Sistemi nelinearnih jednačina - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Prvu jednačinu ne smemo deliti sa [tex]x-y[/tex], jer taj izraz može biti jednak nuli, pa bismo izgubili rešenja. Prebacimo sve na levu stranu i rastavimo na činioce:
[tex](x-y)(x^2+xy+y^2)-8(x-y)=0\iff (x-y)(x^2+xy+y^2-8)=0[/tex]
Ako je [tex]x=y[/tex], druga jednačina daje [tex]2x^2=8[/tex], tj. [tex]x=\pm 2[/tex]: parovi [tex](2; 2)[/tex] i [tex](-2; -2)[/tex].
Ako je [tex]x^2+xy+y^2=8[/tex], oduzimanjem druge jednačine [tex]x^2+y^2=8[/tex] dobijamo [tex]xy=0[/tex]. Za [tex]x=0[/tex] je [tex]y^2=8[/tex], [tex]y=\pm 2\sqrt{2}[/tex]; za [tex]y=0[/tex] je [tex]x=\pm 2\sqrt{2}[/tex].
Svih šest parova zadovoljava obe jednačine, pa su rešenja
[tex](2; 2),\ (-2; -2),\ (0; 2\sqrt{2}),\ (0; -2\sqrt{2}),\ (2\sqrt{2}; 0),\ (-2\sqrt{2}; 0)[/tex]

Rešenje:
Saberimo jednačine i uvedimo smenu [tex]u=x+y[/tex]:
[tex]x^2+2xy+y^2+(x+y)=72\iff u^2+u-72=0\Rightarrow u=8\text{ ili }u=-9[/tex]
Ako je [tex]x+y=-9[/tex], iz druge jednačine je [tex]xy=\frac{38+9}{2}=\frac{47}{2}[/tex]. Tada bi [tex]x[/tex] i [tex]y[/tex] bili koreni jednačine [tex]t^2+9t+\frac{47}{2}=0[/tex], čija je diskriminanta [tex]81-94\lt 0[/tex], pa u ovom slučaju nema realnih rešenja.
Ako je [tex]x+y=8[/tex], onda je [tex]xy=\frac{38-8}{2}=15[/tex], pa su prema Vijetovim formulama [tex]x[/tex] i [tex]y[/tex] koreni jednačine
[tex]t^2-8t+15=0\Rightarrow t_1=3,\ t_2=5[/tex]
Rešenja su [tex](3; 5)[/tex] i [tex](5; 3)[/tex], pa je [tex]\frac{x}{y}[/tex] jednako [tex]\frac{3}{5}[/tex] ili [tex]\frac{5}{3}[/tex]. Najveća vrednost je [tex]\frac{5}{3}[/tex].

Rešenje:
Rastavimo levu stranu prve jednačine na činioce:
[tex]x^4+x^2y^2+y^4=(x^2+y^2)^2-x^2y^2=(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)[/tex]
Na osnovu druge jednačine prva postaje [tex]37(x^2-xy+y^2)=481[/tex], pa je [tex]x^2-xy+y^2=13[/tex]. Dakle, sistem je ekvivalentan sistemu
[tex]\left\{\begin{array}{l} x^2+xy+y^2=37 \\ x^2-xy+y^2=13 \end{array}\right.[/tex]
Oduzimanjem jednačina dobijamo [tex]2xy=24[/tex], tj. [tex]xy=12[/tex], a sabiranjem [tex]2(x^2+y^2)=50[/tex], tj. [tex]x^2+y^2=25[/tex]. Tada je
[tex](x+y)^2=x^2+y^2+2xy=25+24=49\Rightarrow x+y=\pm 7[/tex]
Ako je [tex]x+y=7[/tex] i [tex]xy=12[/tex], onda su [tex]x[/tex] i [tex]y[/tex] koreni jednačine [tex]t^2-7t+12=0[/tex], tj. [tex]3[/tex] i [tex]4[/tex].
Ako je [tex]x+y=-7[/tex] i [tex]xy=12[/tex], oni su koreni jednačine [tex]t^2+7t+12=0[/tex], tj. [tex]-3[/tex] i [tex]-4[/tex].
Rešenja su [tex](3; 4)[/tex], [tex](4; 3)[/tex], [tex](-3; -4)[/tex], [tex](-4; -3)[/tex].

Rešenje:
Druga jednačina glasi [tex]xy(x-y)=6[/tex]. Koristimo identitet
[tex]x^{3}-y^{3}=(x-y)^{3}+3xy(x-y)[/tex]
Tada prva jednačina postaje
[tex](x-y)^{3}+3\cdot 6=26\Rightarrow (x-y)^{3}=8[/tex]
Realni kubni koren je jedinstven, pa je [tex]x-y=2[/tex], a zatim [tex]xy=\frac{6}{2}=3[/tex]. Za [tex]x=y+2[/tex] dobijamo
[tex]y(y+2)=3\Rightarrow y^{2}+2y-3=0\Rightarrow y_{1}=1,\ y_{2}=-3[/tex]
odakle je [tex]x_{1}=3[/tex], [tex]x_{2}=-1[/tex]. Provera: [tex]27-1=26[/tex], [tex]3\cdot 2=6[/tex] i [tex]-1+27=26[/tex], [tex]3\cdot 2=6[/tex].
Rešenja su [tex](3; 1)[/tex] i [tex](-1; -3)[/tex].

Rešenje:
Pošto je [tex]5\cdot 44=4\cdot 55=220[/tex], pomnožimo prvu jednačinu sa [tex]5[/tex], drugu sa [tex]4[/tex] i oduzmimo ih:
[tex]10x^2-5xy+25y^2-(4x^2-12xy+28y^2)=0\Rightarrow 6x^2+7xy-3y^2=0\Rightarrow (3x-y)(2x+3y)=0[/tex]
Ova jednačina zajedno sa prvom jednačinom ekvivalentna je sistemu. Dakle, [tex]y=3x[/tex] ili [tex]x=-\frac{3y}{2}[/tex].
Ako je [tex]y=3x[/tex], prva jednačina daje [tex]2x^2-3x^2+45x^2=44x^2=44[/tex], tj. [tex]x=\pm 1[/tex]: parovi [tex](1; 3)[/tex] i [tex](-1; -3)[/tex].
Ako je [tex]x=-\frac{3y}{2}[/tex], dobijamo [tex]\frac{9y^2}{2}+\frac{3y^2}{2}+5y^2=11y^2=44[/tex], tj. [tex]y=\pm 2[/tex]: parovi [tex](-3; 2)[/tex] i [tex](3; -2)[/tex].
Provera u drugoj jednačini: [tex]1-9+63=55[/tex] za [tex](1; 3)[/tex] i [tex]9+18+28=55[/tex] za [tex](-3; 2)[/tex]; suprotni parovi daju iste vrednosti.
Rešenja su [tex](1; 3)[/tex], [tex](-1; -3)[/tex], [tex](3; -2)[/tex], [tex](-3; 2)[/tex].

Rešenje:
Pomnožimo prvu jednačinu sa [tex]2[/tex] i rastavimo je na činioce:
[tex]2x^2-5xy+2y^2=0\Rightarrow (x-2y)(2x-y)=0[/tex]
Dakle, [tex]x=2y[/tex] ili [tex]y=2x[/tex].
Ako je [tex]x=2y[/tex], druga jednačina postaje [tex]y=\frac{2y^2}{4}[/tex], tj. [tex]y(y-2)=0[/tex], pa je [tex]y=0[/tex] ili [tex]y=2[/tex]: parovi [tex](0; 0)[/tex] i [tex](4; 2)[/tex].
Ako je [tex]y=2x[/tex], druga jednačina postaje [tex]-x=\frac{2x^2}{4}[/tex], tj. [tex]x(x+2)=0[/tex], pa je [tex]x=0[/tex] ili [tex]x=-2[/tex]: parovi [tex](0; 0)[/tex] i [tex](-2; -4)[/tex].
Provera: za [tex](4; 2)[/tex] je [tex]16+4=20=\frac{5}{2}\cdot 8[/tex] i [tex]4-2=2=\frac{8}{4}[/tex]; za [tex](-2; -4)[/tex] je [tex]4+16=20=\frac{5}{2}\cdot 8[/tex] i [tex]-2+4=2=\frac{8}{4}[/tex]; par [tex](0; 0)[/tex] je očigledno rešenje.
Rešenje [tex](0; 0)[/tex] lako se izgubi ako se deli sa [tex]xy[/tex] ili sa [tex]x-y[/tex], koji mogu biti jednaki [tex]0[/tex]. Rešenja su [tex](0; 0)[/tex], [tex](4; 2)[/tex], [tex](-2; -4)[/tex].

Rešenje:
Kvadratni koren je nenegativan, pa je [tex]x\ge 0[/tex] i [tex]y\ge 0[/tex]. Pod tim uslovima sistem je ekvivalentan sistemu
[tex]\left\{\begin{array}{l} x^2+5x-6=y^2 \\ y^2+5y-6=x^2 \end{array}\right.[/tex]
Oduzmimo drugu jednačinu od prve:
[tex]x^2-y^2+5(x-y)=y^2-x^2\Rightarrow 2(x-y)(x+y)+5(x-y)=0\Rightarrow (x-y)(2x+2y+5)=0[/tex]
Pošto je [tex]x,y\ge 0[/tex], važi [tex]2x+2y+5\gt 0[/tex], pa je [tex]x=y[/tex]. Tada je [tex]x^2+5x-6=x^2[/tex], odakle je [tex]x=\frac{6}{5}[/tex].
Provera: [tex]x^2+5x-6=\frac{36}{25}[/tex] i [tex]\sqrt{\frac{36}{25}}=\frac{6}{5}=y[/tex], tj. [tex]x=y=\frac{6}{5}[/tex] zadovoljavaju sistem. Dakle,
[tex]xy=\frac{36}{25}[/tex]

Rešenje:
Domen: [tex]x\ne 0[/tex], [tex]y\ne 0[/tex], [tex]x-y\gt 0[/tex], [tex]x+y\gt 0[/tex]. Pošto je [tex]4^{t}=2^{2t}[/tex] i [tex]32=2^5[/tex], iz prve jednačine dobijamo
[tex]2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=5[/tex]
Uvedimo smenu [tex]t=\frac{x}{y}[/tex]:
[tex]t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}\Rightarrow 2t^2-5t+2=0[/tex]
odakle je [tex]t=2[/tex] ili [tex]t=\frac{1}{2}[/tex], tj. [tex]x=2y[/tex] ili [tex]y=2x[/tex]. Druga jednačina glasi [tex]\log_3(x-y)+\log_3(x+y)=1[/tex], tj. [tex](x-y)(x+y)=3[/tex], pa je
[tex]x^2-y^2=3[/tex]
Ako je [tex]y=2x[/tex], onda je [tex]x^2-4x^2=-3x^2=3[/tex], što je nemoguće. Ako je [tex]x=2y[/tex], onda je [tex]3y^2=3[/tex], tj. [tex]y=\pm 1[/tex].
Za [tex]y=1[/tex], [tex]x=2[/tex] je [tex]x-y=1\gt 0[/tex] i [tex]x+y=3\gt 0[/tex], pa je par dopustiv. Za [tex]y=-1[/tex], [tex]x=-2[/tex] je [tex]x-y=-1\lt 0[/tex], pa [tex]\log_3(x-y)[/tex] nije definisan i par odbacujemo.
Provera: [tex]4^{2+\frac{1}{2}}=4^{\frac{5}{2}}=32[/tex] i [tex]\log_3 1=0=1-\log_3 3[/tex]. Rešenje je [tex](2; 1)[/tex].

Rešenje:
Zapišimo sistem u obliku [tex]\sqrt{5y-x}=3-x[/tex], [tex]\sqrt{2y-x}=3-x-y[/tex]. Kvadratni koren je nenegativan, pa mora biti [tex]3-x\ge 0[/tex] i [tex]3-x-y\ge 0[/tex]; pod tim uslovima kvadriranje je ekvivalentna transformacija:
[tex]\left\{\begin{array}{l} 5y-x=(3-x)^2 \\ 2y-x=(3-x-y)^2 \end{array}\right.[/tex]
Oduzmimo drugu jednačinu od prve:
[tex]3y=(3-x)^2-(3-x-y)^2=y(6-2x-y)[/tex]
Ako je [tex]y=0[/tex], prva jednačina postaje [tex]-x=(3-x)^2[/tex], tj. [tex]x^2-5x+9=0[/tex], čija je diskriminanta [tex]25-36[/tex] negativna, pa rešenja nema.
Ako je [tex]y\ne 0[/tex], onda je [tex]6-2x-y=3[/tex], tj. [tex]y=3-2x[/tex]. Zamenom u [tex]5y-x=(3-x)^2[/tex] dobijamo
[tex]15-11x=9-6x+x^2\Rightarrow x^2+5x-6=0\Rightarrow x_1=1,\ x_2=-6[/tex]
Za [tex]x=1[/tex]: [tex]y=1[/tex], [tex]3-x=2\ge 0[/tex], [tex]3-x-y=1\ge 0[/tex], i zaista [tex]\sqrt{4}+1=3[/tex], [tex]\sqrt{1}+1+1=3[/tex].
Za [tex]x=-6[/tex]: [tex]y=15[/tex], ali [tex]3-x-y=-6\lt 0[/tex]; zaista, [tex]\sqrt{2y-x}+x+y=\sqrt{36}+9=15\ne 3[/tex], pa je ovaj par strano rešenje nastalo kvadriranjem.
Jedino rešenje je [tex](1; 1)[/tex].

Rešenje:
Desna strana druge jednačine mora biti nenegativna: [tex]x+y\ge 0[/tex]. Pod tim uslovom kvadriranje je ekvivalentna transformacija (tada je [tex]x+y^{2}=(x+y)^{2}\ge 0[/tex] automatski):
[tex]x+y^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\Rightarrow x^{2}+2xy-x=0\Rightarrow x(x+2y-1)=0[/tex]
Ako je [tex]x=0[/tex], uslov postaje [tex]y\ge 0[/tex], a prva jednačina daje
[tex]2\cdot 2^{y+1}=9\Rightarrow 2^{y+2}=9\Rightarrow y=\log_{2}9-2=\log_{2}\frac{9}{4}[/tex]
Pošto je [tex]\frac{9}{4}\gt 1[/tex], važi [tex]y\gt 0[/tex], pa je [tex]\left(0; \log_{2}\frac{9}{4}\right)[/tex] rešenje.
Ako je [tex]x=1-2y[/tex], uslov [tex]x+y=1-y\ge 0[/tex] daje [tex]y\le 1[/tex]. Prva jednačina postaje [tex]2^{1-2y}\cdot 2^{y+1}+2^{y+1}=9[/tex], tj. [tex]2^{2-y}+2\cdot 2^{y}=9[/tex]. Uvedimo smenu [tex]t=2^{y}\gt 0[/tex]:
[tex]\frac{4}{t}+2t=9\Rightarrow 2t^{2}-9t+4=0\Rightarrow t_{1}=4,\ t_{2}=\frac{1}{2}[/tex]
Za [tex]t=4[/tex] dobijamo [tex]y=2\gt 1[/tex], što odbacujemo: za par [tex](-3; 2)[/tex] je [tex]\sqrt{1}=1\ne -1[/tex] (strano rešenje nastalo kvadriranjem).
Za [tex]t=\frac{1}{2}[/tex] dobijamo [tex]y=-1[/tex], [tex]x=3[/tex]. Provera: [tex](8+1)\cdot 2^{0}=9[/tex] i [tex]\sqrt{3+1}=2=3+(-1)[/tex].
Rešenja su [tex]\left(0; \log_{2}\frac{9}{4}\right)[/tex] i [tex](3; -1)[/tex].

Rešenje:
Iz [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}=1[/tex] sledi da je svaki od kvadrata najviše [tex]1[/tex], pa je [tex]a\le 1[/tex], [tex]b\le 1[/tex], [tex]c\le 1[/tex]. Oduzmimo drugu jednakost od prve:
[tex]a^{2}(1-a)+b^{2}(1-b)+c^{2}(1-c)=0[/tex]
Svaki sabirak je proizvod kvadrata i nenegativnog broja, pa je nenegativan. Zbir nenegativnih brojeva jednak je [tex]0[/tex] samo ako je svaki sabirak jednak [tex]0[/tex], pa je [tex]a^{2}(1-a)=0[/tex], tj. [tex]a=0[/tex] ili [tex]a=1[/tex]; isto važi za [tex]b[/tex] i [tex]c[/tex].
Za [tex]t=0[/tex] i [tex]t=1[/tex] važi [tex]t^{2}=t[/tex], pa je
[tex]a+b+c=a^{2}+b^{2}+c^{2}=1[/tex]
(Zapravo je tačno jedan od brojeva jednak [tex]1[/tex], a druga dva su jednaka [tex]0[/tex].)