Рациональные неравенства - сложные задачи с решениями

Решение:
Множители [tex](x-3)^2[/tex] и [tex](x-1)^4[/tex] положительны, кроме [tex]x=3[/tex] и [tex]x=1[/tex], где произведение равно [tex]0[/tex] (это не решения строгого неравенства).
Множитель [tex](x+2)^3[/tex] имеет тот же знак, что и [tex]x+2[/tex], [tex](6-x)(4-x)=(x-6)(x-4)[/tex].
Остаётся решить [tex](x+2)(x+7)(x-4)(x-6)\lt 0,\ x\neq 1,\ x\neq 3[/tex].
Нули множителей: [tex]-7; -2; 4; 6[/tex]. Знаки слева направо: [tex]+; -; +; -; +[/tex].
Исключённые точки [tex]1[/tex] и [tex]3[/tex] лежат в интервале [tex](-2; 4)[/tex], который и так не входит в ответ.
Ответ: [tex]x\in(-7; -2)\cup(4; 6)[/tex].

Решение:
Нечётные степени сохраняют знак основания, а [tex](x-1)^4\gt 0[/tex] при [tex]x\neq 1[/tex] (при [tex]x=1[/tex] произведение равно [tex]0[/tex]). Поэтому неравенство равносильно
[tex](x+4)(x-2)\lt 0,\ x\neq 1 \Rightarrow -4\lt x\lt 2,\ x\neq 1[/tex]
Целые решения: [tex]-3; -2; -1; 0[/tex].
[tex]-3-2-1+0=-6[/tex]

Решение:
[tex]x^2+x-6=(x+3)(x-2)[/tex], [tex]x^2-4=(x-2)(x+2)[/tex]
ОДЗ: [tex]x\neq\pm 2[/tex].
[tex]\frac{(x+3)^2(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{(x+3)^2}{x+2}\geq 0[/tex] (при [tex]x\neq 2[/tex])
Числитель [tex](x+3)^2[/tex] равен [tex]0[/tex] при [tex]x=-3[/tex] (это решение, так как неравенство нестрогое) и положителен в остальных случаях. При [tex]x\neq -3[/tex] нужно [tex]x+2\gt 0[/tex], т.е. [tex]x\gt -2[/tex], причём [tex]x\neq 2[/tex].
Ответ: [tex]x\in\{-3\}\cup(-2; 2)\cup(2; +\infty)[/tex].

Решение:
[tex]\frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+4)}\leq 0[/tex], ОДЗ: [tex]x\neq 2[/tex], [tex]x\neq -4[/tex].
[tex]\frac{x-3}{x+4}\leq 0 \Rightarrow -4\lt x\leq 3,\ x\neq 2[/tex]
Целые решения: [tex]-3; -2; -1; 0; 1; 3[/tex] (число [tex]2[/tex] исключается, так как обращает знаменатель в нуль).
[tex]-3-2-1+0+1+3=-2[/tex]

Решение:
ОДЗ: [tex]x\neq 0[/tex], [tex]x\neq -1[/tex]. Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:
[tex]\frac{3x-1}{2x}-\frac{3x+2}{2(x+1)}=\frac{(3x-1)(x+1)-x(3x+2)}{2x(x+1)}=\frac{3x^2+2x-1-3x^2-2x}{2x(x+1)}=\frac{-1}{2x(x+1)}[/tex]
[tex]\frac{-1}{2x(x+1)}\gt 0 \Leftrightarrow x(x+1)\lt 0 \Leftrightarrow -1\lt x\lt 0[/tex]
Ответ: [tex]x\in(-1; 0)[/tex].

Решение:
[tex]\frac{21x-32}{x^2-9x+18}+2=\frac{21x-32+2x^2-18x+36}{x^2-9x+18}=\frac{2x^2+3x+4}{(x-3)(x-6)}\lt 0[/tex]
[tex]2x^2+3x+4\gt 0[/tex] при всех [tex]x[/tex] [tex](D=9-32\lt 0)[/tex].
Значит, дробь отрицательна тогда и только тогда, когда знаменатель отрицателен: [tex](x-3)(x-6)\lt 0 \Rightarrow 3\lt x\lt 6[/tex].
Ответ: [tex]x\in(3; 6)[/tex].

Решение:
[tex]x^2-x+1\gt 0[/tex] при всех [tex]x[/tex] (дискриминант отрицателен, старший коэффициент положителен), поэтому этот множитель не влияет на знак. Умножим обе части на положительный знаменатель:
[tex]5x-1\lt (x-1)\left(x^2-x+1\right)=x^3-2x^2+2x-1[/tex]
[tex]x^3-2x^2-3x\gt 0 \Leftrightarrow x(x-3)(x+1)\gt 0[/tex]
Нули множителей: [tex]-1; 0; 3[/tex]. Знаки слева направо: [tex]-; +; -; +[/tex].
Ответ: [tex]x\in(-1; 0)\cup(3; +\infty)[/tex].

Решение:
[tex]\frac{x^2-1}{x^3-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)\left(x^2+x+1\right)}=\frac{x+1}{x^2+x+1}[/tex] (при [tex]x\neq 1[/tex])
Знаменатель [tex]x^2+x+1[/tex] положителен при всех [tex]x[/tex], поэтому на него можно умножить, не меняя знака неравенства:
[tex]\frac{x+1}{x^2+x+1}\lt 1 \Leftrightarrow x+1\lt x^2+x+1[/tex]
Остальные варианты получаются умножением на [tex]x^3-1[/tex] (или [tex]x-1[/tex]), знак которого неизвестен.

Решение:
ОДЗ: [tex]x\neq 0[/tex], [tex]x\neq 1[/tex].
Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:
[tex]\frac{x(x-1)+2x-6(x-1)}{x(x-1)}=\frac{x^2-5x+6}{x(x-1)}=\frac{(x-2)(x-3)}{x(x-1)}\gt 0[/tex]
Нули числителя и знаменателя: [tex]0; 1; 2; 3[/tex]. Знаки слева направо: [tex]+; -; +; -; +[/tex].
Ответ: [tex]x\in(-\infty; 0)\cup(1; 2)\cup(3; +\infty)[/tex].
Если умножить на [tex]x(x-1)[/tex], не зная его знака, мы потеряем решения [tex]x\lt 0[/tex].

Решение:
ОДЗ: [tex]x\neq 0[/tex], [tex]x\neq -3[/tex]. Общий знаменатель равен [tex]x(x+3)[/tex]:
[tex]\frac{x^2-(x-3)(x+3)-9(1-x)}{x(x+3)}\lt 0 \Leftrightarrow \frac{x^2-x^2+9-9+9x}{x(x+3)}\lt 0 \Leftrightarrow \frac{9x}{x(x+3)}\lt 0[/tex]
[tex]\frac{9}{x+3}\lt 0 \Rightarrow x\lt -3[/tex] (при [tex]x\neq 0[/tex])
Ответ: [tex]x\in(-\infty; -3)[/tex].

Решение:
Пусть [tex]t=\frac{3-x}{x}[/tex] ([tex]x\neq 0[/tex], [tex]x\neq 3[/tex]), тогда [tex]\frac{x}{3-x}=\frac{1}{t}[/tex] и
[tex]t+\frac{1}{t}=\frac{t^2+1}{t}\geq 0 \Leftrightarrow t\gt 0[/tex] (числитель [tex]t^2+1[/tex] положителен).
[tex]\frac{3-x}{x}\gt 0 \Leftrightarrow 0\lt x\lt 3[/tex]
Целые решения: [tex]1[/tex] и [tex]2[/tex]; их сумма равна [tex]3[/tex].

Решение:
Число [tex]x=1[/tex] — корень кубического многочлена: [tex]1-3-6+8=0[/tex]. Поэтому
[tex]x^3-3x^2-6x+8=(x-1)\left(x^2-2x-8\right)=(x-1)(x-4)(x+2)[/tex]
[tex](x+2)^2(x-1)(x-4)\leq 0[/tex]
При [tex]x=-2[/tex] левая часть равна [tex]0[/tex], т.е. это решение. При [tex]x\neq -2[/tex] имеем [tex](x+2)^2\gt 0[/tex], поэтому [tex](x-1)(x-4)\leq 0[/tex], т.е. [tex]1\leq x\leq 4[/tex].
Ответ: [tex]x\in\{-2\}\cup[1; 4][/tex], поэтому наименьшее целое решение равно [tex]-2[/tex].

Решение:
[tex]x^2+6x+8=(x+2)(x+4)[/tex], [tex]x^2+7x+10=(x+2)(x+5)[/tex]
[tex]\frac{x}{(x+2)(x+4)}-\frac{x}{(x+2)(x+5)}=\frac{x\left[(x+5)-(x+4)\right]}{(x+2)(x+4)(x+5)}=\frac{x}{(x+2)(x+4)(x+5)}\gt 0[/tex]
Нули числителя и знаменателя: [tex]-5; -4; -2; 0[/tex]. Знаки слева направо: [tex]+; -; +; -; +[/tex].
[tex]x\in(-\infty; -5)\cup(-4; -2)\cup(0; +\infty)[/tex]
Отрицательные целые решения: [tex]-3[/tex] и [tex]-6; -7; \ldots[/tex]; наибольшее из них равно [tex]-3[/tex].