c)\right)}{b+c}=\frac{sa}{b+c}-a[/tex]
Analogno je
[tex]\frac{b^2}{c+a}=\frac{sb}{c+a}-b,\qquad \frac{c^2}{a+b}=\frac{sc}{a+b}-c[/tex]
Saberimo tri jednakosti i iskoristimo uslov:
[tex]0=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=s\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)-(a+b+c)=sA-s=s(A-1)[/tex]
Pošto je [tex]s\ne 0[/tex], dobijamo [tex]A-1=0[/tex], tj. [tex]A=1[/tex].