Sistemi nelinearnih jednačina - veoma teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Smatrajmo da je [tex]z[/tex] poznato. Iz sistema je [tex]x+y=4-z[/tex] i [tex]xy=\frac{16+z^2}{2}[/tex], pa je
[tex](x-y)^2=(x+y)^2-4xy=(4-z)^2-2\left(16+z^2\right)=-z^2-8z-16=-(z+4)^2[/tex]
Leva strana je [tex]\ge 0[/tex], a desna [tex]\le 0[/tex], pa su obe jednake [tex]0[/tex]:
[tex]z=-4,\quad x=y,\quad x+y=4-z=8\Rightarrow x=y=4[/tex]
Provera: [tex]4+4-4=4[/tex] i [tex]2\cdot 4\cdot 4-(-4)^2=32-16=16[/tex]. Iako su jednačine dve, a nepoznate tri, sistem ima tačno jedno realno rešenje: [tex]\left(4; 4; -4\right)[/tex].

Rešenje:
Zapišimo jednačine u obliku
[tex]a^{3}-3ab^{2}=11,\qquad 3a^{2}b-b^{3}=-2[/tex]
Kvadrirajmo obe jednačine i saberimo ih. Na levoj strani dobijamo
[tex]\left(a^{3}-3ab^{2}\right)^{2}+\left(3a^{2}b-b^{3}\right)^{2}=a^{6}+3a^{4}b^{2}+3a^{2}b^{4}+b^{6}=\left(a^{2}+b^{2}\right)^{3}[/tex]
a na desnoj [tex]11^{2}+(-2)^{2}=125[/tex]. Pošto je [tex]a^{2}+b^{2}[/tex] realan broj,
[tex]\left(a^{2}+b^{2}\right)^{3}=125\Rightarrow a^{2}+b^{2}=5[/tex]
Takvi brojevi postoje, na primer [tex]a=-1[/tex], [tex]b=2[/tex]: [tex]-1=3\cdot (-1)\cdot 4+11[/tex] i [tex]8=3\cdot 1\cdot 2+2[/tex].
Napomena: to je identitet [tex]\left|(a+bi)^{3}\right|^{2}=\left(a^{2}+b^{2}\right)^{3}[/tex], jer je [tex](a+bi)^{3}=\left(a^{3}-3ab^{2}\right)+\left(3a^{2}b-b^{3}\right)i[/tex].

Rešenje:
Saberimo prvu i treću jednačinu i oduzmimo dvostruku drugu:
[tex]\left(x^6-2x^5+x^4\right)+\left(y^6-2y^5+y^4\right)+\left(z^6-2z^5+z^4\right)=3-6+3=0[/tex]
Za svaki realan broj [tex]t[/tex]
[tex]t^6-2t^5+t^4=t^4(t-1)^2\ge 0[/tex]
Zbir tri nenegativna broja jednak je [tex]0[/tex] samo ako je svaki od njih [tex]0[/tex], pa je [tex]x^4(x-1)^2=y^4(y-1)^2=z^4(z-1)^2=0[/tex], tj. svaki od brojeva [tex]x,y,z[/tex] jednak je [tex]0[/tex] ili [tex]1[/tex].
Tada je [tex]x^4+y^4+z^4[/tex] jednako broju nepoznatih koje su jednake [tex]1[/tex]. Pošto je ovaj zbir [tex]3[/tex], sve tri su jednake [tex]1[/tex].
Obrnuto, [tex]x=y=z=1[/tex] zadovoljava sve tri jednačine, pa je [tex]\left(1; 1; 1\right)[/tex] jedino realno rešenje.

Rešenje:
Sabiranjem i oduzimanjem jednačina dobijamo ekvivalentan sistem
[tex]\left\{\begin{array}{l} x^3+y^3=7(x+y) \\ x^3-y^3=3(x-y) \end{array}\right.\iff\left\{\begin{array}{l} (x+y)\left(x^2-xy+y^2-7\right)=0 \\ (x-y)\left(x^2+xy+y^2-3\right)=0 \end{array}\right.[/tex]
Kombinujemo po jedan činilac iz svake jednačine. Slučaj [tex]1[/tex]: [tex]x+y=0[/tex] i [tex]x-y=0[/tex], odakle je [tex]\left(0; 0\right)[/tex].
Slučaj [tex]2[/tex]: [tex]x+y=0[/tex] i [tex]x^2+xy+y^2=3[/tex]. Za [tex]y=-x[/tex] dobijamo [tex]x^2=3[/tex]: [tex]\left(\sqrt{3}; -\sqrt{3}\right)[/tex] i [tex]\left(-\sqrt{3}; \sqrt{3}\right)[/tex].
Slučaj [tex]3[/tex]: [tex]x-y=0[/tex] i [tex]x^2-xy+y^2=7[/tex]. Tada je [tex]x^2=7[/tex]: [tex]\left(\sqrt{7}; \sqrt{7}\right)[/tex] i [tex]\left(-\sqrt{7}; -\sqrt{7}\right)[/tex].
Slučaj [tex]4[/tex]: [tex]x^2-xy+y^2=7[/tex] i [tex]x^2+xy+y^2=3[/tex]. Tada je [tex]xy=-2[/tex], [tex]x^2+y^2=5[/tex] i [tex](x+y)^2=1[/tex].
Ako je [tex]x+y=1[/tex], onda su [tex]x,y[/tex] koreni jednačine [tex]t^2-t-2=0[/tex]: [tex]\left(2; -1\right)[/tex] i [tex]\left(-1; 2\right)[/tex]. Ako je [tex]x+y=-1[/tex], oni su koreni jednačine [tex]t^2+t-2=0[/tex]: [tex]\left(1; -2\right)[/tex] i [tex]\left(-2; 1\right)[/tex].
Slučajevi se ne preklapaju, jer je [tex]xy[/tex] redom jednako [tex]0[/tex], [tex]-3[/tex], [tex]7[/tex] i [tex]-2[/tex] u slučajevima [tex]1[/tex], [tex]2[/tex], [tex]3[/tex], [tex]4[/tex]. Dakle, broj rešenja je
[tex]1+2+2+4=9[/tex]

Rešenje:
Leve strane su nenegativne, pa su nenegativne i desne: [tex]x\ge 0[/tex], [tex]y\ge 0[/tex], [tex]z\ge 0[/tex]. Za svako [tex]t\ge 0[/tex] je
[tex]t-\frac{2t^2}{1+t^2}=\frac{t+t^3-2t^2}{1+t^2}=\frac{t(t-1)^2}{1+t^2}\ge 0[/tex]
tj. [tex]\frac{2t^2}{1+t^2}\le t[/tex], pri čemu jednakost važi samo za [tex]t=0[/tex] ili [tex]t=1[/tex]. Primenom ovoga za [tex]t=x[/tex], [tex]t=y[/tex], [tex]t=z[/tex] na tri jednačine dobijamo [tex]y\le x[/tex], [tex]z\le y[/tex], [tex]x\le z[/tex]. Prema tome,
[tex]x\le z\le y\le x\Rightarrow x=y=z[/tex]
Tada prva jednačina postaje [tex]\frac{2x^2}{1+x^2}=x[/tex], tj. [tex]x(x-1)^2=0[/tex], odakle je [tex]x=0[/tex] ili [tex]x=1[/tex]. Obe trojke su rešenja: [tex]\frac{2\cdot 0}{1+0}=0[/tex] i [tex]\frac{2\cdot 1}{1+1}=1[/tex]. Dakle, jedina realna rešenja su [tex]\left(0; 0; 0\right)[/tex] i [tex]\left(1; 1; 1\right)[/tex].

Rešenje:
Kvadrirajmo prvu jednačinu i oduzmimo drugu:
[tex]6xy=(\alpha+2)^2-(5\alpha-2)=\alpha^2-\alpha+6\Rightarrow xy=\frac{\alpha^2-\alpha+6}{6}[/tex]
Odredimo sada za koje [tex]\alpha[/tex] sistem ima realna rešenja. Uvedimo smenu [tex]u=3x[/tex], [tex]v=y[/tex]; tada je [tex]u+v=\alpha+2[/tex] i [tex]uv=3xy=\frac{\alpha^2-\alpha+6}{2}[/tex]. Realni brojevi [tex]u,v[/tex] postoje ako i samo ako kvadratna jednačina [tex]t^2-(\alpha+2)t+\frac{\alpha^2-\alpha+6}{2}=0[/tex] ima realne korene:
[tex](\alpha+2)^2-2\left(\alpha^2-\alpha+6\right)\ge 0\iff \alpha^2-6\alpha+8\le 0\iff \alpha\in\left[2; 4\right][/tex]
Obrnuto, za takve [tex]\alpha[/tex] ovi [tex]u,v[/tex] zadovoljavaju [tex]u+v=\alpha+2[/tex] i [tex]u^2+v^2=(u+v)^2-2uv=5\alpha-2[/tex], pa daju rešenje sistema.
Kvadratna funkcija [tex]f(\alpha)=\frac{\alpha^2-\alpha+6}{6}[/tex] ima pozitivan vodeći koeficijent i teme u tački [tex]\alpha=\frac{1}{2}[/tex], pa je rastuća na [tex]\left[2; 4\right][/tex]. Najveću vrednost dostiže za [tex]\alpha=4[/tex], kada je [tex]xy=3[/tex] (rešenje je [tex]x=1[/tex], [tex]y=3[/tex]).

Rešenje:
Domen: [tex]x\gt 0[/tex], [tex]x+y\gt 0[/tex]. Prva jednačina glasi [tex]\log_2(x+y)=\log_2(2x)[/tex], tj. [tex]x+y=2x[/tex], odakle je [tex]y=x[/tex] (tada je uslov [tex]x+y=2x\gt 0[/tex] automatski ispunjen), a druga jednačina postaje [tex](x-a)^2+a^2=1[/tex]. Sistem je ekvivalentan sa
[tex]\left\{\begin{array}{l} y=x \\ x\gt 0 \\ (x-a)^2=1-a^2 \end{array}\right.[/tex]
pa jednačina [tex](x-a)^2=1-a^2[/tex] treba da ima tačno jedan pozitivan koren. Ako je [tex]|a|\gt 1[/tex], korena nema. Ako je [tex]a=\pm 1[/tex], jedini koren je [tex]x=a[/tex]; on je pozitivan samo za [tex]a=1[/tex], pa [tex]a=1[/tex] odgovara, a [tex]a=-1[/tex] ne odgovara.
Ako je [tex]|a|\lt 1[/tex], postoje dva različita korena [tex]x_{1,2}=a\pm\sqrt{1-a^2}[/tex] i moraju da važe oba uslova
[tex]a+\sqrt{1-a^2}\gt 0,\qquad a-\sqrt{1-a^2}\le 0[/tex]
Prvi važi za [tex]a\ge 0[/tex]; za [tex]a\lt 0[/tex] on znači [tex]1-a^2\gt a^2[/tex], tj. [tex]a\gt -\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]. Drugi važi za [tex]a\le 0[/tex]; za [tex]a\gt 0[/tex] on znači [tex]a^2\le 1-a^2[/tex], tj. [tex]a\le\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]. Dakle, [tex]-\frac{\sqrt{2}}{2}\lt a\le\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex].
Na krajevima: za [tex]a=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] koreni su [tex]\sqrt{2}[/tex] i [tex]0[/tex], a u domenu je samo [tex]x=\sqrt{2}[/tex]; za [tex]a=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] koreni su [tex]0[/tex] i [tex]-\sqrt{2}[/tex], pa rešenja nema. Konačno,
[tex]a\in\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right]\cup\left\{1\right\}[/tex]

Rešenje:
Zapišimo jednačine u obliku [tex]y\left(1-x^{2}\right)=2x[/tex], [tex]z\left(1-y^{2}\right)=2y[/tex], [tex]x\left(1-z^{2}\right)=2z[/tex]. Ako je [tex]x^{2}=1[/tex], iz prve jednačine sledi [tex]2x=0[/tex], što je kontradikcija; slično je [tex]y^{2}\ne 1[/tex] i [tex]z^{2}\ne 1[/tex]. Zato je sistem ekvivalentan sa
[tex]y=\frac{2x}{1-x^{2}},\qquad z=\frac{2y}{1-y^{2}},\qquad x=\frac{2z}{1-z^{2}}[/tex]
Svaki realan broj [tex]x[/tex] može se na jedinstven način zapisati kao [tex]x=\operatorname{tg} u[/tex], gde je [tex]u\in\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)[/tex]. Pošto je [tex]x\ne\pm 1[/tex], po formuli za tangens dvostrukog ugla je [tex]y=\frac{2\operatorname{tg} u}{1-\operatorname{tg} ^{2}u}=\operatorname{tg} 2u[/tex]; slično, pošto je [tex]y\ne\pm 1[/tex] i [tex]z\ne\pm 1[/tex],
[tex]z=\operatorname{tg} 4u,\qquad x=\operatorname{tg} 8u[/tex]
Dakle, [tex]\operatorname{tg} 8u=\operatorname{tg} u[/tex], tj. [tex]8u=u+k\pi[/tex], [tex]u=\frac{k\pi}{7}[/tex], [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex]. U intervalu [tex]\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)[/tex] to daje [tex]k=-3,-2,\ldots,3[/tex]: [tex]7[/tex] vrednosti za [tex]u[/tex], tj. [tex]7[/tex] različitih vrednosti za [tex]x[/tex], pri čemu svaka od njih jednoznačno određuje [tex]y[/tex] i [tex]z[/tex].
Obrnuto, neka je [tex]u=\frac{k\pi}{7}[/tex]. Broj [tex]\frac{j\pi}{7}[/tex], [tex]j\in\mathbb{Z}[/tex], nikada nije jednak [tex]\frac{\pi}{2}+m\pi[/tex] ni [tex]\frac{\pi}{4}+\frac{m\pi}{2}[/tex], [tex]m\in\mathbb{Z}[/tex], jer bi to značilo [tex]2j=7(2m+1)[/tex] ili [tex]4j=7(2m+1)[/tex], tj. paran broj bi bio jednak neparnom. Primenom ovoga na [tex]j=k,\ 2k,\ 4k[/tex] dobijamo da su [tex]x=\operatorname{tg} u[/tex], [tex]y=\operatorname{tg} 2u[/tex], [tex]z=\operatorname{tg} 4u[/tex] definisani i da nijedan od njih nije jednak [tex]\pm 1[/tex].
Prve dve jednačine važe po formuli za dvostruki ugao, a treća zato što je
[tex]\frac{2\operatorname{tg} 4u}{1-\operatorname{tg} ^{2}4u}=\operatorname{tg} 8u=\operatorname{tg} \left(u+k\pi\right)=\operatorname{tg} u[/tex]
Dakle, sistem ima tačno [tex]7[/tex] realnih rešenja, na primer [tex]\left(0; 0; 0\right)[/tex] i [tex]\left(\operatorname{tg} \frac{\pi}{7}; \operatorname{tg} \frac{2\pi}{7}; \operatorname{tg} \frac{4\pi}{7}\right)[/tex].