Jednačine i nejednačine sa parametrom - veoma teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Na intervalu [tex]\left[0 ; \pi\right][/tex] funkcija [tex]\cos x[/tex] je strogo opadajuća i svaku vrednost iz [tex]\left[-1 ; 1\right][/tex] uzima tačno jednom, a [tex]3^{c}[/tex] je strogo rastuća. Zato, uz smenu [tex]t=3^{\cos x}[/tex], rešenja [tex]x\in\left[0 ; \pi\right][/tex] obostrano jednoznačno odgovaraju rešenjima [tex]t\in\left[\frac{1}{3} ; 3\right][/tex] jednačine
[tex]t+\frac{3}{t}=a\iff t^2-at+3=0[/tex]
Za [tex]t\gt 0[/tex] važi [tex]t+\frac{3}{t}\ge 2\sqrt{3}[/tex], pa za [tex]a\lt 2\sqrt{3}[/tex] rešenja nema. Neka je [tex]a\ge 2\sqrt{3}[/tex]. Prema Vietovim formulama proizvod korena je [tex]3[/tex], pa su koreni [tex]\tau[/tex] i [tex]\frac{3}{\tau}[/tex], gde je [tex]\tau\in\left(0 ; \sqrt{3}\right][/tex] manji od njih i
[tex]a=h(\tau)=\tau+\frac{3}{\tau}[/tex]
Ako je [tex]\tau\lt \frac{1}{3}[/tex], onda je [tex]\frac{3}{\tau}\gt 9[/tex], pa nijedan koren nije u [tex]\left[\frac{1}{3} ; 3\right][/tex] – rešenja nema.
Ako je [tex]\frac{1}{3}\le \tau\lt 1[/tex], onda je [tex]\frac{3}{\tau}\in\left(3 ; 9\right][/tex] van intervala, pa postoji tačno jedno rešenje.
Ako je [tex]1\le \tau\lt \sqrt{3}[/tex], onda je i [tex]\frac{3}{\tau}\in\left(\sqrt{3} ; 3\right][/tex], pa postoje dva rešenja.
Ako je [tex]\tau=\sqrt{3}[/tex] (dvostruki koren, [tex]a=2\sqrt{3}[/tex]), postoji tačno jedno rešenje.
Funkcija [tex]h[/tex] je strogo opadajuća na [tex]\left(0 ; \sqrt{3}\right][/tex], jer za [tex]0\lt t_1\lt t_2\le \sqrt{3}[/tex] važi
[tex]h(t_1)-h(t_2)=\left(t_2-t_1\right)\left(\frac{3}{t_1t_2}-1\right)\gt 0[/tex]
Prema tome, [tex]\tau\in\left[\frac{1}{3} ; 1\right)[/tex] odgovara tačno vrednostima [tex]a\in\left(h(1) ; h\left(\frac{1}{3}\right)\right]=\left(4 ; \frac{28}{3}\right][/tex]. Odgovor: [tex]a\in\left\{2\sqrt{3}\right\}\cup\left(4 ; \frac{28}{3}\right][/tex].

Rešenje:
Pošto je [tex]x^2-2x-3=(x-3)(x+1)[/tex], domen je [tex]x\ne 3[/tex], [tex]x\ne -1[/tex], i na njemu jednačina postaje
[tex]\frac{|x-2|}{x+1}=a[/tex]
Slučaj [tex]1[/tex]: [tex]x\ge 2[/tex], [tex]x\ne 3[/tex]. Tada je [tex]x-2=a(x+1)[/tex], tj. [tex](1-a)x=a+2[/tex]. Za [tex]a=1[/tex] dobijamo [tex]0=3[/tex] – nema korena. Inače je [tex]x=\frac{a+2}{1-a}[/tex] i
[tex]x\ge 2\iff \frac{a+2}{1-a}-2=\frac{3a}{1-a}\ge 0\iff 0\le a\lt 1[/tex]
Osim toga, [tex]x=3[/tex] tačno kada je [tex]a+2=3(1-a)[/tex], tj. [tex]a=\frac{1}{4}[/tex], i tada taj koren otpada. Dakle, slučaj [tex]1[/tex] daje jedan koren za [tex]a\in\left[0 ; \frac{1}{4}\right)\cup\left(\frac{1}{4} ; 1\right)[/tex] i nijedan za ostale vrednosti [tex]a[/tex].
Slučaj [tex]2[/tex]: [tex]x\lt 2[/tex], [tex]x\ne -1[/tex]. Tada je [tex]2-x=a(x+1)[/tex], tj. [tex](1+a)x=2-a[/tex]. Za [tex]a=-1[/tex] dobijamo [tex]0=3[/tex] – nema korena. Inače je [tex]x=\frac{2-a}{1+a}[/tex], što nikada nije [tex]-1[/tex] (inače bi bilo [tex]2-a=-1-a[/tex]), i
[tex]x\lt 2\iff \frac{2-a}{1+a}-2=\frac{-3a}{1+a}\lt 0\iff a\lt -1\text{ ili }a\gt 0[/tex]
Prebrojavanje: za [tex]a\lt -1[/tex] postoji jedan koren (slučaj [tex]2[/tex]); za [tex]-1\le a\lt 0[/tex] nema korena; za [tex]a=0[/tex] postoji jedan koren [tex]x=2[/tex] (samo iz slučaja [tex]1[/tex]).
Za [tex]0\lt a\lt 1[/tex], [tex]a\ne \frac{1}{4}[/tex], postoje dva korena; za [tex]a=\frac{1}{4}[/tex] postoji jedan koren [tex]x=\frac{7}{5}[/tex], jer kandidat [tex]x=3[/tex] iz slučaja [tex]1[/tex] nije u domenu; za [tex]a\ge 1[/tex] postoji jedan koren (slučaj [tex]2[/tex]).
Prema tome, rešenje je jedinstveno za [tex]a\in\left(-\infty ; -1\right)\cup\left\{0 ; \frac{1}{4}\right\}\cup\left[1 ; +\infty\right)[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]P(x)=x^2-2mx-4(m^2+1)[/tex] i [tex]Q(x)=x^2-4x-2m(m^2+1)[/tex]. Koreni jednačine su koreni od [tex]P[/tex] zajedno sa korenima od [tex]Q[/tex]. Za diskriminante važi
[tex]\frac{D_P}{4}=m^2+4(m^2+1)=5m^2+4\gt 0,\qquad \frac{D_Q}{4}=4+2m(m^2+1)=2(m+1)(m^2-m+2)[/tex]
Dakle, [tex]P[/tex] uvek ima dva različita realna korena, a pošto je [tex]m^2-m+2\gt 0[/tex], [tex]Q[/tex] ima realne korene ako i samo ako je [tex]m\ge -1[/tex]. Za [tex]m\lt -1[/tex] jednačina ima samo dva korena od [tex]P[/tex], pa je [tex]m\ge -1[/tex]. Tačno tri različita korena moguća su na dva načina: (a) [tex]Q[/tex] ima dvostruki koren koji nije koren od [tex]P[/tex]; (b) [tex]Q[/tex] ima dva različita korena i tačno jedan od njih je koren od [tex]P[/tex].
(a) [tex]D_Q=0[/tex] daje [tex]m=-1[/tex]. Tada je [tex]Q(x)=(x-2)^2[/tex] i [tex]P(x)=x^2+2x-8=(x-2)(x+4)[/tex], pa su koreni samo [tex]2[/tex] i [tex]-4[/tex]; odbacuje se.
(b) Neka je [tex]m\gt -1[/tex] i neka je [tex]x_0[/tex] zajednički koren. Tada je [tex]P(x_0)-Q(x_0)=0[/tex], tj.
[tex](4-2m)x_0+(2m-4)(m^2+1)=0\iff (m-2)\left(m^2+1-x_0\right)=0[/tex]
Ako je [tex]m=2[/tex], onda je [tex]P(x)=Q(x)=x^2-4x-20[/tex] i jednačina ima samo dva korena; odbacuje se. Inače je [tex]P\ne Q[/tex], pa imaju najviše jedan zajednički koren, [tex]x_0=m^2+1[/tex]. Zamenom u [tex]P[/tex] dobijamo:
[tex](m^2+1)^2-2m(m^2+1)-4(m^2+1)=(m^2+1)(m^2-2m-3)=(m^2+1)(m-3)(m+1)=0[/tex]
Pošto je [tex]m\gt -1[/tex], dobijamo [tex]m=3[/tex]. Provera:
[tex]P(x)=x^2-6x-40=(x-10)(x+4),\qquad Q(x)=x^2-4x-60=(x-10)(x+6)[/tex]
Koreni su [tex]10[/tex], [tex]-4[/tex] i [tex]-6[/tex], tačno tri različita korena. Odgovor je [tex]m=3[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]f(x)=(2a-1)x^{2}+2(a+2)x+2[/tex]. Ako je [tex]a=\frac{1}{2}[/tex], nejednačina glasi [tex]5x+2\gt 0[/tex], tj. [tex]x\gt -\frac{2}{5}[/tex], što sadrži beskonačno mnogo celih brojeva. Ako je [tex]a\gt \frac{1}{2}[/tex], vodeći koeficijent je pozitivan i [tex]f(x)\gt 0[/tex] za sve dovoljno velike [tex]x[/tex], opet beskonačno mnogo celih brojeva. Dakle, [tex]a\lt \frac{1}{2}[/tex] i parabola je okrenuta naniže. Njena diskriminanta je
[tex]\frac{D}{4}=(a+2)^{2}-2(2a-1)=a^{2}+6\gt 0[/tex]
pa postoje dva korena [tex]x_1\lt x_2[/tex] i skup rešenja je interval [tex]\left(x_1 ; x_2\right)[/tex]. Osim toga,
[tex]f(-1)=(2a-1)-2(a+2)+2=-3\lt 0,\qquad f(0)=2\gt 0[/tex]
odakle je [tex]-1\lt x_1\lt 0\lt x_2[/tex]. Interval ne sadrži negativne cele brojeve, a celi brojevi u njemu su [tex]0; 1; 2; \ldots[/tex] do [tex]x_2[/tex]. Ima ih tačno tri ako i samo ako je [tex]2[/tex] rešenje, a [tex]3[/tex] nije, tj. [tex]f(2)\gt 0[/tex] i [tex]f(3)\le 0[/tex]:
[tex]f(2)=12a+6\gt 0\iff a\gt -\frac{1}{2},\qquad f(3)=24a+5\le 0\iff a\le -\frac{5}{24}[/tex]
Oba uslova su saglasna sa [tex]a\lt \frac{1}{2}[/tex]. Za [tex]a=-\frac{5}{24}[/tex] broj [tex]3[/tex] je koren, pa ne zadovoljava strogu nejednačinu i taj kraj se uključuje; za [tex]a=-\frac{1}{2}[/tex] broj [tex]2[/tex] je koren i ostaju samo [tex]0[/tex] i [tex]1[/tex]. Odgovor je [tex]a\in\left(-\frac{1}{2} ; -\frac{5}{24}\right][/tex].

Rešenje:
Za [tex]x=0[/tex] je [tex]f(0)=8\gt 0[/tex] za svako [tex]m[/tex]. Za [tex]x=k[/tex] i [tex]x=-k[/tex], gde je [tex]k\in\mathbb{N}[/tex], uslovi glase
[tex]k^2-2mk+8\ge 0\iff m\le \frac{k}{2}+\frac{4}{k},\qquad k^2+2mk+8\ge 0\iff m\ge -\left(\frac{k}{2}+\frac{4}{k}\right)[/tex]
Dakle, potrebno je [tex]|m|\le h(k)=\frac{k}{2}+\frac{4}{k}[/tex] za svako [tex]k\in\mathbb{N}[/tex], tj. [tex]|m|[/tex] ne sme biti veće od najmanje vrednosti [tex]h(k)[/tex] na prirodnim brojevima. Imamo [tex]h(3)=\frac{3}{2}+\frac{4}{3}=\frac{17}{6}[/tex] i za svaki prirodan broj [tex]k[/tex]
[tex]h(k)-\frac{17}{6}=\frac{3k^2-17k+24}{6k}=\frac{(3k-8)(k-3)}{6k}\ge 0[/tex]
jer strogo između [tex]\frac{8}{3}[/tex] i [tex]3[/tex] nema celog broja. Dakle, najmanja vrednost je [tex]\frac{17}{6}[/tex] (za [tex]k=3[/tex]) i uslov glasi [tex]-\frac{17}{6}\le m\le \frac{17}{6}[/tex].
Ovaj skup je širi od [tex]\left[-2\sqrt{2} ; 2\sqrt{2}\right][/tex], koji se dobija iz [tex]D\le 0[/tex] (nejednakost za sve realne [tex]x[/tex]): na primer, za [tex]m=\frac{17}{6}[/tex] koreni od [tex]f[/tex] su [tex]\frac{8}{3}[/tex] i [tex]3[/tex], a [tex]f[/tex] je negativna samo strogo između njih, gde nema celog broja. Odgovor je [tex]m\in\left[-\frac{17}{6} ; \frac{17}{6}\right][/tex].

Rešenje:
Realan broj [tex]u[/tex] je koren jednačine za neko realno [tex]a[/tex] tačno onda kada jednačina, posmatrana kao kvadratna po [tex]a[/tex],
[tex]a^2+6(1-u)a+3u^2-u-3=0[/tex]
ima realno rešenje [tex]a[/tex], tj. kada je njena diskriminanta nenegativna:
[tex]\frac{D}{4}=9(1-u)^2-\left(3u^2-u-3\right)=6u^2-17u+12=(2u-3)(3u-4)\ge 0[/tex]
Dakle, mogući realni koreni su tačno brojevi [tex]u\in\left(-\infty ; \frac{4}{3}\right]\cup\left[\frac{3}{2} ; +\infty\right)[/tex]. Pošto je [tex]\frac{4}{3}\lt \sqrt{2}\lt \frac{3}{2}[/tex], moguće vrednosti najbliže broju [tex]\sqrt{2}[/tex] su [tex]\frac{4}{3}[/tex] i [tex]\frac{3}{2}[/tex]. Uporedimo rastojanja:
[tex]\sqrt{2}-\frac{4}{3}\lt \frac{3}{2}-\sqrt{2}\iff 2\sqrt{2}\lt \frac{17}{6}\iff 12\sqrt{2}\lt 17\iff 288\lt 289[/tex]
što je tačno. Dakle, minimum izraza [tex]\left|u-\sqrt{2}\right|[/tex] dostiže se za [tex]u=\frac{4}{3}[/tex]. Za tu vrednost diskriminanta po [tex]a[/tex] jednaka je nuli, pa je [tex]a=-3(1-u)=3u-3=1[/tex]. Provera: za [tex]a=1[/tex] jednačina glasi [tex]3x^2-7x+4=0[/tex] i ima korene [tex]1[/tex] i [tex]\frac{4}{3}[/tex]. Odgovor je [tex]a=1[/tex].

Rešenje:
Leva strana je definisana samo za [tex]a\ne 0[/tex] i [tex]\sin x\ne 0[/tex]. Stavimo [tex]u=\left|a\sin x\right|\gt 0[/tex]. Pošto je [tex]a^{2}\sin ^{2}x+9\gt 0[/tex], leva strana je jednaka
[tex]\frac{u^{2}+9}{u}=u+\frac{9}{u}=6+\frac{(u-3)^{2}}{u}\ge 6[/tex]
pri čemu jednakost važi samo za [tex]u=3[/tex]. Za desnu stranu važi
[tex]-25\cos^{2}x+30\cos x-3=6-(5\cos x-3)^{2}\le 6[/tex]
pri čemu jednakost važi samo za [tex]\cos x=\frac{3}{5}[/tex]. Zato nejednačina može biti zadovoljena samo ako su obe strane jednake [tex]6[/tex], tj. [tex]\cos x=\frac{3}{5}[/tex] i [tex]\left|a\sin x\right|=3[/tex]. Iz [tex]\cos x=\frac{3}{5}[/tex] sledi [tex]\left|\sin x\right|=\frac{4}{5}[/tex], pa je [tex]\frac{4}{5}|a|=3[/tex] i [tex]|a|=\frac{15}{4}[/tex].
Obrnuto, za [tex]a=\pm\frac{15}{4}[/tex] broj [tex]x=\arccos\frac{3}{5}[/tex] daje [tex]\left|a\sin x\right|=3[/tex] i obe strane su jednake [tex]6[/tex], pa nejednačina ima rešenje. Odgovor je [tex]a=\pm\frac{15}{4}[/tex].

Rešenje:
Za svako [tex]x[/tex] je [tex]1+\sin ^2(ax)\ge 1[/tex] i [tex]\cos x\le 1[/tex]. Zato jednakost važi tačno kada je [tex]\cos x=1[/tex] i [tex]\sin (ax)=0[/tex]. Prvi uslov daje [tex]x=2k\pi[/tex], [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex], a tada drugi postaje
[tex]\sin (2k\pi a)=0\iff 2ka\in\mathbb{Z}[/tex]
Za [tex]k=0[/tex] ovo uvek važi, pa je [tex]x=0[/tex] rešenje za svako [tex]a[/tex]. Rešenje je jedinstveno tačno kada je [tex]2ka\notin\mathbb{Z}[/tex] za svaki ceo broj [tex]k\ne 0[/tex].
Ako je [tex]a[/tex] racionalan broj, [tex]a=\frac{p}{q}[/tex], gde je [tex]p\in\mathbb{Z}[/tex], [tex]q\in\mathbb{N}[/tex], onda za [tex]k=q[/tex] dobijamo [tex]2qa=2p\in\mathbb{Z}[/tex], pa je [tex]x=2q\pi\ne 0[/tex] drugo rešenje. Ako je [tex]a[/tex] iracionalan, onda je [tex]2ka[/tex] iracionalan za svaki ceo broj [tex]k\ne 0[/tex], pa je [tex]x=0[/tex] jedino rešenje.
Dakle, jednačina ima jedinstveno rešenje tačno kada je [tex]a[/tex] iracionalan broj, tj. [tex]a\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]f(x)=8x^2+bx+c[/tex]. Tada je [tex]f(0)=c[/tex], [tex]f\left(\frac{1}{2}\right)=2+\frac{b}{2}+c[/tex], [tex]f(1)=8+b+c[/tex], pa za sve [tex]b[/tex] i [tex]c[/tex] važi
[tex]f(0)-2f\left(\frac{1}{2}\right)+f(1)=c-4-b-2c+8+b+c=4[/tex]
Pretpostavimo da je [tex]\left|f(x)\right|\le 1[/tex] na [tex]\left[0 ; 1\right][/tex]. Tada je [tex]f(0)\le 1[/tex], [tex]-2f\left(\frac{1}{2}\right)\le 2[/tex] i [tex]f(1)\le 1[/tex], pa je leva strana identiteta najviše [tex]4[/tex]. Pošto je ona jednaka [tex]4[/tex], sve tri ocene su jednakosti: [tex]f(0)=1[/tex], [tex]f\left(\frac{1}{2}\right)=-1[/tex], [tex]f(1)=1[/tex]. Odatle je [tex]c=1[/tex] i [tex]b=-8[/tex] (i zaista [tex]f\left(\frac{1}{2}\right)=2-4+1=-1[/tex]), pa drugi par nije moguć.
Obrnuto, za [tex]b=-8[/tex], [tex]c=1[/tex]:
[tex]f(x)=8x^2-8x+1=2(2x-1)^2-1[/tex]
Za [tex]x\in\left[0 ; 1\right][/tex] je [tex](2x-1)^2\in\left[0 ; 1\right][/tex], pa je [tex]f(x)\in\left[-1 ; 1\right][/tex], tj. [tex]\left|f(x)\right|\le 1[/tex]. Jedini par je [tex]b=-8[/tex], [tex]c=1[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]A=4x^2-(8a-1)x+5a^2[/tex] i [tex]B=x^2-2(a+1)x-a^2[/tex]; domen je određen uslovima [tex]A\gt 0[/tex], [tex]B\gt 0[/tex]. Primetimo da je
[tex]A-B=3x^2-(6a-3)x+6a^2=3\left(x^2+(1-2a)x+2a^2\right)[/tex]
pa se jednačina može zapisati kao [tex]\frac{A-B}{3}+\lg A=\lg B[/tex], tj.
[tex]\lg A+\frac{A}{3}=\lg B+\frac{B}{3}[/tex]
Funkcija [tex]g(t)=\lg t+\frac{t}{3}[/tex] je strogo rastuća na [tex]\left(0 ; +\infty\right)[/tex], pa je [tex]g(A)=g(B)\iff A=B[/tex]. Dakle, jednačina je ekvivalentna uslovu [tex]Q(x)=x^2+(1-2a)x+2a^2=0[/tex] zajedno sa [tex]B\gt 0[/tex] (tada je automatski [tex]A=B\gt 0[/tex]). Za koren od [tex]Q[/tex] važi [tex]x^2=(2a-1)x-2a^2[/tex], pa je
[tex]B=(2a-1)x-2a^2-2(a+1)x-a^2=-3x-3a^2,\qquad B\gt 0\iff x\lt -a^2[/tex]
Dakle, potrebno je da [tex]Q[/tex] ima tačno jedan koren manji od [tex]-a^2[/tex]. Za diskriminantu [tex]D[/tex] od [tex]Q[/tex], apscisu [tex]x_v[/tex] temena parabole i vrednost u tački [tex]-a^2[/tex] važi
[tex]D=(1-2a)^2-8a^2=1-4a-4a^2,\qquad x_v=a-\frac{1}{2},\qquad Q\left(-a^2\right)=a^4+2a^3+a^2=a^2(a+1)^2\ge 0[/tex]
Ako je [tex]D\lt 0[/tex], rešenja nema. Ako je [tex]D=0[/tex], tj. [tex]a=\frac{-1\pm\sqrt{2}}{2}[/tex], onda je [tex]4a^2+4a=1[/tex] i [tex]x_v+a^2=\frac{2a^2+2a-1}{2}=-\frac{1}{4}\lt 0[/tex], pa dvostruki koren zadovoljava [tex]x\lt -a^2[/tex]: tačno jedno rešenje.
Ako je [tex]D\gt 0[/tex], tj. [tex]\frac{-1-\sqrt{2}}{2}\lt a\lt \frac{-1+\sqrt{2}}{2}[/tex], onda je [tex]4a^2+4a\lt 1[/tex], pa je [tex]x_v+a^2=\frac{2a^2+2a-1}{2}\lt 0[/tex] i teme je levo od [tex]-a^2[/tex]. Kada je [tex]Q\left(-a^2\right)\gt 0[/tex], oba korena su manja od [tex]-a^2[/tex]: dva rešenja. Kada je [tex]Q\left(-a^2\right)=0[/tex], tj. [tex]a=0[/tex] ili [tex]a=-1[/tex] (obe vrednosti su u ovom intervalu), broj [tex]-a^2[/tex] je i sam koren (odbacuje se, jer je tada [tex]B=0[/tex]), a drugi koren je manji: tačno jedno rešenje ([tex]x=-1[/tex] za [tex]a=0[/tex], [tex]x=-2[/tex] za [tex]a=-1[/tex]).
Odgovor je [tex]a\in\left\{\frac{-1-\sqrt{2}}{2} ; -1 ; 0 ; \frac{-1+\sqrt{2}}{2}\right\}[/tex].

Rešenje:
Svako rešenje je određeno svojim [tex]x[/tex], jer je [tex]y=\left|x^2-kx\right|-k[/tex]. Zamenom ovog [tex]y[/tex] u prvu jednačinu vidimo da je broj rešenja jednak broju realnih korena jednačine
[tex]x^2+\left(\left|x^2-kx\right|-k\right)^2=k^2\iff x^2\left(1+(x-k)^2\right)=2k\left|x\right|\left|x-k\right|\qquad (1)[/tex]
Broj [tex]x=0[/tex] je uvek koren (daje rešenje [tex](0 ; -k)[/tex]).
Slučaj [tex]k\le 0[/tex]. Desna strana od [tex](1)[/tex] je nepozitivna, a leva je nenegativna i jednaka nuli samo za [tex]x=0[/tex]. Dakle, [tex]x=0[/tex] je jedini koren i sistem ima tačno jedno rešenje.
Slučaj [tex]0\lt k\lt 6[/tex]. Za [tex]x\ne 0[/tex] delimo [tex](1)[/tex] sa [tex]\left|x\right|[/tex]:
[tex]\left|x\right|\left(1+(x-k)^2\right)=2k\left|x-k\right|\qquad (2)[/tex]
Broj [tex]x=k[/tex] nije koren, jer je tada leva strana [tex]k\ne 0[/tex], a desna [tex]0[/tex].
(i) Za [tex]x\gt k[/tex] stavimo [tex]u=x-k\gt 0[/tex]. Razlika leve i desne strane od [tex](2)[/tex] je
[tex](u+k)\left(1+u^2\right)-2ku=u^3+u+k(u-1)^2\gt 0[/tex]
pa nema korena za koje je [tex]x\gt k[/tex].
(ii) Za [tex]0\lt x\lt k[/tex] jednačina [tex](2)[/tex] glasi [tex]h(x)=x\left(1+(x-k)^2\right)-2k(k-x)=0[/tex]. Ovde je [tex]h(0)=-2k^2\lt 0[/tex], [tex]h(k)=k\gt 0[/tex] i
[tex]h'(x)=1+2k+(x-k)(3x-k)\ge 1+2k-\frac{k^2}{3}=\frac{12-(k-3)^2}{3}\gt 0[/tex]
jer kvadratni trinom [tex](x-k)(3x-k)=3x^2-4kx+k^2[/tex] ima najmanju vrednost [tex]-\frac{k^2}{3}[/tex] (za [tex]x=\frac{2k}{3}[/tex]), a iz [tex]0\lt k\lt 6[/tex] sledi [tex](k-3)^2\lt 9[/tex]. Dakle, [tex]h[/tex] je neprekidna i strogo rastuća na [tex]\left[0 ; k\right][/tex], pa ima tačno jedan koren u [tex]\left(0 ; k\right)[/tex].
(iii) Za [tex]x\lt 0[/tex] jednačina [tex](2)[/tex] glasi [tex]g(x)=-x\left(1+(x-k)^2\right)-2k(k-x)=0[/tex]. Za [tex]x\lt 0[/tex] je [tex](x-k)(3x-k)=3x^2-4kx+k^2\gt k^2[/tex], odakle je
[tex]g'(x)=2k-1-(x-k)(3x-k)\lt 2k-1-k^2=-(k-1)^2\le 0[/tex]
pa je [tex]g[/tex] strogo opadajuća na [tex]\left(-\infty ; 0\right][/tex]. Pošto [tex]g(x)\to +\infty[/tex] kada [tex]x\to -\infty[/tex] (vodeći član je [tex]-x^3[/tex]) i [tex]g(0)=-2k^2\lt 0[/tex], funkcija [tex]g[/tex] ima tačno jedan koren u [tex]\left(-\infty ; 0\right)[/tex].
Dakle, za [tex]0\lt k\lt 6[/tex] sistem ima tačno [tex]3[/tex] rešenja. Prema tome, za svako [tex]k\lt 6[/tex] broj rešenja je [tex]1[/tex] ili [tex]3[/tex], tj. neparan.