Задачи на теорему Фалеса - задачи с решениями

Решение:
Прямые [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex] являются праллельными, и согласно теоремы о пересечении мы имеем [tex]\frac{OD}{OB}=\frac{CD}{AB}[/tex], или [tex]CD=\frac{OD}{OB} \cdot AB=\frac{12}{3} \cdot 5=20[/tex].

Решение:
Прямые [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex] являются параллельными, тогда согласно теореме о пересечении параллельных прямых третьей прямой, мы имеем [tex]\frac{OC}{OA}=\frac{CD}{AB}[/tex], и [tex]CD=\frac{OC}{OA} \cdot AB=\frac{8}{5} \cdot 5=8[/tex].

Решение:
Прямые [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex] параллельны, и согласно теореме о пересчении двух параллельных прямых третьей прямой, мы имеем [tex]\frac{OD}{OB}=\frac{OC}{OA}[/tex], или [tex]OC=\frac{OD}{OB} \cdot OA=\frac{15}{5} \cdot 2=6[/tex].

Решение:
Прямые [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex]- параллельны, тогда согласно теоремы о пересечении параллельных прямых третье, мы имеем [tex]\frac{OB}{BD}=\frac{OA}{AC}[/tex], или [tex]OB=\frac{OA}{AC} \cdot BD=\frac{5}{3} \cdot 6=10[/tex].

Решение:
Прямые [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex] - параллельны, тогда согласно теореме о пересечении параллкльных прямых третьей, мы имеем [tex]\frac{OB}{BD}=\frac{OA}{AC}[/tex], или [tex]OB=\frac{OA}{AC} \cdot BD=\frac{6}{3} \cdot 1=2[/tex]. [tex]OD=OB+BD=2+1=3[/tex].

Решение:
Прямые [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex] - параллельны, тогда согласно теореме о пересечении параллельных прямых третьей, мы имеем [tex]\frac{OD}{OB}=\frac{CD}{AB}[/tex], или [tex]OD=\frac{CD}{AB} \cdot OB=\frac{8}{6} \cdot 12=16[/tex]. [tex]BD=OD-OB=16-12=4[/tex].

Решение:
Параллельные прямые [tex]AB[/tex], [tex]MN[/tex] и [tex]PQ[/tex] пересекают стороны угла [tex]ACB[/tex], поэтому по обобщённой теореме Фалеса они отсекают на них пропорциональные отрезки:
[tex]CQ:QN:NB=CP:PM:MA=3:4:5[/tex]
[tex]\frac{QN}{BC}=\frac{4}{3+4+5}=\frac{1}{3}\Rightarrow BC=3\cdot 6=18[/tex]

Решение:
Так как [tex]ABCD[/tex] — параллелограмм, то [tex]BQ\parallel CD[/tex] и [tex]CD=AB=56[/tex].
Прямые [tex]QD[/tex] и [tex]BC[/tex] пересекаются в точке [tex]P[/tex] и пересечены параллельными прямыми [tex]BQ[/tex] и [tex]CD[/tex], поэтому по обобщённой теореме Фалеса
[tex]\frac{BQ}{CD}=\frac{BP}{PC}=\frac{5}{7}\Rightarrow BQ=\frac{5}{7}\cdot 56=40[/tex]

Решение:
Пусть [tex]AB=c[/tex], [tex]BC=a[/tex] и [tex]CA=b[/tex].
Отрезки [tex]MN[/tex], [tex]NP[/tex] и [tex]PM[/tex] — средние линии, поэтому [tex]MN=\frac{b}{2}[/tex], [tex]NP=\frac{c}{2}[/tex], [tex]PM=\frac{a}{2}[/tex]. Кроме того, [tex]AM=MB=\frac{c}{2}[/tex], [tex]BN=NC=\frac{a}{2}[/tex], [tex]CP=PA=\frac{b}{2}[/tex].
Значит, каждый из четырёх треугольников имеет стороны [tex]\frac{a}{2}[/tex], [tex]\frac{b}{2}[/tex], [tex]\frac{c}{2}[/tex] и его периметр равен половине периметра [tex]P[/tex] треугольника [tex]ABC[/tex]:
[tex]4\cdot \frac{P}{2}=24\Rightarrow P=12[/tex]

Решение:
Точка медианы, делящая её в отношении [tex]2:1[/tex], считая от вершины, — это точка пересечения медиан, поэтому [tex]M[/tex] — точка пересечения медиан треугольника [tex]ABC[/tex].
Через [tex]M[/tex] проходят все три медианы, поэтому [tex]AK[/tex] и [tex]BP[/tex] — медианы, т.е. [tex]K[/tex] и [tex]P[/tex] — середины [tex]BC[/tex] и [tex]AC[/tex]. Тогда [tex]KP[/tex] — средняя линия треугольника [tex]ABC[/tex]:
[tex]KP=\frac{AB}{2}=\frac{15}{2}=7{,}5[/tex]

Решение:
Точка, равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе, поэтому [tex]AM[/tex] — биссектриса угла [tex]BAC[/tex]. По свойству биссектрисы
[tex]\frac{CM}{MB}=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}[/tex]
Пусть [tex]CM=x[/tex]. Тогда [tex]MB=3-x[/tex] и
[tex]\frac{x}{3-x}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2x=3-x\Rightarrow x=1[/tex]

Решение:
Так как [tex]H[/tex] лежит на [tex]AB[/tex], [tex]BO[/tex] — биссектриса угла [tex]HBC[/tex] в треугольнике [tex]HBC[/tex]. По свойству биссектрисы
[tex]\frac{CO}{OH}=\frac{BC}{BH}\Rightarrow \frac{5}{3}=\frac{BC}{12}\Rightarrow BC=20[/tex]

Решение:
Пусть [tex]CK[/tex] — медиана к стороне [tex]AB[/tex]. Точка пересечения медиан делит её в отношении [tex]CM:MK=2:1[/tex], т.е. [tex]\frac{CM}{CK}=\frac{2}{3}[/tex].
В угле [tex]ACK[/tex] имеем [tex]PM\parallel AK[/tex], поэтому по обобщённой теореме Фалеса [tex]\frac{CP}{CA}=\frac{CM}{CK}=\frac{2}{3}[/tex]. Так как [tex]PQ\parallel AB[/tex], то
[tex]\frac{PQ}{AB}=\frac{CP}{CA}=\frac{2}{3}\Rightarrow PQ=\frac{2}{3}\cdot 9=6[/tex]

Решение:
Пусть [tex]BL=x[/tex], тогда [tex]CL=a-x[/tex]. По свойству биссектрисы
[tex]\frac{BL}{CL}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{x}{a-x}=\frac{c}{b}[/tex]
[tex]bx=c(a-x)\Rightarrow x(b+c)=ac\Rightarrow BL=\frac{ac}{b+c}[/tex]

Решение:
Проведём через [tex]M[/tex] прямую, параллельную [tex]AB[/tex]; она пересекает боковую сторону [tex]BC[/tex] в точке [tex]N'[/tex]. Боковые стороны пересечены параллельными прямыми [tex]AB[/tex], [tex]MN'[/tex] и [tex]CD[/tex], поэтому по обобщённой теореме Фалеса
[tex]\frac{BN'}{N'C}=\frac{AM}{MD}=\frac{7}{2}[/tex]
С другой стороны,
[tex]\frac{BN}{NC}=\frac{5{,}6}{1{,}6}=\frac{7}{2}[/tex]
Обе точки лежат на отрезке [tex]BC[/tex] и делят его в одном и том же отношении [tex]7:2[/tex], считая от [tex]B[/tex], поэтому [tex]N'=N[/tex] и [tex]MN\parallel AB[/tex].