Определитель матрицы

Определитель (детерминант) квадратной матрицы A - это число, обладающее определенными свойствами, которое может быть получено из элементов матрицы рядом методов.

Обозначения

Пусть $ A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$det(A) = \left|A\right| = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end{vmatrix}$

Свойства определителя

1. Если матрица имеет строку или столбец, все элементы которого равны нулю, то ее определитель равен 0.
   
   Пример 12
   $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 0 & 0 & 0\\ 3 & 9 & 5 \end{vmatrix}= 0$ или $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 0\\ 4 & 2 & 0\\ 3 & 9 & 0 \end{vmatrix}=0$
2. Если в матрице есть две одинаковых строки или два одинаковых столбца, то ее определитель равен 0.
   
   Пример 13
   $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 1 & 4 & 2\\ 3 & 9 & 5 \end{vmatrix}= 0$ или $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 1\\ 4 & 2 & 4\\ 3 & 9 & 3 \end{vmatrix}=0$
3. Если в матрице есть две пропорциональных строки или два пропорциональных столбца, то ее определитель равен 0.
   
   Пример 14
   $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 2 & 8 & 4\\ 3 & 9 & 5 \end{vmatrix}= 0$ (две первые строки пропорциональны)
   или
   $\begin{vmatrix} 8 & 4 & 7\\ 4 & 2 & 3\\ 18 & 9 & 8 \end{vmatrix}=0$ (два первых столбца пропорциональны)
4. Если некоторая строка (столбец) является суммой или разностью других строк (столбцов), то определитель равен 0.
   
   Пример 15
   $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 7 & 2 & 3\\ 8 & 6 & 5 \end{vmatrix}= 0$     $R_{1} +R_{2} =R_{3}$ или
   
   $ \begin{vmatrix} 9 & 12 & 3\\ 1 & 8 & 7\\ 5 & 7 & 2 \end{vmatrix}=0$     $C_{1}+C_{3}=C_{2}$
5. При вычислении определителя можно выносить общие множители целых строк или столбцов.
   
   Пример 16
   В определителе
   $\begin{vmatrix} 3 & 9 & 12\\ 5 & 1 & 8 \\ 7 & 4 & 2 \end{vmatrix}$, можно вынести множитель 3 из первой строки $(R_{1})$, тогда получаем:
   $3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4\\ 5 & 1 & 8\\ 7 & 4 & 2 \end{vmatrix}$, затем выносим 2 из третьего столбца $(C_{3})$:
   $6\cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2\\ 5 & 1 & 4\\ 7 & 4 & 1 \end{vmatrix}$
6. При вычислении определителя можно прибавлять (отнимать) строки к другим строкам и столбцы к другим столбцам; определитель матрицы при этом не меняется.
   
   Пример 17
   $\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{R_{1}+R_{2}} \begin{vmatrix} 4 & 13\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$
   Пример 18
   $\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{C_{1}+C_{2}} \begin{vmatrix} 6 & 5\\ 11 & 8 \end{vmatrix}$
7. При вычислении определителя можно прибавлять или отнимать строки и столбцы, умноженные на произвольный коэффициент.
   
   Пример 19
   $\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{2R_{1}+3R_{2}} \begin{vmatrix} 11 & 34\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$
   
   Пример 20
   $\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{5C_{1}-C_{2}} \begin{vmatrix} 0 & 5\\ 7 & 8 \end{vmatrix}$
8. Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы.
9. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей данных матриц.

Минор матрицы

Определитель матрицы, полученной вычеркиванием некоторых строк и столбцов матрицы, называется минором этой матрицы.

Пример 21
$A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

Один из миноров матрицы A есть $\begin{vmatrix} 1 & 4\\ 5 & 3 \end{vmatrix}$ (он получается вычеркиванием строки 3 и столбца 3 из матрицы A)

Другим минором является $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 1 \end{vmatrix}$ (получается вычеркиванием строки 2 и столбца 2 из матрицы A)

Пример 22
$B=\begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 & 3\\ 4 & 1 & 7 & 9\\ 6 & 8 & 3 & 2\\ 7 & 8 & 1 & 4 \end{pmatrix} $

Один из миноров матрицы B есть $ \begin{vmatrix} 1 & 7 & 9\\ 8 & 3 & 2\\ 8 & 1 & 4 \end{vmatrix}$ (получается вычеркиванием строки 1 и столбца 1 из матрицы B)

Другим минором является $\begin{vmatrix} 1 & 7 \\ 8 & 3 \end{vmatrix}$ (получается вычеркиванием строк 1 и 4 и столбцов 1 и 4 из матрицы B)

Пусть $A= \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n}\\ . & . & . & . & .& .\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & a_{n,n} \end{pmatrix}$

Можно определить минор $\Delta_{i,j}$, полученный вычеркиванием строки i и столбца j, для любого элемента $a_{i,j}$ квадратной матрицы A. Такой минор называется дополнительным.

Пример 23
$ A = \begin{pmatrix} 4 & 7\\ 2 & 9 \end{pmatrix}$

Определить дополнительный минор элемента 2. Так как данный элемент находится в строке 2, столбце 1, видно, что это $a_{2,1}$.

Нужно вычеркнуть строку 2 и столбец 1 из матрицы A, после чего получаем

Минор, дополнительный к элементу 2, есть $\Delta_{2,1} = 7$.

Пример 24
$B=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 6 & 2 & 1\\ \end{pmatrix}$

Нужно найти минор, дополнительный к элементу 7. Так как данный элемент находится в строке 2, столбце 3, видно, что это $a_{2,3}$.

Мы должны вычеркнуть строку 2 и столбец 3 из матрицы B, после чего мы получаем

Минор, дополнительный к элементу 7, - это $\Delta_{2,3}= \begin{vmatrix} 1 & 4\\ 6 & 2 \end{vmatrix}$

Пример 25
$C=\begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 & 3\\ 4 & 1 & 7 & 9\\ 6 & 8 & 3 & 2\\ 7 & 8 & 1 & 4 \end{pmatrix}$

Нужно найти минор, дополнительный к элементу 5. Так как данный элемент находится в строке 1, столбце 2, видно, что это $a_{1,2}$.

Мы должны вычеркнуть строку 1 и столбец 2 из матрицы C, после чего мы получаем

Минор, дополнительный к элементу 5, - это $\Delta_{1,2}= \begin{vmatrix} 4 & 7 & 9\\ 6 & 3 & 2\\ 7 & 1 & 4\\ \end{vmatrix}$

Алгебраическое дополнение элемента матрицы

Пусть $A=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n}\\ . & . & . & . & .& .\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & a_{n,n}\\ \end{pmatrix}$

Каждому элементу $a_{i,j}$ матрицы A соответствует алгебраическое дополнение $(-1)^{i+j}\cdot\Delta_{i,j}$. Например, алгебраическое дополнение $(-1)^{2+5}\cdot\Delta_{2,5}=(-1)^{7}\cdot\Delta_{2,5}= -\Delta_{2,5} $ соответствует элементу $a_{2,5}$.

Порядок определителя

Порядок определителя матрицы равен числу ее строк и столбцов.

Пример 26
$\begin{vmatrix} 1 & 4\\ 6 & 2\\ \end{vmatrix}$ (матрица имеет 2 строки и 2 столбца, так что порядок определителя равен 2)

Пример 27
$\begin{vmatrix} 4 & 7 & 9\\ 6 & 3 & 2\\ 7 & 1 & 4\\ \end{vmatrix}$ (матрица имеет 3 строки и 3 столбца, так что порядок определителя равен 3)

Вычисление определителя матрицы

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или любого столбца и их алгебраических дополнений.

$\left| A\right| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n}\\ . & . & . & . & .& .\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & a_{n,n}\\ \end{vmatrix}$

Можно посчитать определитель, например, используя строку i:

$\left| A\right| =a_{i,1}\cdot(-1)^{i+1}\cdot\Delta_{i,1}$ $+a_{i,2}\cdot(-1)^{i+2}\cdot\Delta_{i,2}+a_{i,3}\cdot(-1)^{i+3}\cdot\Delta_{i,3}+...$ $+a_{i,n}\cdot(-1)^{i+n}\cdot\Delta_{i,n}$

Либо же можно посчитать определитель, используя столбец j:

$\left| A\right| =a_{1,j}\cdot(-1)^{1+j}\cdot\Delta_{1,j}$ $+a_{2,j}\cdot(-1)^{2+j}\cdot\Delta_{2,j}+a_{3,j}\cdot(-1)^{3+j}\cdot\Delta_{3,j}+...$ $+a_{n,j}\cdot(-1)^{n+j}\cdot\Delta_{n,j}$

Вычисление определителя матрицы 2x2

Используем строку 1, чтобы вычислить определитель.

$\left| A\right| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2}\\ \end{vmatrix} = a_{1,1}\cdot(-1)^{1+1}\cdot\Delta_{1,1}+a_{1.2}\cdot(-1)^{1+2}\cdot\Delta_{1,2}=$

$a_{1,1}\cdot(-1)^{2}\cdot\Delta_{1,1}+a_{1.2}\cdot(-1)^{3}\cdot\Delta_{1,2}=a_{1,1}\cdot\Delta_{1,1}-a_{1.2}\cdot\Delta_{1,2}$

Заметим, что $ \Delta_{1,1}= a_{2,2} $ и $ \Delta_{1,2}=a_{2,1}$

$ \left| A\right| =a_{1.1} \cdot a_{2,2}- a_{1.2} \cdot a_{2,1}$

$\color{red}{ \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} =a \cdot d - b \cdot c}$

Пример 28
$\begin{vmatrix} 2 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix} =2 \cdot 8 - 3 \cdot 5 = 16 -15 =1$

Пример 29
$\begin{vmatrix} -4 & 7\\ -2 & 9 \end{vmatrix} =-4 \cdot 9 - 7 \cdot (-2) = -36 -(-14) =-36 + 14 = - 22$

Вычисление определителя матрицы 3x3

Используем строку 1, чтобы вычислить определитель.

$ \left| A\right| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} =$ $a_{1,1}\cdot(-1)^{1+1}\cdot\Delta_{1,1}+a_{1.2}\cdot(-1)^{1+2}\cdot\Delta_{1,2}$ $+a_{1.3}\cdot(-1)^{1+3}\cdot\Delta_{1,3}=$ $=a_{1,1}\cdot(-1)^{2}\cdot\Delta_{1,1}+a_{1.2}\cdot(-1)^{3}\cdot\Delta_{1,2}$ $+a_{1.3}\cdot(-1)^{4}\cdot\Delta_{1,3}=$ $a_{1,1}\cdot\Delta_{1,1}-a_{1.2}\cdot\Delta_{1,2}+a_{1.3}\cdot\Delta_{1,3}$

$\Delta_{1,1}= \begin{vmatrix} a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} = a_{2,2}\cdot a_{3,3}-a_{2,3}\cdot a_{3,2}$

$\Delta_{1,2}= \begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,3} \end{vmatrix} = a_{2,1}\cdot a_{3,3}-a_{2,3}\cdot a_{3,1}$

$\Delta_{1,3}= \begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,2}\\ a_{3,1} & a_{3,2} \end{vmatrix} = a_{2,1}\cdot a_{3,2}-a_{2,2}\cdot a_{3,1}$

$\left| A\right| =a_{1,1}\cdot( a_{2,2}\cdot a_{3,3}-a_{2,3}\cdot a_{3,2})-a_{1,2}\cdot(a_{2,1}\cdot a_{3,3}-a_{2,3}\cdot a_{3,1})+$ $a_{1,3}\cdot(a_{2,1}\cdot a_{3,2}-a_{2,2}\cdot a_{3,1})=$ $a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}-a_{1,1}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,2}-a_{1,2}\cdot a_{2.1}\cdot a_{3,3}+a_{1,2}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,1}+$ $a_{1,3}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,2}-a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1}=$ $\color{red}{a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}+a_{1,2}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,1}+a_{1,3}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,2}-}$ $\color{red}{(a_{1,1}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,2}+a_{1,2}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,3}+a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1})}$

Упростить получение последней формулы можно следующим образом.

Начнем с того, что перепишем первые две строки под определителем как показано ниже.

Умножаем элементы на каждой из трех красных диагоналей (на главной диагонали и на диагоналях под ней) и складываем результаты:
$\color{red}{a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}+ a_{2,1}\cdot a_{3,2}\cdot a_{1,3}+a_{3,1}\cdot a_{1,2}\cdot a_{2,3}}$

Умножаем элементы на каждой из трех синих диагоналей (на побочной диагонали и на диагоналях под ней) и складываем результаты:

$\color{blue}{a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1}+ a_{2,3}\cdot a_{3,2}\cdot a_{1,1}+a_{3,3}\cdot a_{1,2}\cdot a_{2,1}}$

Вычитая вторую сумму из первой, получаем формулу определителя:

$\color{red}{a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}+ a_{2,1}\cdot a_{3,2}\cdot a_{1,3}+a_{3,1}\cdot a_{1,2}\cdot a_{2,3}-}$ $\color{red}{(a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1}+ a_{2,3}\cdot a_{3,2}\cdot a_{1,1}+a_{3,3}\cdot a_{1,2}\cdot a_{2,1})}$

Пример 30
$A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 1\\ \end{pmatrix}$

Пример 31
$A=\begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 1 & 4 & 2\\ 7 & 1 & 9\\ \end{pmatrix}$

$= 3\cdot4\cdot9 + 1\cdot1\cdot1 + 7\cdot5\cdot2 -(1\cdot4\cdot7 + 2\cdot1\cdot3 + 9\cdot5\cdot1) =$ $ 108 + 1 + 70 -(28 + 6 + 45)=79-79=100$

Элементы матрицы могут быть обозначены буквами. Вычисление их определителей можно упростить, используя свойства определителей. Например, можно вычислить определитель матрицы, в которой к какой-либо строке (или столбцу) прибавлена линейные комбинация других строк (столбцов).

$\begin{vmatrix} a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{vmatrix}$ $ \xlongequal{C_{1}+C_{2}+C_{3}} \begin{vmatrix} a + b + c & b & c\\ c + a + b & a & b\\ b + c + a & c & a \end{vmatrix} = (a + b + c) \cdot \begin{vmatrix} 1 & b & c\\ 1 & a & b\\ 1 & c & a \end{vmatrix}$

Вычисляем последней определитель: