Матрицы и детерминанты - задачи с решениями

Решение:
Размер матрицы это $n\times m$, где
$n$ количество строк, а
$m$ количество столбцов.

В таком случае, размер матрицы из задачи $4 \times 5$, потому что тут $4$ строки и $5$ столбцов.

Размер $A: 4\times 5$

Решение:
$A_{2,4}$ это элемент из второй строки и четвертого столбца $A$

$A_{2,4}=0$.

Решение:
$A_{3,2}$ это элемент из третьей строки и второго столбца

$A_{3,2}=-1$.

Решение:
Единичная матрица — это квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю.
Пример:
[tex]\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}[/tex]

Решение:
$\left( \begin{array}{ccc} 3 & -2 & 3 \\ 5 & 1 & 0 \end{array} \right) $

Эта матрица представляет коэффициенты переменных и свободные члены системы уравнений.

Решение:
$\left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{array} \right) +\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 3 & 2 \end{array} \right) $

$2+1=3$
$-1+0=-1$
$1+2=3$
$3+(-1)=2$

Решение:
Вычтем известную матрицу из обеих частей; матрицы вычитаются поэлементно:
[tex]A=\begin{bmatrix}5 & -1 \\ 1 & 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2 & 3 \\ -4 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5-2 & -1-3 \\ 1-(-4) & 5-1\end{bmatrix}[/tex]
Ответ: [tex]A=\begin{bmatrix}3 & -4 \\ 5 & 4\end{bmatrix}[/tex]

Решение:
Умножаем каждый элемент матрицы на [tex]5[/tex]:
[tex]5\begin{bmatrix}-2 \\ 3 \\ -4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\cdot(-2) \\ 5\cdot3 \\ 5\cdot(-4)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-10 \\ 15 \\ -20\end{bmatrix}[/tex]
Ответ: [tex]5\begin{bmatrix}-2 \\ 3 \\ -4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-10 \\ 15 \\ -20\end{bmatrix}[/tex]

Решение:
[tex]\frac{3}{2}X=\begin{bmatrix}3 & -4 \\ 5 & 4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-1 & 3 \\ 2 & -2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3-(-1) & -4-3 \\ 5-2 & 4-(-2)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4 & -7 \\ 3 & 6\end{bmatrix}[/tex]
Умножим обе части на [tex]\frac{2}{3}[/tex]:
[tex]X=\frac{2}{3}\begin{bmatrix}4 & -7 \\ 3 & 6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{8}{3} & -\frac{14}{3} \\ 2 & 4\end{bmatrix}[/tex]
Ответ: [tex]X=\begin{bmatrix}\frac{8}{3} & -\frac{14}{3} \\ 2 & 4\end{bmatrix}[/tex]

Решение:
[tex]B[/tex] — матрица размера [tex]2\times 3[/tex], [tex]C[/tex] — размера [tex]3\times 2[/tex], поэтому произведение [tex]A=BC[/tex] — матрица размера [tex]2\times 2[/tex].
Каждый элемент — произведение строки [tex]B[/tex] на столбец [tex]C[/tex]:
[tex]a_{11}=1\cdot2+(-3)\cdot(-2)+(-2)\cdot3=2+6-6=2[/tex]
[tex]a_{12}=1\cdot1+(-3)\cdot(-1)+(-2)\cdot0=1+3+0=4[/tex]
[tex]a_{21}=2\cdot2+0\cdot(-2)+1\cdot3=4+0+3=7[/tex]
[tex]a_{22}=2\cdot1+0\cdot(-1)+1\cdot0=2+0+0=2[/tex]
Ответ: [tex]A=\begin{bmatrix}2 & 4 \\ 7 & 2\end{bmatrix}[/tex]

Решение:
Для [tex]A=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}[/tex] имеем [tex]\det A=ad-bc[/tex].
[tex]\det A=2\cdot5-(-3)\cdot4=10+12=22[/tex]
Ответ: [tex]\det A=22[/tex]

Решение:
Для [tex]A=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}[/tex] имеем [tex]\det A=ad-bc[/tex].
[tex]\det A=3\cdot0-4\cdot0=0[/tex]
(Определитель матрицы с нулевой строкой всегда равен [tex]0[/tex].)
Ответ: [tex]\det A=0[/tex]

Решение:
Для [tex]A=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}[/tex] при [tex]\det A\neq 0[/tex]: [tex]A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}[/tex]. Если [tex]\det A=0[/tex], обратной матрицы не существует.
[tex]\det A=2\cdot5-(-3)\cdot4=10+12=22\neq 0[/tex]
[tex]A^{-1}=\frac{1}{22}\begin{bmatrix}5 & 3 \\ -4 & 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{5}{22} & \frac{3}{22} \\ -\frac{2}{11} & \frac{1}{11}\end{bmatrix}[/tex]
Ответ: [tex]A^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{5}{22} & \frac{3}{22} \\ -\frac{2}{11} & \frac{1}{11}\end{bmatrix}[/tex]

Решение:
Для [tex]A=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}[/tex] при [tex]\det A\neq 0[/tex]: [tex]A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}[/tex]. Если [tex]\det A=0[/tex], обратной матрицы не существует.
[tex]\det A=0\cdot0-\left(-\frac{3}{4}\right)\cdot\frac{7}{3}=\frac{7}{4}\neq 0[/tex]
[tex]A^{-1}=\frac{4}{7}\begin{bmatrix}0 & \frac{3}{4} \\ -\frac{7}{3} & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & \frac{3}{7} \\ -\frac{4}{3} & 0\end{bmatrix}[/tex]
Ответ: [tex]A^{-1}=\begin{bmatrix}0 & \frac{3}{7} \\ -\frac{4}{3} & 0\end{bmatrix}[/tex]

Решение:
Для [tex]A=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}[/tex] при [tex]\det A\neq 0[/tex]: [tex]A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}[/tex]. Если [tex]\det A=0[/tex], обратной матрицы не существует.
[tex]\det A=3\cdot8-(-4)\cdot(-6)=24-24=0[/tex]
Определитель равен [tex]0[/tex], поэтому у [tex]A[/tex] нет обратной матрицы.

Решение:
[tex]AB=\begin{bmatrix}\frac{21}{5}-\frac{16}{5} & -\frac{28}{5}+\frac{28}{5} \\ \frac{12}{5}-\frac{12}{5} & -\frac{16}{5}+\frac{21}{5}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}[/tex]
[tex]BA=\begin{bmatrix}\frac{21}{5}-\frac{16}{5} & -\frac{12}{5}+\frac{12}{5} \\ \frac{28}{5}-\frac{28}{5} & -\frac{16}{5}+\frac{21}{5}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}[/tex]
Оба произведения равны единичной матрице, значит, [tex]B=A^{-1}[/tex].

Решение:
[tex]AB=\begin{bmatrix}-4+9 & 2-6 \\ -2+6 & 1-4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5 & -4 \\ 4 & -3\end{bmatrix}\neq \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}[/tex]
[tex]AB[/tex] не является единичной матрицей, значит, [tex]B[/tex] не обратна к [tex]A[/tex].

Решение:
[tex]AB=\begin{bmatrix}\frac{16}{25}+\frac{27}{25} & -\frac{40}{25}+\frac{81}{25} \\ -\frac{2}{25}+\frac{6}{25} & \frac{5}{25}+\frac{18}{25}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{43}{25} & \frac{41}{25} \\ \frac{4}{25} & \frac{23}{25}\end{bmatrix}\neq \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}[/tex]
[tex]AB[/tex] не является единичной матрицей, значит, [tex]B[/tex] не обратна к [tex]A[/tex].

Решение:
[tex]AB=\begin{bmatrix}\frac{16}{25}+\frac{9}{25} & -\frac{72}{25}+\frac{72}{25} \\ -\frac{2}{25}+\frac{2}{25} & \frac{9}{25}+\frac{16}{25}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}[/tex]
[tex]BA=\begin{bmatrix}\frac{16}{25}+\frac{9}{25} & \frac{18}{25}-\frac{18}{25} \\ \frac{8}{25}-\frac{8}{25} & \frac{9}{25}+\frac{16}{25}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}[/tex]
Оба произведения равны единичной матрице, значит, [tex]B=A^{-1}[/tex].

Решение:
Если [tex]B=A^{-1}[/tex], то [tex]AB=E[/tex]:
[tex]AB=\begin{bmatrix}\frac{2}{5}+\frac{3}{5} & x+\frac{3}{5} \\ -\frac{2}{5}+\frac{2}{5} & -x+\frac{2}{5}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}[/tex]
[tex]x+\frac{3}{5}=0\;\Rightarrow\; x=-\frac{3}{5}[/tex]
Проверка: [tex]-x+\frac{2}{5}=\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=1[/tex].
Ответ: [tex]x=-\frac{3}{5}[/tex]

Решение:
Матрица не имеет обратной тогда и только тогда, когато её определитель равен [tex]0[/tex].
[tex]\det A=2\cdot(-2)-3x=-4-3x[/tex]
[tex]-4-3x=0\;\Rightarrow\; x=-\frac{4}{3}[/tex]
Ответ: [tex]x=-\frac{4}{3}[/tex]

Решение:
Матрица не имеет обратной тогда и только тогда, когато её определитель равен [tex]0[/tex].
[tex]\det A=1\cdot(-1)-(2+x)x=-1-2x-x^{2}[/tex]
[tex]-x^{2}-2x-1=0\;\Rightarrow\; x^{2}+2x+1=0\;\Rightarrow\;(x+1)^{2}=0\;\Rightarrow\; x=-1[/tex]
Ответ: [tex]x=-1[/tex]