Деление полиномов

Введение

Общий вид одночлена

f(x)=axⁿ, где:

-a - коэффициент, который может принадлежать любому из множеств N, Z, Q, R, C

-x - переменная

-n показатель степени, который принадлежит множеству N

Два одночлена подобны, если они имеют одну и ту же переменную и одинаковый показатель степени.

Примеры: 3x² и -5x²; ½x⁴ и 2√3x⁴

Сумма одночленов, не подобных друг другу, называется многочленом (или полиномом). В этом случае одночлены являются слагаемыми полинома. Полином, содержащий два слагаемых, называется биномом (или двучленом).
Пример: p(x)=3x²-5; h(x)=5x-1
Полином, содержащий три слагаемых, называется трехчленом.

Общий вид многочлена с одной переменной
p(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x¹ +a₀
где:

• a_n,a_n-1,a_n-2,...,a₁,a₀ - коэффициенты полинома. Они могут быть натуральными, целыми, рациональными, действительными или комплексными числами.
• a_n - коэффициент при слагаемом с наибольшим показателем степени (ведущий коэффициент)
• a₀ - коэффициент при слагаемом с наименьшим показателем степени (свободный член, или константа)
• n - степень полинома

Пример 1
p(x)=5x³-2x²+7x-1

• полином третьей степени с коэффициентами 5, -2, 7 и -1
• 5 - ведущий коэффициент
• -1 - свободный член
• x - переменная

Пример 2
h(x)=-2√3x⁴+½x-4

• полином четвертой степени с коэффициентами -2√3,½ и -4
• -2√3 - ведущий коэффициент
• -4 - свободный член
• x - переменная

Деление полиномов

p(x) и q(x) - два полинома:
p(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x¹ +a₀
q(x)=a_px^p+a_p-1x^p-1+...+a₁x¹ +a₀

Чтобы найти частное и остаток от деления p(x) на q(x), нужно использовать следующий алгоритм:

1. Степень p(x) должна быть больше либо равной степени q(x).
2. Мы должны записать оба полинома в порядке понижения степени. Если в p(x) нет члена с какой-либо степенью, его надо дописать с коэффициентом 0.
3. Ведущий член p(x) делится на ведущий член q(x), и результат записывается под разделительной линией (в знаменателе).
4. Умножаем полученный результат на все члены q(x) и записываем результат с противоположными знаками под членами p(x) с соответствующими степенями.
5. Складываем почленно слагаемые с одинаковыми степенями.
6. К результату приписываем оставшиеся члены p(x).
7. Делим ведущий член полученного полинома на первый член полинома q(x) и повторяем шаги 3-6.
8. Эта процедура повторяется до тех пор, пока вновь полученный полином не будет иметь меньшую степень, чем q(x). Этот полином будет являться остатком от деления.
9. Полином, записанный под разделительной линией, является результатом деления (частным).

Пример 1
Шаг 1 и 2) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$

Пример 2
p(x)=x⁴+3x²+2x-8
q(x)=x²-3x

Деление на полином первой степени

Это деление можно выполнить с использованием вышеупомянутого алгоритма или даже более быстрым образом, если воспользоваться методом Горнера.
Если f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1 +...+a₁x+a₀, полином можно переписать в виде f(x)=a₀+x(a₁+x(a₂+...+x(a_n-1+a_nx)...))

q(x) - полином первой степени ⇒ q(x)=mx+n
Тогда полином в частном будет иметь степень n-1.

По методу Горнера, $x_0=-\frac{n}{m}$.
b_n-1=a_n
b_n-2=x₀.b_n-1+a_n-1
b_n-3=x₀.b_n-2+a_n-2
...
b₁=x₀.b₂+a₂
b₀=x₀.b₁+a₁
r=x₀.b₀+a₀
где b_n-1x^n-1+b_n-2x^n-2+...+b₁x+b₀ - частное. Остатком будет полином нулевой степени, поскольку степень полинома в остатке должна быть меньше, чем степень делителя.
Деление с остатком ⇒ p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+r если $x_0=-\frac{n}{m}$
Отметим, что p(x₀)=0.c(x₀)+r ⇒ p(x₀)=r

Пример 3
p(x)=5x⁴-2x³+4x²-6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
x₀=3

b₃=5
b₂=3.5-2=13
b₁=3.13+4=43 ⇒ c(x)=5x³+13x²+43x+123; r=362
b₀=3.43-6=123
r=3.123-7=362
5x⁴-2x³+4x²-6x-7=(x-3)(5x³+13x²+43x+123)+362

Пример 4
p(x)=-2x⁵+3x⁴+x²-4x+1
q(x)=x+2
p(x)=-2x⁵+3x⁴+0x³+x²-4x+1
q(x)=x+2
x₀=-2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))

b₄=-2          b₁=(-2).(-14)+1=29
b₃=(-2).(-2)+3=7     b₀=(-2).29-4=-62
b₂=(-2).7+0=-14     r=(-2).(-62)+1=125
⇒ c(x)=-2x⁴+7x³-14x²+29x-62; r=125
-2x⁵+3x⁴+x²-4x+1=(x+2)(-2x⁴+7x³-14x²+29x-62)+125

Пример 5
p(x)=3x³-5x²+2x+3
q(x)=2x-1
$x_0=\frac{1}{2}$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
b₂=3
$b_1=\frac{1}{2}\cdot 3-5=-\frac{7}{2}$
$b_0=\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{7}{2}\right)+2=-\frac{7}{4}+2=\frac{1}{4}$
$r=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}+3=\frac{1}{8}+3=\frac{25}{8} \Rightarrow c(x)=3x^2-\frac{7}{2}x+\frac{1}{4}$
$\Rightarrow 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2--\frac{7}{2}x+\frac{1}{4})+\frac{25}{8}$
Вывод
Если мы делим на полином степени выше, чем один, для нахождения частного и остатка нужно воспользоваться алгоритмом 1-9.
Если мы делим на полином первой степени mx+n, то для нахождения частного и остатка нужно использовать метод Горнера с $x_0=-\frac{n}{m}$.
Если нас интересует только остаток от деления, достаточно найти p(x₀).
Пример 6
p(x)=-4x⁴+3x³+5x²-x+2
q(x)=x-1
x₀=1
r=p(1)=-4.1+3.1+5.1-1+2=5
r=5