Matematička statistika - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Izrazimo [tex]x[/tex] iz transformacije:
[tex]y=\frac{4x-21}{10}\iff x=\frac{10y+21}{4}=2{,}5y+5{,}25[/tex]
tj. svaka polazna vrednost je [tex]x_i=2{,}5y_i+5{,}25[/tex]. Za linearnu transformaciju [tex]x_i=ay_i+b[/tex] važi [tex]\bar{x}=a\bar{y}+b[/tex], pa je
[tex]x_i-\bar{x}=a\left(y_i-\bar{y}\right)\ \Rightarrow\ \left(x_i-\bar{x}\right)^2=a^2\left(y_i-\bar{y}\right)^2[/tex]
Sabiranjem po svim [tex]i[/tex] i deljenjem istim deliocem dobijamo [tex]S_x^2=a^2S_y^2[/tex]: pomeranje [tex]b[/tex] ne menja rasipanje, a činilac [tex]a[/tex] ulazi na kvadrat. Prema tome,
[tex]S_x^2=2{,}5^2\cdot 1{,}1=6{,}25\cdot 1{,}1=6{,}875[/tex]
(Sredina [tex]\bar{x}=2{,}5\cdot 3{,}1+5{,}25=13[/tex] nije potrebna za disperziju.)

Rešenje:
Neka je [tex]X[/tex] rezultat ispita TOP, a [tex]Y[/tex] rezultat novog modula; novi rezultat je [tex]X+Y[/tex]. Disperziju označavamo sa [tex]D[/tex]. Za bilo koje dve slučajne promenljive važi
[tex]D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\operatorname{cov}(X,Y)[/tex]
Po definiciji koeficijenta korelacije je [tex]\operatorname{cov}(X,Y)=r\,\sigma_X\sigma_Y[/tex], gde su [tex]\sigma_X=\sqrt{D(X)}[/tex] i [tex]\sigma_Y=\sqrt{D(Y)}[/tex] standardne devijacije. Ovde je [tex]r=\frac{1}{3}[/tex], pa je
[tex]\operatorname{cov}(X,Y)=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{18}\cdot \sqrt{2}=\frac{1}{3}\cdot 6=2[/tex]
Prema tome,
[tex]D(X+Y)=18+2+2\cdot 2=24[/tex]
Srednje vrednosti [tex]56[/tex] i [tex]4[/tex] nisu potrebne. Standardna devijacija raste sa [tex]\sqrt{18}\approx 4{,}24[/tex] na [tex]\sqrt{24}\approx 4{,}90[/tex], tj. rasipanje se zaista povećava.

Rešenje:
Zbir sedam poznatih podataka je [tex]111[/tex], pa je aritmetička sredina [tex]\frac{111+x}{8}[/tex]. U rastućem poretku poznati podaci su [tex]6; \ 8; \ 14; \ 15; \ 18; \ 20; \ 30[/tex]. Zajedno sa [tex]x[/tex] ima ih [tex]8[/tex], pa je medijana aritmetička sredina četvrtog i petog podatka u rastućem poretku, a oni zavise od položaja broja [tex]x[/tex].
Slučaj [tex]x\le 14[/tex]: četvrti i peti podatak su [tex]14[/tex] i [tex]15[/tex], medijana je [tex]14{,}5[/tex] i
[tex]\frac{111+x}{8}=14{,}5\iff 111+x=116\iff x=5[/tex]
Ova vrednost zadovoljava uslov [tex]x\le 14[/tex]. Slučaj [tex]14\le x\le 18[/tex]: dva srednja podatka su [tex]15[/tex] i [tex]x[/tex], medijana je [tex]\frac{x+15}{2}[/tex] i
[tex]\frac{111+x}{8}=\frac{x+15}{2}\iff 111+x=4x+60\iff x=17[/tex]
Ova vrednost pripada intervalu [tex]\left[14; \,18\right][/tex]. Slučaj [tex]x\ge 18[/tex]: dva srednja podatka su [tex]15[/tex] i [tex]18[/tex], medijana je [tex]16{,}5[/tex] i
[tex]\frac{111+x}{8}=16{,}5\iff 111+x=132\iff x=21[/tex]
Zaista, [tex]21\ge 18[/tex]. Dakle, [tex]x\in\{5; \,17; \,21\}[/tex], a najveća moguća vrednost je [tex]21[/tex]. Provera: za [tex]x=21[/tex] medijana je [tex]\frac{15+18}{2}=16{,}5[/tex], a aritmetička sredina je [tex]\frac{132}{8}=16{,}5[/tex].

Rešenje:
Neka su rezultati prvog eksperimenta u rastućem poretku [tex]x_1\le x_2\le\ldots\le x_{100}[/tex]. Broj podataka je paran, pa je medijana aritmetička sredina članova sa indeksima [tex]50[/tex] i [tex]51[/tex]:
[tex]\sum_{i=1}^{100}x_i=100\cdot 55=5500,\qquad \frac{x_{50}+x_{51}}{2}=49[/tex]
Rezultati drugog eksperimenta u rastućem poretku su [tex]x_1-1; \ \ldots; \ x_{50}-1; \ x_{51}+2; \ \ldots; \ x_{100}+2[/tex] (poredak se čuva, jer je [tex]x_{50}-1\lt x_{50}+2\le x_{51}+2[/tex]). Njihov zbir i srednja vrednost su
[tex]5500-50\cdot 1+50\cdot 2=5550,\qquad \frac{5550}{100}=55{,}5[/tex]
Njihova medijana je aritmetička sredina članova sa indeksima [tex]50[/tex] i [tex]51[/tex]:
[tex]\frac{(x_{50}-1)+(x_{51}+2)}{2}=\frac{x_{50}+x_{51}}{2}+\frac{1}{2}=49+0{,}5=49{,}5[/tex]
Prema tome, srednja vrednost je veća od medijane za
[tex]55{,}5-49{,}5=6[/tex]

Rešenje:
Obim uzorka je [tex]n=40[/tex], pa gornji kvartil odgovara poziciji [tex]\frac{3n}{4}=30[/tex]. Kumulativne frekvencije intervala su
[tex]4; \ 9; \ 15; \ 19; \ 24; \ 29; \ 34; \ 40[/tex]
Prva kumulativna frekvencija koja dostiže [tex]30[/tex] je [tex]34[/tex], pa [tex]Q_3[/tex] pripada intervalu [tex][3{,}8; \,4{,}0)[/tex]. Za ovaj interval donja granica je [tex]L=3{,}8[/tex], širina je [tex]h=0{,}2[/tex] (širine intervala nisu sve jednake, pa se uzima širina baš ovog intervala), frekvencija je [tex]m=5[/tex], a kumulativna frekvencija pre njega je [tex]F=29[/tex]. Linearnom interpolacijom dobijamo
[tex]Q_3=L+\frac{\frac{3n}{4}-F}{m}\cdot h=3{,}8+\frac{30-29}{5}\cdot 0{,}2=3{,}84[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]x[/tex] broj dečaka, a [tex]y[/tex] broj devojčica. Srednje vrednosti su
[tex]\bar{x}=\frac{150}{6}=25,\qquad \bar{y}=\frac{120}{6}=20[/tex]
Odstupanja od srednjih vrednosti su
[tex]x_i-\bar{x}:\ -5; \ 0; \ 0; \ 5; \ -5; \ 5[/tex]
[tex]y_i-\bar{y}:\ -5; \ 0; \ 0; \ 0; \ -5; \ 10[/tex]
Prema tome,
[tex]S_{xy}=\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=25+0+0+0+25+50=100[/tex]
[tex]S_{xx}=\sum(x_i-\bar{x})^2=25+0+0+25+25+25=100[/tex]
[tex]S_{yy}=\sum(y_i-\bar{y})^2=25+0+0+0+25+100=150[/tex]
Faktor [tex]\frac{1}{n}[/tex] u kovarijansi i u obe disperzije se skraćuje, pa je
[tex]r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}=\frac{100}{\sqrt{100\cdot 150}}=\frac{100}{50\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\approx 0{,}816[/tex]
Korelacija je jaka i pozitivna: u mesecima u kojima se rodi više dečaka obično se rodi i više devojčica.

Rešenje:
Posmatranja su nezavisna, pa je funkcija verodostojnosti proizvod gustina. Kako je [tex]\sum x_i=2+3+5+4+7=21[/tex],
[tex]L(\lambda)=\prod_{i=1}^{5}\lambda e^{-\lambda x_i}=\lambda^5e^{-\lambda\sum x_i}=\lambda^5e^{-21\lambda}[/tex]
Logaritmujemo i izjednačavamo izvod sa nulom:
[tex]\ln L(\lambda)=5\ln\lambda-21\lambda,\qquad \frac{d}{d\lambda}\ln L(\lambda)=\frac{5}{\lambda}-21=0\iff \lambda=\frac{5}{21}[/tex]
To je maksimum, jer je [tex]\frac{d^2}{d\lambda^2}\ln L(\lambda)=-\frac{5}{\lambda^2}\lt 0[/tex]. Prema tome,
[tex]\hat{\lambda}=\frac{n}{\sum x_i}=\frac{1}{\bar{x}}=\frac{5}{21}\approx 0{,}238[/tex]
tj. ocena je recipročna vrednost srednjeg vremena rada u uzorku [tex]\bar{x}=4{,}2[/tex] godine.

Rešenje:
Udeo u uzorku je [tex]\hat{p}=\frac{16}{25}=0{,}64[/tex]. Pri [tex]H_0[/tex] broj zaraženih mornara ima binomnu raspodelu sa [tex]n=25[/tex] i [tex]p_0=0{,}5[/tex]. Kako je [tex]np_0=n(1-p_0)=12{,}5\ge 5[/tex], može se koristiti normalna aproksimacija, a standardna greška se računa pomoću vrednosti [tex]p_0[/tex] iz [tex]H_0[/tex]:
[tex]\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}=\sqrt{\frac{0{,}25}{25}}=0{,}1[/tex]
Prema tome,
[tex]z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}=\frac{0{,}64-0{,}5}{0{,}1}=1{,}4[/tex]
Test je desnostrani i [tex]z=1{,}4\lt 1{,}645[/tex], pa se [tex]H_0[/tex] ne odbacuje na nivou [tex]0{,}05[/tex]: podaci ne daju dovoljno osnova za tvrdnju da je verovatnoća zaraze veća od [tex]0{,}5[/tex].

Rešenje:
Ovde je [tex]n=10[/tex]. Uzoračka aritmetička sredina je
[tex]\bar{x}=\frac{23+26+15+14+10+15+23+21+23+30}{10}=\frac{200}{10}=20[/tex]
Odstupanja od aritmetičke sredine su [tex]3; \ 6; \ -5; \ -6; \ -10; \ -5; \ 3; \ 1; \ 3; \ 10[/tex], a zbir njihovih kvadrata je
[tex]\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^2=9+36+25+36+100+25+9+1+9+100=350[/tex]
pa su nepristrasna uzoračka disperzija i uzoračka standardna devijacija
[tex]s^2=\frac{350}{9}\approx 38{,}89; \qquad s\approx 6{,}236[/tex]
Osnovni skup ima normalnu raspodelu, a njegova disperzija je nepoznata, pa statistika [tex]\frac{\bar{X}-\mu}{s/\sqrt{n}}[/tex] ima Studentovu [tex]t[/tex]-raspodelu sa [tex]n-1=9[/tex] stepeni slobode, a interval poverenja nivoa [tex]95\%[/tex] je [tex]\bar{x}\pm t_{0{,}975; \,9}\frac{s}{\sqrt{n}}[/tex]. Imamo
[tex]\frac{s}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{350}{90}}=\frac{\sqrt{35}}{3}\approx 1{,}972[/tex]
a granica greške je
[tex]t_{0{,}975; \,9}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\approx 2{,}262\cdot 1{,}972\approx 4{,}46[/tex]
Dakle, interval poverenja (u hiljadama evra) je
[tex]\left(20-4{,}46 ; 20+4{,}46\right)=\left(15{,}54 ; 24{,}46\right)[/tex]