Определитель матрицы

Каждой квадратной матрице соответствует число: её определитель. Одно это число показывает, есть ли у матрицы обратная, имеет ли система линейных уравнений ровно одно решение и как матрица изменяет площади и объёмы. В этом уроке вы узнаете, что такое миноры и алгебраические дополнения, как вычислять определители 2-го, 3-го и 4-го порядка (по формуле, по правилу Саррюса, разложением по строке или столбцу и с помощью преобразований строк) и какие свойства позволяют сократить вычисления.

На этой странице: Определение · Обозначения и порядок · Определители 2×2 и 3×3 · Миноры · Алгебраические дополнения · Разложение по строке или столбцу · Свойства · Вычисление с помощью свойств · Когда определитель равен 0 · Решённые задачи · Задачи для самостоятельного решения

Что такое определитель?

Определитель матрицы 1×1 равен её единственному элементу. Определитель матрицы 2×2 равен произведению двух элементов главной диагонали минус произведение двух других элементов:

$$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$$

Для матрицы большего порядка определитель задаётся через определители порядка на единицу меньше (с помощью разложения по строке, о котором речь пойдёт ниже), так что в конечном счёте любой определитель сводится к определителям 2×2. Результатом может быть любое число: положительное, отрицательное, нуль или дробь.

Пример. $\det\begin{pmatrix}3&1\\1&2\end{pmatrix}=3\cdot2-1\cdot1=5$ и $\det\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&1\\1&3\end{pmatrix}=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}.$

Почему определители так важны:

• Квадратная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда её определитель не равен 0 (см. обратные матрицы).
• Система из $n$ линейных уравнений с $n$ неизвестными имеет ровно одно решение тогда и только тогда, когда определитель её матрицы коэффициентов не равен 0. Более того, по формулам Крамера это решение записывается через определители (см. системы линейных уравнений).
• Геометрический смысл: строки $(3,1)$ и $(1,2)$ первой матрицы из примера выше можно рассматривать как два вектора на плоскости. Площадь параллелограмма, построенного на этих векторах, равна 5, то есть модулю определителя. Для матрицы 3×3 число $|\det A|$ равно объёму параллелепипеда, построенного на трёх её строках.

Обозначения

Элемент, стоящий в строке $i$ и столбце $j$ матрицы $A,$ обозначается $a_{ij}.$ Определитель матрицы $A$ обозначают $\det A$ или записывают, поставив элементы матрицы $A$ между двумя вертикальными чертами. Например, для

$$A=\begin{pmatrix}1&4&2\\5&3&7\\6&2&1\end{pmatrix}$$

пишут

$$\det A=\begin{vmatrix}1&4&2\\5&3&7\\6&2&1\end{vmatrix}$$

Круглые скобки обозначают саму матрицу, то есть таблицу чисел. Прямые черты обозначают её определитель, то есть одно число (в примере 9 мы найдём, что этот определитель равен 121). Черты не означают модуль: определитель может быть отрицательным. В других книгах пишут $\det(A),$ $|A|$ или $\Delta.$

Порядок определителя

Порядком определителя называется число его строк, которое совпадает с числом его столбцов. Определитель матрицы размера ${n\times n}$ имеет порядок $n.$

Например, определитель $\begin{vmatrix}1&4\\6&2\end{vmatrix}$ имеет 2 строки и 2 столбца, поэтому его порядок равен 2, а определитель $\begin{vmatrix}4&7&9\\6&3&2\\7&1&4\end{vmatrix}$ имеет порядок 3. У матрицы, которая не является квадратной, например у матрицы 2×3, определителя нет.

Вычисление определителей 2×2 и 3×3

Для определителей 2-го и 3-го порядка есть короткие формулы. Определители большего порядка вычисляют разложением по строке или столбцу и с помощью свойств определителя; об этом рассказано ниже.

Вычисление определителя 2×2

Пример 1. $\begin{vmatrix}2&5\\3&8\end{vmatrix}=2\cdot8-5\cdot3=16-15=1$

Пример 2. Отрицательный элемент заключайте в скобки:

$\begin{vmatrix}-4&7\\-2&9\end{vmatrix}=(-4)\cdot9-7\cdot(-2)=-36+14=-22$

Вычисление определителя 3×3: правило Саррюса

Эти шесть произведений легко запомнить с помощью правила Саррюса. Допишем справа от определителя ещё раз его первые два столбца. Три произведения вдоль линий, идущих вправо вниз, берутся со знаком плюс (одним цветом отмечены три элемента, которые перемножаются):

$$\begin{vmatrix}\textcolor{#c0392b}{a_{11}}&\textcolor{#1e8449}{a_{12}}&\textcolor{#1b64a8}{a_{13}}\\a_{21}&\textcolor{#c0392b}{a_{22}}&\textcolor{#1e8449}{a_{23}}\\a_{31}&a_{32}&\textcolor{#c0392b}{a_{33}}\end{vmatrix}\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\\textcolor{#1b64a8}{a_{21}}&a_{22}\\\textcolor{#1e8449}{a_{31}}&\textcolor{#1b64a8}{a_{32}}\end{matrix}$$

Три произведения вдоль линий, идущих вправо вверх, берутся со знаком минус:

$$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\textcolor{#c0392b}{a_{13}}\\a_{21}&\textcolor{#c0392b}{a_{22}}&\textcolor{#1e8449}{a_{23}}\\\textcolor{#c0392b}{a_{31}}&\textcolor{#1e8449}{a_{32}}&\textcolor{#1b64a8}{a_{33}}\end{vmatrix}\begin{matrix}\textcolor{#1e8449}{a_{11}}&\textcolor{#1b64a8}{a_{12}}\\\textcolor{#1b64a8}{a_{21}}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}$$

Вместо двух столбцов справа можно также дописать под определителем его первые две строки и перемножать элементы вдоль диагоналей точно так же: получатся те же шесть произведений. Правило Саррюса применимо только к определителям 3×3. Откуда берётся эта формула, показано в разделе о разложении по строке или столбцу.

Пример 3. Вычислите $\det A$ для ${A=\begin{pmatrix}1&4&3\\2&1&5\\3&2&1\end{pmatrix}}.$

Допишем справа ещё раз первые два столбца:

$$\begin{vmatrix}1&4&3\\2&1&5\\3&2&1\end{vmatrix}\begin{matrix}1&4\\2&1\\3&2\end{matrix}$$

${\det A}={1\cdot1\cdot1+4\cdot5\cdot3}+{3\cdot2\cdot2-3\cdot1\cdot3}-{1\cdot5\cdot2-4\cdot2\cdot1}$

$={1+60+12-9-10-8}={73-27}={46}$

Матричный калькулятор показывает решение этого примера по правилу Саррюса.

Пример 4. Вычислите определитель матрицы ${B=\begin{pmatrix}3&5&1\\1&4&2\\7&1&9\end{pmatrix}}.$

${\det B}={3\cdot4\cdot9+5\cdot2\cdot7}+{1\cdot1\cdot1-1\cdot4\cdot7}-{3\cdot2\cdot1-5\cdot1\cdot9}$

$={108+70+1}-{28-6-45}={179-79}={100}$

Миноры

Миноры матрицы порядка $n$ являются определителями порядка ${n-1}.$ В некоторых книгах пишут $\Delta_{ij}$ вместо $M_{ij}.$ В примерах вычеркнутые элементы показаны серым цветом.

Пример 5. Найдите минор элемента 2 в матрице ${A=\begin{pmatrix}4&7\\2&9\end{pmatrix}}.$

Элемент 2 стоит в строке 2 и столбце 1, то есть это $a_{21}.$ Вычеркнем строку 2 и столбец 1:

$$\begin{pmatrix}\textcolor{#aaa}{4}&7\\\textcolor{#aaa}{2}&\textcolor{#aaa}{9}\end{pmatrix}$$

Остаётся только элемент 7, поэтому ${M_{21}=7}.$

Пример 6. Найдите миноры $M_{23},$ $M_{33}$ и $M_{22}$ матрицы ${A=\begin{pmatrix}1&4&2\\5&3&7\\6&2&1\end{pmatrix}}$ из раздела об обозначениях.

Для $M_{23}$ вычёркиваем строку 2 и столбец 3:

$$\begin{pmatrix}1&4&\textcolor{#aaa}{2}\\\textcolor{#aaa}{5}&\textcolor{#aaa}{3}&\textcolor{#aaa}{7}\\6&2&\textcolor{#aaa}{1}\end{pmatrix}$$

$M_{23}=\begin{vmatrix}1&4\\6&2\end{vmatrix}=1\cdot2-4\cdot6=-22$

Точно так же вычёркиваем строку 3 и столбец 3, а затем строку 2 и столбец 2:

$M_{33}=\begin{vmatrix}1&4\\5&3\end{vmatrix}=3-20=-17$

$M_{22}=\begin{vmatrix}1&2\\6&1\end{vmatrix}=1-12=-11$

Пример 7. Найдите минор элемента 5 в матрице ${B=\begin{pmatrix}2&5&1&3\\4&1&7&9\\6&8&3&2\\7&8&1&4\end{pmatrix}}.$

Число 5 является элементом $a_{12}.$ Вычеркнем строку 1 и столбец 2:

$$\begin{pmatrix}\textcolor{#aaa}{2}&\textcolor{#aaa}{5}&\textcolor{#aaa}{1}&\textcolor{#aaa}{3}\\4&\textcolor{#aaa}{1}&7&9\\6&\textcolor{#aaa}{8}&3&2\\7&\textcolor{#aaa}{8}&1&4\end{pmatrix}$$

Этот минор является определителем 3×3, и его можно вычислить по правилу Саррюса:

$M_{12}=\begin{vmatrix}4&7&9\\6&3&2\\7&1&4\end{vmatrix}=48+98+54-189-8-168=-165$

В более общем случае любые $k$ строк и любые $k$ столбцов матрицы (квадратной или нет) дают минор порядка $k\text{:}$ определитель, составленный из элементов, которые стоят на пересечении этих строк и столбцов. Например, строки 2 и 3 и столбцы 2 и 3 матрицы $B$ из примера выше дают минор второго порядка $\begin{vmatrix}1&7\\8&3\end{vmatrix}=3-56=-53\text{:}$ мы вычеркнули строки 1 и 4 и столбцы 1 и 4. Миноры всех порядков используются при нахождении ранга матрицы.

Алгебраические дополнения

Если сумма ${i+j}$ чётна, алгебраическое дополнение равно минору; если сумма ${i+j}$ нечётна, оно равно минору, взятому с противоположным знаком. Знаки чередуются в шахматном порядке, начиная с ${+}$ в левом верхнем углу:

$$\begin{pmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix}+&-&+&-\\-&+&-&+\\+&-&+&-\\-&+&-&+\end{pmatrix}$$

Например, алгебраическое дополнение элемента $a_{25}$ (в матрице порядка не ниже 5) таково: ${C_{25}}={(-1)^{2+5}M_{25}}={-M_{25}}.$

Пример 8. Найдите алгебраические дополнения элементов строки 2 матрицы ${A=\begin{pmatrix}1&4&2\\5&3&7\\6&2&1\end{pmatrix}}.$

$C_{21}=-\begin{vmatrix}4&2\\2&1\end{vmatrix}=-(4-4)=0$

$C_{22}=+\begin{vmatrix}1&2\\6&1\end{vmatrix}=1-12=-11$

$C_{23}=-\begin{vmatrix}1&4\\6&2\end{vmatrix}=-(2-24)=22$

Сравните с примером 6: ${C_{22}=M_{22}},$ потому что сумма ${2+2}$ чётна, а ${C_{23}=-M_{23}},$ потому что сумма ${2+3}$ нечётна.

Разложение по строке или столбцу

Такое разложение называют также разложением Лапласа. Оно сводит определитель порядка $n$ к $n$ определителям порядка ${n-1},$ поэтому годится для определителей любого порядка; именно через него и вводится определитель матрицы большого порядка. Для матрицы $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ алгебраические дополнения элементов строки 1 таковы: ${C_{11}=d}$ и ${C_{12}=-c},$ а разложение даёт знакомую формулу ${a\cdot d+b\cdot(-c)}={ad-bc}.$ Для матрицы 3×3 разложение по строке 1 имеет вид

$\det A=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}$

$+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}$

Если раскрыть три определителя 2×2, получатся в точности шесть произведений из правила Саррюса.

Пример 9. Вычислите определитель матрицы ${A=\begin{pmatrix}1&4&2\\5&3&7\\6&2&1\end{pmatrix}}$ разложением по строке 1.

$C_{11}=+\begin{vmatrix}3&7\\2&1\end{vmatrix}=3-14=-11$

$C_{12}=-\begin{vmatrix}5&7\\6&1\end{vmatrix}=-(5-42)=37$

$C_{13}=+\begin{vmatrix}5&3\\6&2\end{vmatrix}=10-18=-8$

${\det A}={1\cdot(-11)}+{4\cdot37+2\cdot(-8)}={-11+148-16}={121}$

Разложение по строке 2 с алгебраическими дополнениями из примера 8 даёт то же значение:

${\det A}={5\cdot0}+{3\cdot(-11)+7\cdot22}={-33+154}={121}$

Матричный калькулятор показывает это разложение шаг за шагом.

Нулевой элемент, умноженный на своё алгебраическое дополнение, даёт 0, поэтому его алгебраическое дополнение можно не вычислять. Вот почему раскладывать определитель выгоднее всего по той строке или тому столбцу, где больше всего нулей.

Пример 10. Вычислите $\begin{vmatrix}2&0&1\\3&0&-1\\4&5&2\end{vmatrix}.$

В столбце 2 два нуля, поэтому раскладываем определитель по столбцу 2. Отличен от нуля только элемент ${a_{32}=5}.$ Вычёркиваем строку 3 и столбец 2; знак равен ${(-1)^{3+2}=-1}\text{:}$

$\begin{vmatrix}2&\textcolor{#aaa}{0}&1\\3&\textcolor{#aaa}{0}&-1\\\textcolor{#aaa}{4}&\textcolor{#c0392b}{5}&\textcolor{#aaa}{2}\end{vmatrix}=5\cdot(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}2&1\\3&-1\end{vmatrix}$

$$=-5\cdot(-2-3)=25$$

Матричный калькулятор умеет раскладывать определитель по любой строке или любому столбцу на ваш выбор.

Пример 11. Вычислите определитель четвёртого порядка $\begin{vmatrix}4&3&2&2\\0&1&-3&3\\0&-1&3&3\\0&3&1&1\end{vmatrix}.$

В столбце 1 только один элемент отличен от 0, поэтому раскладываем определитель по столбцу 1, и нам нужно лишь одно алгебраическое дополнение. Вычёркиваем строку 1 и столбец 1:

$$\begin{vmatrix}\textcolor{#c0392b}{4}&\textcolor{#aaa}{3}&\textcolor{#aaa}{2}&\textcolor{#aaa}{2}\\\textcolor{#aaa}{0}&1&-3&3\\\textcolor{#aaa}{0}&-1&3&3\\\textcolor{#aaa}{0}&3&1&1\end{vmatrix}$$ $$=4\cdot(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}1&-3&3\\-1&3&3\\3&1&1\end{vmatrix}$$

По правилу Саррюса:

$={4}\cdot {(3-27-3-27-3-3)}={4\cdot(-60)}={-240}$

Свойства определителя

Пусть $A$ — квадратная матрица порядка $n.$ Через $R_i$ обозначим строку $i,$ а через $C_j$ — столбец $j$ (у столбца один индекс, а у алгебраического дополнения $C_{ij}$ их два).

1. Транспонирование не меняет определитель: ${\det A^T=\det A}.$ Поэтому строки и столбцы равноправны, и каждое из свойств ниже, сформулированное для строк, верно и для столбцов. Например, $\begin{vmatrix}1&5\\3&8\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&3\\5&8\end{vmatrix}=-7.$
2. Нулевая строка даёт определитель 0: достаточно разложить определитель по этой строке. Например, $\begin{vmatrix}1&4&2\\0&0&0\\3&9&5\end{vmatrix}=0,$ а для нулевого столбца $\begin{vmatrix}1&4&0\\4&2&0\\3&9&0\end{vmatrix}=0.$
3. Перестановка двух строк меняет знак определителя: $\begin{vmatrix}3&8\\1&5\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}1&5\\3&8\end{vmatrix}=7.$
4. Две равные строки дают определитель 0. Если поменять их местами, матрица не изменится, а знак определителя изменится, поэтому ${\det A=-\det A},$ что возможно только при ${\det A=0}.$ Например, $\begin{vmatrix}1&4&2\\1&4&2\\3&9&5\end{vmatrix}=0$ (строки 1 и 2 равны) и $\begin{vmatrix}1&4&1\\4&2&4\\3&9&3\end{vmatrix}=0$ (столбцы 1 и 3 равны).
5. Общий множитель всех элементов одной строки можно вынести за знак определителя. Ниже мы выносим 3 из строки 1, а затем 2 из столбца 3: $$\begin{vmatrix}3&9&12\\5&1&8\\7&4&2\end{vmatrix}=3\begin{vmatrix}1&3&4\\5&1&8\\7&4&2\end{vmatrix}$$ $$=6\begin{vmatrix}1&3&2\\5&1&4\\7&4&1\end{vmatrix}$$ Если прочитать это свойство в обратную сторону, оно означает: при умножении одной строки на $k$ определитель умножается на $k.$
6. Пропорциональные строки дают определитель 0: после вынесения множителя две строки становятся равными. Например, $\begin{vmatrix}1&4&2\\2&8&4\\3&9&5\end{vmatrix}=0,$ потому что ${R_2=2R_1},$ и $\begin{vmatrix}8&4&7\\4&2&3\\18&9&8\end{vmatrix}=0,$ потому что ${C_1=2C_2}.$
7. Прибавление к строке другой строки, умноженной на число, не меняет определитель. Для определителя $\begin{vmatrix}1&5\\3&8\end{vmatrix}=-7$ преобразования ${R_1\to R_1+R_2},$ ${R_1\to R_1+3R_2}$ и ${C_1\to C_1+C_2}$ дают

   $\begin{vmatrix}4&13\\3&8\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}10&29\\3&8\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}6&5\\11&8\end{vmatrix}=-7$

   Будьте внимательны: строку, которую изменяют, умножать нельзя. Преобразование ${R_1\to 2R_1+3R_2}$ ещё и удваивает строку 1, поэтому оно удваивает определитель: $\begin{vmatrix}11&34\\3&8\end{vmatrix}=-14.$
8. Строка, равная сумме других строк или, в более общем случае, их линейной комбинации, даёт определитель 0: если вычесть из неё эти строки, получится нулевая строка. Например, $\begin{vmatrix}1&4&2\\7&2&3\\8&6&5\end{vmatrix}=0,$ потому что ${R_3=R_1+R_2},$ и $\begin{vmatrix}9&12&3\\1&8&7\\5&7&2\end{vmatrix}=0,$ потому что ${C_2=C_1+C_3}.$
9. Сумма в одной строке позволяет разбить определитель на два:

   $\begin{vmatrix}a+p&b+q\\c&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}p&q\\c&d\end{vmatrix}$

   Разбивать можно только одну строку за раз. Для матриц в целом, вообще говоря, ${\det(A+B)\ne\det A+\det B}.$
10. Определитель треугольной матрицы (у которой все элементы ниже главной диагонали или все элементы выше неё равны 0) равен произведению её диагональных элементов: достаточно последовательно раскладывать определитель по первому столбцу (если нули стоят ниже диагонали) или по первой строке (если выше). Например, $\begin{vmatrix}2&7&-1\\0&3&5\\0&0&4\end{vmatrix}=2\cdot3\cdot4=24.$ В частности, для единичной матрицы ${\det I_n=1}.$
11. Определитель произведения равен произведению определителей: ${\det(AB)=\det A\cdot\det B}.$ Например, для ${A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$ и ${B=\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}}$ имеем ${\det A=-2}$ и ${\det B=6},$ а

    $AB=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&6\\10&12\end{pmatrix}$

    $\det(AB)=\begin{vmatrix}4&6\\10&12\end{vmatrix}=48-60=-12=(-2)\cdot6$

    Отсюда следует, что ${\det(A^m)=(\det A)^m}$ и что для обратимой матрицы ${\det(A^{-1})=\frac{1}{\det A}}.$ Кроме того, ${\det(AB)=\det(BA)},$ хотя, вообще говоря, ${AB\ne BA}$ (см. умножение матриц).
12. Числовой множитель выносится в степени $n\text{:}$ ${\det(kA)=k^n\det A}$ для матрицы порядка $n,$ потому что каждая из $n$ строк умножается на $k.$ Например, $\det\begin{pmatrix}3&6\\9&12\end{pmatrix}=36-54=-18=3^2\cdot(-2).$

Вычисление определителей с помощью свойств

Чтобы непосредственно разложить определитель 4×4, нужно вычислить четыре определителя 3×3, а для определителя 5×5 понадобятся пять определителей 4×4. Свойства позволяют значительно сократить вычисления. Использовать их можно двумя способами.

Получение нулей и разложение

Выберите строку или столбец, желательно с нулями или с элементом 1. С помощью преобразований ${R_i\to R_i+kR_j}$ (или таких же преобразований столбцов) обратите в 0 все её (его) элементы, кроме одного. Затем разложите определитель по этой строке (этому столбцу): останется лишь одно алгебраическое дополнение. Чтобы получить нули в столбце, комбинируйте строки; чтобы получить нули в строке, комбинируйте столбцы.

Пример 12. Вычислите $\begin{vmatrix}1&2&-1\\3&7&2\\-2&1&4\end{vmatrix}.$

Столбец 1 начинается с 1. Преобразования ${R_2\to R_2-3R_1}$ и ${R_3\to R_3+2R_1}$ обращают два других элемента столбца 1 в 0 и не меняют определитель:

$$\begin{vmatrix}1&2&-1\\3&7&2\\-2&1&4\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&-1\\0&1&5\\0&5&2\end{vmatrix}$$

Раскладываем по столбцу 1:

$$=1\cdot\begin{vmatrix}1&5\\5&2\end{vmatrix}=2-25=-23$$

Приведение к треугольному виду

С помощью преобразований строк приведите матрицу к треугольному виду и следите за тем, как каждое преобразование меняет определитель (см. правило в рамке выше): перестановка меняет знак, множитель, вынесенный из строки, записывается перед определителем, а ${R_i\to R_i+kR_j}$ ничего не меняет. В конце перемножьте элементы на диагонали. В этом состоит идея метода Гаусса; именно так компьютеры вычисляют определители большого порядка.

Пример 13. Вычислите $\det A$ для ${A=\begin{pmatrix}0&2&1\\1&3&2\\2&4&7\end{pmatrix}}.$

Левый верхний элемент равен 0, поэтому сначала переставим строки 1 и 2, ${R_1\leftrightarrow R_2}.$ Знак меняется:

$$\det A=\begin{vmatrix}0&2&1\\1&3&2\\2&4&7\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}1&3&2\\0&2&1\\2&4&7\end{vmatrix}$$

Преобразование ${R_3\to R_3-2R_1}$ не меняет определитель:

$$=-\begin{vmatrix}1&3&2\\0&2&1\\0&-2&3\end{vmatrix}$$

Преобразование ${R_3\to R_3+R_2}\text{:}$

$$=-\begin{vmatrix}1&3&2\\0&2&1\\0&0&4\end{vmatrix}$$

Определитель имеет треугольный вид, поэтому перемножаем диагональные элементы:

$$=-1\cdot2\cdot4=-8$$

Вычисление определителя 4×4

Правило Саррюса к определителям 4×4 неприменимо. Прежде чем начинать вычисления, внимательно посмотрите на определитель:

1. Не видно ли сразу, что он равен 0? Поищите нулевую строку или нулевой столбец, две равные или пропорциональные строки (или два таких столбца) либо строку, равную сумме других строк.
2. Можно ли вынести общий множитель из какой-нибудь строки или столбца?
3. Состоит ли каждая строка из одних и тех же чисел, только расставленных в другом порядке? Тогда, прибавив к одной строке все остальные, вы получите общий множитель (см. задачу 7 ниже).
4. В какой строке или в каком столбце есть нули или элемент 1? Получите там нули и разложите определитель или приведите его к треугольному виду.

Например, следующие три определителя равны 0, и это видно без всяких вычислений. В первом строка 3 состоит из нулей; во втором равны столбцы 1 и 3; в третьем строка 3 равна удвоенной строке 2.

$$\begin{vmatrix}1&3&9&2\\5&8&4&3\\0&0&0&0\\2&3&1&8\end{vmatrix}=0$$ $$\begin{vmatrix}1&3&1&2\\5&8&5&3\\0&4&0&0\\2&3&2&8\end{vmatrix}=0$$ $$\begin{vmatrix}1&3&9&2\\5&8&4&3\\10&16&8&6\\2&3&1&8\end{vmatrix}=0$$

Пример 14. Вычислите

$$\begin{vmatrix}4&3&2&2\\0&1&0&-2\\1&-1&3&3\\2&3&1&1\end{vmatrix}$$

В строке 2 уже есть два нуля и элемент 1. Преобразование столбцов ${C_4\to C_4+2C_2}$ обращает её последний элемент в 0. Затем раскладываем определитель по строке 2, то есть вычёркиваем строку 2 и столбец 2:

$$=\begin{vmatrix}4&\textcolor{#aaa}{3}&2&8\\\textcolor{#aaa}{0}&\textcolor{#c0392b}{1}&\textcolor{#aaa}{0}&\textcolor{#aaa}{0}\\1&\textcolor{#aaa}{-1}&3&1\\2&\textcolor{#aaa}{3}&1&7\end{vmatrix}$$ $$=1\cdot(-1)^{2+2}\begin{vmatrix}4&2&8\\1&3&1\\2&1&7\end{vmatrix}$$

$={84+4+8-48-4-14}={30}$

Пример 15. Вычислите

$$\begin{vmatrix}2&5&1&4\\4&1&6&3\\5&3&7&2\\1&0&2&4\end{vmatrix}$$

Строка 4 начинается с 1, поэтому получаем нули в столбце 1 с помощью преобразований ${R_1\to R_1-2R_4},$ ${R_2\to R_2-4R_4}$ и ${R_3\to R_3-5R_4}.$ Затем раскладываем определитель по столбцу 1, вычёркивая строку 4 и столбец 1:

$$=\begin{vmatrix}\textcolor{#aaa}{0}&5&-3&-4\\\textcolor{#aaa}{0}&1&-2&-13\\\textcolor{#aaa}{0}&3&-3&-18\\\textcolor{#c0392b}{1}&\textcolor{#aaa}{0}&\textcolor{#aaa}{2}&\textcolor{#aaa}{4}\end{vmatrix}$$ $$=1\cdot(-1)^{4+1}\begin{vmatrix}5&-3&-4\\1&-2&-13\\3&-3&-18\end{vmatrix}$$

Вынесем ${-1}$ из столбца 2 и ${-1}$ из столбца 3. Так как ${(-1)\cdot(-1)=1},$ знак минус перед определителем остаётся:

$$=-\begin{vmatrix}5&3&4\\1&2&13\\3&3&18\end{vmatrix}$$

$={-180-117-12}+{24+195+54}={-36}$

Пример 16. Вычислите приведением к треугольному виду:

$$\begin{vmatrix}1&2&-1&3\\2&5&0&4\\-1&1&7&-4\\3&5&-3&12\end{vmatrix}$$

Нули под единицей в столбце 1: ${R_2\to R_2-2R_1},$ ${R_3\to R_3+R_1}$ и ${R_4\to R_4-3R_1}.$ Определитель не меняется:

$$=\begin{vmatrix}1&2&-1&3\\0&1&2&-2\\0&3&6&-1\\0&-1&0&3\end{vmatrix}$$

Нули под единицей в столбце 2: ${R_3\to R_3-3R_2}$ и ${R_4\to R_4+R_2}\text{:}$

$$=\begin{vmatrix}1&2&-1&3\\0&1&2&-2\\0&0&0&5\\0&0&2&1\end{vmatrix}$$

Перестановка ${R_3\leftrightarrow R_4}$ приводит определитель к треугольному виду и меняет его знак:

$$=-\begin{vmatrix}1&2&-1&3\\0&1&2&-2\\0&0&2&1\\0&0&0&5\end{vmatrix}$$ $$=-1\cdot1\cdot2\cdot5=-10$$

Матричный калькулятор показывает подробное решение тем же методом.

Когда определитель равен 0?

Пример. Для матрицы ${A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}$ правило Саррюса даёт

$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=45+84+96-105-48-72=0$

Причина в том, что ${R_1+R_3=2R_2},$ поэтому преобразование ${R_3\to R_3+R_1-2R_2}$ даёт нулевую строку. Эта матрица не имеет обратной, её ранг равен 2, а система уравнений с этой матрицей коэффициентов либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений (см. ранг матрицы и системы линейных уравнений).

Если ${\det A\ne 0},$ то всё наоборот: матрица $A$ имеет обратную, её ранг равен $n,$ и любая система ${AX=B}$ с этой матрицей имеет ровно одно решение, которое по формулам Крамера записывается через определители. Геометрически равенство ${\det A=0}$ означает, что строки матрицы $A,$ рассматриваемые как векторы, лежат на одной прямой (для матрицы 2×2) или в одной плоскости (для матрицы 3×3), поэтому построенный на них параллелограмм или параллелепипед «сплющен» и имеет нулевую площадь или нулевой объём.

Решённые задачи

Задача 1. Решите уравнение $\begin{vmatrix}x-1&2\\4&x+1\end{vmatrix}=0.$

Решение:

$\begin{vmatrix}x-1&2\\4&x+1\end{vmatrix}=(x-1)(x+1)-2\cdot4=x^2-9$

Из уравнения ${x^2-9=0}$ получаем ${x=3}$ или ${x=-3}.$

Задача 2. Матрицы $A$ и $B$ имеют размер 3×3, причём ${\det A=3}$ и ${\det B=-2}.$ Найдите ${\det(2A)},$ ${\det(A^TB)},$ ${\det(A^{-1})}$ и ${\det(-B)}.$

Решение: При умножении матрицы порядка 3 на число $k$ её определитель умножается на ${k^3}.$

${\det(2A)=2^3\cdot3=24}$

${\det(A^TB)}={\det A^T\cdot\det B}={3\cdot(-2)}={-6}$

${\det(A^{-1})=\frac{1}{\det A}=\frac{1}{3}}$

${\det(-B)}={(-1)^3\cdot(-2)}={2}$

Задача 3. Матрица $A$ размера 3×3 является кососимметрической: ${A^T=-A}.$ Докажите, что ${\det A=0}.$ Проверьте это для ${A=\begin{pmatrix}0&2&-1\\-2&0&3\\1&-3&0\end{pmatrix}}.$

Решение: По свойствам транспонирования и числового множителя

${\det A}={\det A^T}={\det(-A)}={(-1)^3\det A}={-\det A}$

Число, равное противоположному ему числу, может быть только нулём, поэтому ${\det A=0}.$ Для данной матрицы это подтверждает правило Саррюса:

$\begin{vmatrix}0&2&-1\\-2&0&3\\1&-3&0\end{vmatrix}=0+6-6-0-0-0=0$

Для матриц чётного порядка это неверно, например $\begin{vmatrix}0&1\\-1&0\end{vmatrix}=1.$

Задача 4. Решите уравнение ${D=0},$ где ${D=\begin{vmatrix}x&1&1\\1&x&1\\1&1&x\end{vmatrix}}.$

Решение: Сумма элементов каждой строки равна ${x+2}.$ Прибавим к строке 1 строки 2 и 3, ${R_1\to R_1+R_2+R_3},$ и вынесем ${x+2}$ из строки 1:

$$D=\begin{vmatrix}x+2&x+2&x+2\\1&x&1\\1&1&x\end{vmatrix}$$ $$=(x+2)\begin{vmatrix}1&1&1\\1&x&1\\1&1&x\end{vmatrix}$$

Теперь преобразования ${R_2\to R_2-R_1}$ и ${R_3\to R_3-R_1}$ дают треугольный определитель:

$$=(x+2)\begin{vmatrix}1&1&1\\0&x-1&0\\0&0&x-1\end{vmatrix}$$ $$=(x+2)(x-1)^2$$

Итак, ${D=0}$ при ${x=-2}$ или ${x=1}.$

Задача 5. Вычислите $\begin{vmatrix}4&7&2&3\\1&3&1&2\\2&5&3&4\\1&4&2&3\end{vmatrix}.$

Решение: В строке 2 в столбце 3 стоит элемент 1. Преобразования столбцов ${C_1\to C_1-C_3},$ ${C_2\to C_2-3C_3}$ и ${C_4\to C_4-2C_3}$ обращают остальные элементы строки 2 в 0. Затем раскладываем определитель по строке 2, вычёркивая строку 2 и столбец 3:

$$\begin{vmatrix}2&1&\textcolor{#aaa}{2}&-1\\\textcolor{#aaa}{0}&\textcolor{#aaa}{0}&\textcolor{#c0392b}{1}&\textcolor{#aaa}{0}\\-1&-4&\textcolor{#aaa}{3}&-2\\-1&-2&\textcolor{#aaa}{2}&-1\end{vmatrix}$$ $$=1\cdot(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}2&1&-1\\-1&-4&-2\\-1&-2&-1\end{vmatrix}$$

Вынесем ${-1}$ из строки 2 и ${-1}$ из строки 3. Так как ${(-1)\cdot(-1)=1},$ знак минус перед определителем остаётся:

$$=-\begin{vmatrix}2&1&-1\\1&4&2\\1&2&1\end{vmatrix}$$

$={-(8+2-2+4-8-1)}={-3}$

Задача 6. Вычислите ${D=\begin{vmatrix}1&-2&3&2\\2&3&1&-1\\3&3&3&3\\-1&4&2&1\end{vmatrix}}.$

Решение: Все элементы строки 3 равны 3, поэтому вынесем 3 из строки 3:

$$D=3\begin{vmatrix}1&-2&3&2\\2&3&1&-1\\1&1&1&1\\-1&4&2&1\end{vmatrix}$$

Теперь строка 3 состоит из единиц. Преобразования ${C_1\to C_1-C_4},$ ${C_2\to C_2-C_4}$ и ${C_3\to C_3-C_4}$ оставляют в строке 3 только один ненулевой элемент, и мы раскладываем определитель по строке 3:

$$=3\begin{vmatrix}-1&-4&1&\textcolor{#aaa}{2}\\3&4&2&\textcolor{#aaa}{-1}\\\textcolor{#aaa}{0}&\textcolor{#aaa}{0}&\textcolor{#aaa}{0}&\textcolor{#c0392b}{1}\\-2&3&1&\textcolor{#aaa}{1}\end{vmatrix}$$ $$=3\cdot1\cdot(-1)^{3+4}\begin{vmatrix}-1&-4&1\\3&4&2\\-2&3&1\end{vmatrix}$$

По правилу Саррюса:

$={-3(-4+16+9+8+6+12)}={-3\cdot47}={-141}$

Не забудьте про множитель 3, вынесенный в самом начале.

Задача 7. Вычислите ${D=\begin{vmatrix}2&1&3&4\\1&3&4&2\\3&4&2&1\\4&2&1&3\end{vmatrix}}.$

Решение: Каждая строка и каждый столбец содержат числа 1, 2, 3 и 4, поэтому сумма элементов каждого столбца равна 10. Преобразование ${R_1\to R_1+R_2+R_3+R_4}$ даёт строку, все элементы которой равны 10, и мы выносим 10:

$$D=\begin{vmatrix}10&10&10&10\\1&3&4&2\\3&4&2&1\\4&2&1&3\end{vmatrix}$$ $$=10\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&3&4&2\\3&4&2&1\\4&2&1&3\end{vmatrix}$$

Выполним ${C_1\to C_1-C_4},$ ${C_2\to C_2-C_4}$ и ${C_3\to C_3-C_4},$ а затем разложим определитель по строке 1:

$$=10\begin{vmatrix}\textcolor{#aaa}{0}&\textcolor{#aaa}{0}&\textcolor{#aaa}{0}&\textcolor{#c0392b}{1}\\-1&1&2&\textcolor{#aaa}{2}\\2&3&1&\textcolor{#aaa}{1}\\1&-1&-2&\textcolor{#aaa}{3}\end{vmatrix}$$ $$=10\cdot1\cdot(-1)^{1+4}\begin{vmatrix}-1&1&2\\2&3&1\\1&-1&-2\end{vmatrix}$$

В последнем определителе строка 3 равна строке 1, умноженной на ${-1}.$ Пропорциональные строки дают 0:

$$=-10\cdot0=0$$

Задача 8. Докажите, что $\begin{vmatrix}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{vmatrix}=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).$

Решение: Обозначим через $D$ определитель в левой части. Сумма элементов каждой строки равна ${a+b+c}.$ Преобразование ${C_1\to C_1+C_2+C_3}$ записывает эту сумму в каждый элемент столбца 1, и мы выносим её за знак определителя:

$$D=\begin{vmatrix}a+b+c&b&c\\a+b+c&a&b\\a+b+c&c&a\end{vmatrix}$$ $$=(a+b+c)\begin{vmatrix}1&b&c\\1&a&b\\1&c&a\end{vmatrix}$$

Выполним ${R_2\to R_2-R_1}$ и ${R_3\to R_3-R_1},$ а затем разложим определитель по столбцу 1:

$$=(a+b+c)\begin{vmatrix}1&b&c\\0&a-b&b-c\\0&c-b&a-c\end{vmatrix}$$ $$=(a+b+c)\begin{vmatrix}a-b&b-c\\c-b&a-c\end{vmatrix}$$

Определитель 2×2 равен ${(a-b)(a-c)}-{(b-c)(c-b)}={a^2+b^2+c^2}-{ab-bc-ca,}$ поэтому $D$ равен произведению ${a+b+c}$ на это выражение, что и доказывает формулу.

Второй множитель равен

${\frac{1}{2}\left((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right),}$

поэтому он никогда не бывает отрицательным и равен 0 только при ${a=b=c}.$ Если раскрыть скобки во всём произведении, получится ${a^3+b^3+c^3-3abc}.$

Задача 9. Докажите, что $\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^2&b^2&c^2\end{vmatrix}=(b-a)(c-a)(c-b).$

Решение: Обозначим через $D$ определитель в левой части. Преобразования ${C_2\to C_2-C_1}$ и ${C_3\to C_3-C_1}$ дают два нуля в строке 1:

$$D=\begin{vmatrix}1&0&0\\a&b-a&c-a\\a^2&b^2-a^2&c^2-a^2\end{vmatrix}$$

Раскладываем определитель по строке 1:

$$=\begin{vmatrix}b-a&c-a\\b^2-a^2&c^2-a^2\end{vmatrix}$$

Так как ${b^2-a^2=(b-a)(b+a)}$ и ${c^2-a^2=(c-a)(c+a)},$ вынесем ${b-a}$ из столбца 1 и ${c-a}$ из столбца 2:

$$=(b-a)(c-a)\begin{vmatrix}1&1\\b+a&c+a\end{vmatrix}$$

$={(b-a)(c-a)(c+a-b-a)}={(b-a)(c-a)(c-b)}$

Это определитель Вандермонда. Он равен 0 тогда и только тогда, когда какие-то два из чисел $a,$ $b$ и $c$ равны.

Задачи для самостоятельного решения

Сначала попробуйте решить сами, затем откройте ответ.

1. Вычислите $\begin{vmatrix}7&3\\2&1\end{vmatrix}.$

${7\cdot1-3\cdot2=1}$

2. Вычислите $\begin{vmatrix}5&-2\\3&4\end{vmatrix}.$

${5\cdot4-(-2)\cdot3=26}$

3. Вычислите $\begin{vmatrix}2&1&3\\0&-1&4\\1&2&1\end{vmatrix}$ по правилу Саррюса.

${-2+4+0+3-16-0}={-11}$

4. Найдите алгебраические дополнения $C_{21}$ и $C_{32}$ матрицы $\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&10\end{pmatrix}.$

$C_{21}=-\begin{vmatrix}2&3\\8&10\end{vmatrix}=-(20-24)=4$ и $C_{32}=-\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}=-(6-12)=6.$

5. Вычислите $\begin{vmatrix}3&0&2\\1&0&5\\4&2&-1\end{vmatrix}$ разложением по столбцу 2.

Отличен от 0 только элемент ${a_{32}=2}\text{:}$ $2\cdot(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}3&2\\1&5\end{vmatrix}=-2\cdot13=-26.$

6. Объясните без вычислений, почему $\begin{vmatrix}2&4&6\\1&5&3\\3&6&9\end{vmatrix}=0.$

Столбец 3 равен столбцу 1, умноженному на 3. Определитель с двумя пропорциональными столбцами равен 0.

7. Вычислите $\begin{vmatrix}3&1&-2&7\\0&-2&5&1\\0&0&1&4\\0&0&0&5\end{vmatrix}.$

Матрица треугольная, поэтому определитель равен произведению диагональных элементов: ${3\cdot(-2)\cdot1\cdot5=-30}.$

8. Матрица $A$ имеет размер 4×4, и ${\det A=2}.$ Найдите ${\det(3A)},$ ${\det A^T},$ ${\det(A^{-1})}$ и ${\det(A^3)}.$

${\det(3A)=3^4\cdot2=162},$ ${\det A^T=2},$ ${\det(A^{-1})=\frac{1}{2}}$ и ${\det(A^3)=2^3=8}.$

9. Решите уравнение $\begin{vmatrix}1&2&3\\0&x&4\\0&0&x-2\end{vmatrix}=0.$

Определитель треугольный и равен ${1\cdot x\cdot(x-2)}.$ Он равен 0 при ${x=0}$ и при ${x=2}.$

10. Вычислите $\begin{vmatrix}1&2&0&1\\2&5&1&3\\-1&0&3&1\\3&6&1&5\end{vmatrix}.$

Преобразования ${R_2\to R_2-2R_1},$ ${R_3\to R_3+R_1},$ ${R_4\to R_4-3R_1},$ а затем ${R_3\to R_3-2R_2}$ и ${R_4\to R_4-R_3}$ дают треугольный определитель с диагональю 1, 1, 1, 2. Ответ: 2.

Свои примеры можно проверить с помощью матричного калькулятора. Он вычисляет определители с подробным решением: по правилу Саррюса, разложением по любой строке или любому столбцу или методом Гаусса.