Взаимосвязь между интегрированием и дифференцированием - часть 2

5.6 Обозначения Лейбница для первообразных

Вернемся теперь к дальнейшему изучению взаимосвязи между интегрированием и дифференцированием. Сначала обсудим некоторые обозначения, впервые введенные Лейбницем.

Мы определили первообразную $Р$ некоторой функции $f(x)$ как функцию, удовлетворяющую условию $P'(x) = f(x)$.

Если f непрерывна на интервале, то одна из первообразных выражается формулой
$P(x) = \int \limits_c^x f(t) dt$
и все другие первообразные отличаются от этой только на константу. Лейбниц использовал символ $\int f(x) dx$ для обозначения первообразной. В его обозначениях формула
(5.12)          $\int f(x) dx = P(x) + c$
является альтернативной формой записи выражения $P'(x) = f(x)$.

Например, поскольку производная синуса равна косинусу, мы можем записать
(5.13)            $\int cos x dx = sin x + C$
Аналогично, поскольку производной функции $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ является $x^n$,
(5.14)           $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
для любого рационального показателя степени n ≠ -1. Символом C обозначена произвольная константа, поэтому каждое из уравнений (5.13) и (5.14) на самом деле определяет семейство функций.
Несмотря на внешнее сходство, обозначение $\int f(x) dx$ имеет важное отличие от знака интегрирования $\int \limits_a^b f(x) dx$. Эти обозначения берут свое начало из двух абсолютно разных процессов - дифференцирования и интегрирования. Однако, поскольку теорема о производной интеграла по верхнему пределу связывает эти два действия, существуют соответствующие соотношения между двумя символами.
Теорема о производной интеграла по верхнему пределу говорит о том, что любой неопределенный интеграл является также первообразной. Следовательно, мы можем заменить P(x) в уравнении (5.12) на $\int f(t) dt$ с некоторым нижним пределом c и записать (5.12) в виде:
(5.15)            $\int f(x) dx = \int \limits_c^x f(t) dt + C$.
Это значит, что мы можем интерпретировать символ $\int f(x) dx$ как сумму некоторого неопределенного интеграла и константы.
Формула Ньютона-Лейбница утверждает, что если $P$ - первообразная, а $C$ - любая константа, то справедливо равенство:
$\int \limits_a^b f(x) dx = [P(x) + C]_a^b $
Если заменить $P(x) + C$ на $\int f(x) dx$, эта формула примет вид:
$\int \limits_a^b f(x) dx = \int f(x) dx |_a^b $
Две формулы(5.15) и (5.16) представляют собой математическую запись двух основных теорем математического анализа.
Исторически сложилось так, что во многих учебниках математического анализа выражение $\int f(x) dx$ называют "неопределенный интеграл", а не "первообразная". Частично это подтверждается уравнением (5.15), из которого следует, что $\int f(x) dx$ действительно является неопределенным интегралом (если не принимать во внимание константу C). По этой же причине во многих учебниках можно встретить подробные "таблицы неопределенных интегралов", хотя в действительности это таблицы первообразных. Для того, чтобы различать выражения $\int f(x) dx$ и $\int \limits_a^b f(x) dx$, последнее называют определенным интегралом. Поскольку формула Ньютона-Лейбница сводит задачу вычисления интеграла к задаче нахождения первообразной, выражение "техника интегрирования" применяется к методам нахождения первообразной. Эти термины широко используются в математической литературе, поэтому будут использоваться и в настоящей книге. Таким образом, например, если стоит задача "проинтегрировать" $\int f(x) dx$, нужно понимать, что это задача нахождения первообразной.

Для составления таблиц используются три основных подхода к нахождению интегралов, и эти подходы необходимо выучить любому, кто претендует на хорошее знание математического анализа. Этими подходами являются:

(1) интегрирование при помощи подстановки(будет описано в следующей главе), основанное на цепном правиле;

(2) интегрирование по частям, основанное на формуле дифференцирования произведения (будет описано в главе 5.9);

(3) интегрирование, использующее разложение на простые дроби.

Эти методы не только объясняют, как получены таблицы неопределенных интегралов, но и показывают, как некоторые выражения можно привести к виду, имеющемуся в таблицах.

5.7 Интегрирование при помощи подстановки

Пусть Q - суперпозиция двух функций $P$ и $g$, то есть $Q(x) = P[g(x)]$ для любого x на некотором интервале Z. Если мы знаем производную $P$, например, $P'(x) = f(x)$, цепное правило говорит, что производная Q выражается формулой $Q'(x) = P'[g(x)]g'(x)$. Поскольку $P' = f$, то $Q'(x) = f[g(x)]g'(x)$. Другими словами,
(5.17)       из $P'(x) = f(x)$ следует $Q'(x) = f[g(x)]g'(x)$.
В обозначениях Лейбница мы можем переписать эту формулу следующим образом. Если у нас есть формула интегрирования
(5.18)          $\int f(x) dx = P(x) + C$,
то справедлива также более общая формула
(5.19)          $\int f[g(x)]g'(x) dx = P[g(x)] + C$.
Например, если $f(x) = cos x$, то (5.18) справедливо, если $P(x) = sin x$, и (5.19) принимает вид
(5.20)          $\int cos g(x) . g'(x) dx = sin g(x) + C$.
Если теперь $g(x) = x^3$, то мы имеем
$cos x^3.3x^2dx = sin x^3 + C$,
Этот результат легко проверить, продифференцировав выражение $sin\ x^3$ (результат равен 3x²cos x³).
Теперь заметим, что общая формула (5.19) легко выводится из (5.18). Заменим $g(x)$ в (5.19) новой функцией $u$, а $g'(x)$ - производной $\frac{du}{dx}$ (обозначения Лейбница для производной). Тогда (5.19) принимает вид
$\int f(u) \frac{du}{dx} dx = P(u) + C$
Теперь логично заменить выражение (du/dv)dx на du. После этого последняя формула принимает вид
(5.21)          $\int f(u) du = P(u) + C$
Заметим, что она имеет такой же вид, как и (5.18), только $х$ везде заменили на $u$. Другими словами, из любой формулы интегрирования типа (5.18) можно вывести более общую формулу, используя подстановку. Мы заменили $x$ в (5.18) на $u$, чтобы получить (5.21), и теперь $u$ может представлять новую функцию от $x$, например, $u = g(x)$. Теперь вместо $du$ мы подставим выражение $g'(x) dx$, и уравнение (5.21) принимает вид (5.19).
Например, заменив $x$ на $u$ в формуле $\int cos x dx = sin x + C$, получаем
$\int cos u du = sin u + C$
Заменив u на $g(x)$ и $du$ на $g'(x)dx$, получаем выражение (5.20).
Когда этот алгоритм используется в обратном порядке, он и представляет собой метод интегрирования с помощью подстановки. Цель этого метода - записать интеграл со сложной подынтегральной функцией, например, $\int 3x^2 cos x^3 dx$, в более простом и знакомом виде, таком как $\int cos u du$. Этот метод применим тогда, когда исходный интеграл можно переписать в виде
$\int f[g(x)] g'(x) dx$
Тогда замена u = g(x), du = g'(x)dx,
дает нам $\int f(u) du$. Если нам удается вычислить интеграл $\int f(u) du$, мы получаем первообразную $P(u)$, и затем значение исходного интеграла получается подстановкой $g(x)$ вместо u в выражении для $P(u)$.
Читатель должен понимать, что обозначения dx и du не имеют здесь какого-то значения, они использованы формально для облегчения записи производимых преобразований. Каждый раз, когда мы повторяем этот процесс, мы фактически используем выражение (5.17).
Успех в применении этого метода зависит от умения быстро определить, какую часть подынтегрального выражения надо заменить на $u$, и умение это приходит с опытом решения большого количества задач на эту тему. Последующие примеры иллюстрируют применение этого метода на практике.

Пример 1. Вычислить интеграл $\int x^3 cos x^4 dx$.
Решение. Нашей целью является запись функции x³cosx⁴ в виде f[g(x)]g'(x) и подходящем выборе g. Поскольку cosx⁴ - суперпозиция функций, выберем f(x) = cosx и g(x) = x⁴, и cosx⁴ играет роль f [g(x)]. Такой выбор g дает g'(x) = 4x³, и f[g(x)]g'(x) = (cosx⁴) (4x³). Лишний множитель 4 не мешает, поскольку функцию можно просто разделить на 4. Тогда мы имеем
x³cosx⁴ = (cosx⁴)(4x³)/4 = {f[g(x)]g'(x)}/4.
Теперь выполним замену u = g(x) = x⁴, du = g'(x)dx = 4x³dx, тогда получим
$\int x^3 cos x^4 dx = \frac{1}{4} \int f(u) du = \frac{1}{4} \int cos u du = \frac{1}{4} sin u + C$
Возвращаясь обратно и заменяя u в ответе на x⁴, получаем окончательный результат:
$\int x^3 cos x^4 dx = \frac{1}{4} sin x^4 + C$
Этот результат легко проверить дифференцированием.
С приобретением опыта в решении таких задач можно некоторые вышеизложенные шаги проделывать в уме, тогда все решение будет выглядеть короче. Путь = x⁴. Тогда du = 4x³dx, и мы имеем
$\int x^3 cos x^4 dx = \frac{1}{4} \int (cos x^4) (4x^3 dx) = \frac{1}{4} \int cos u du = \frac{1}{4} sin u + C = \frac{1}{4} sin x^4 + C$
Отметим, что метод в этом примере работает, поскольку x³ имеет показатель степени на единицу меньше, чем показатель степени $x$ в выражении $cos x^4$.

Пример 2. Вычислить интеграл $\int cos^2 x sin x dx$.
Решение.
Пусть u = cos x. Тогда du = -sin x dx, и мы имеем
$\int cos^2 x sin x dx = - \int (cos x)^2 (-sin x dx) = - \int u^2 du = - \int u^2 du = - \frac{u^3}{3} + C = - \frac{cos^3 x}{3} + C$
Опять-таки, этот результат легко проверяется дифференцированием.

Пример 3. Вычислить $\int \limits_2^3 \frac{(x+1) dx}{\sqrt{x^2 + 2x +3}}$
Решение: Пусть u = x² + 2x + 3. Тогда du = (2x + 2)dx, и
$\frac{(x+1) dx}{\sqrt{x^2 + 2x +3}} = \frac{1}{2} \frac{du}{\sqrt{u}}$
Теперь мы должны вычислить новые пределы интегрирования. Когда x = 2, u = 11, и u = 18 при x = 3. Окончательно имеем:
$\int \limits_2^3 \frac{(x+1) dx}{\sqrt{x^2 + 2x +3}} = \frac{1}{2} \int \limits_{11}^{18} u^{-\frac{1}{2}} du = \sqrt{u}|_{11}^{18} = \sqrt{18} - \sqrt{11}$. К тому же результату мы могли бы придти, если бы выразили все через $x$.

Перейдем к доказательству общей теоремы, которая подтверждает алгоритм, использованный в примере 5.

Теорема 5.4. Теорема о замене переменный под знаком интеграла. Пусть g имеет непрерывную производную g' на открытом интервале I. Пусть J - множество значений, которые принимает g на I, и предположим, что f непрерывна на J. Тогда для любых x и c из I имеем
(5.22)            $\int \limits_c^x f[g(t)] g'(t) dt = \int \limits_{g(c)}^{g(x)} f(u) du$

Доказательство. Пусть a = g(c). Введем две новые функции P и Q таким образом:
$P(x) = \int \limits_a^x f(u) du$ если x находится в J
$Q(x) = \int \limits_c^x f[g(t)] g'(t) dt$ если x находится в I.
Поскольку $P$ и $Q$ - неопределенные интегралы от непрерывных функций, их производные выражаются формулами
P'(x) = f(x), Q'(x) = f[g(x)]g'(x).
Пусть R - суперпозиция функций, R(x) = P[g(x)]. По цепному правилу,
R'(x) = P'[g(x)]g'(x) = fg(x)g'(x) = Q'(x).
Применяя формулу Ньютона-Лейбница дважды, имеем
$\int \limits_{g(c)}^{g(x)} f(u) du = \int \limits_{g(c)}^{g(x)} P'(u) du = P[g(x)] - P[g(c)] = R(x) - R(c)$
и
$\int \limits_c^x f[g(t)] g'(t) dt = \int \limits_c^x Q'(t) dt = \int \limits_c^x R'(t) dt = R(x) - R(c)$
Это доказывает, что два интеграла в (5.22) равны.

5.8 Задачи.

В задачах 1 - 20 вычислите интегралы методом подстановки.

1. $\int \sqrt{2x+1} dx$
2. $\int x \sqrt{1+3x} dx$
3. $\int x^2 \sqrt{x+1} dx$
4. $\int \limits_{-\frac{2}{3}}^{\frac{1}{3}} \frac{x dx}{\sqrt{2 - 3x}}$
5. $\int \frac{(x+1) dx}{(x^2+2x+2)^3}$
6. $\int sin^3 x dx$
7. $\int z(z-1)^{\frac{1}{3}} dz$
8. $\int \frac{cos x dx}{sin^3 x}$
9. $\int \limits_0^{\frac{\pi}{4}} cos 2xsqrt{4-sin 2x} dx$
10. $\int \frac{sin x dx}{(3 + cos x)^2}$
11. $\int \frac{sin x dx}{\sqrt{cos^3 x}}$
12. $\int \limits_3^8 \frac{sin \sqrt{x+1} dx}{\sqrt{x+1}}$
13. $\int x^{n-1} sin x^n dx \qquad \qquad n \neq 0$
14. $\int \frac{x^5 dx}{\sqrt{1-x^6}}$
15. $\int t(1+t)^{\frac{1}{4}} dt$
16. $\int (x^2 + 1)^{-\frac{3}{2}} dx$
17. $\int x^2(8x^3 + 27)^{\frac{2}{3}} dx$
18. $\int \frac{(sin x + cos x) dx}{(sin x - cos x)^{\frac{1}{3}}}$
19. $\int \frac{x dx}{\sqrt{1+x^2+\sqrt{(1+x^2)^3}}}$
20. $\int \frac{(x^2 + 1 - 2x)^{\frac{1}{5}} dx}{1-x}$

21. Выведите формулы в теоремах 1.18 и 1.19 методом подстановки.

22. Пусть
$F(x,a) = \int \limits_0^x \frac{t^p}{(t^2+a^2)^q} dt$
где a > 0, и p и q - положительные целые числа. Покажите, что F(x, a) = a^{p + 1 - 2q}F(x/a, 1).

23. Если m и n - положительные целые числа, покажите, что
$\int \limits_0^1 x^m (1-x)^n dx = \int \limits_0^1 x^n(1-x)^m dx$

24. докажите, что $\int \limits_0^\pi xf(sin x) dx = \frac{\pi}{2} \int \limits_0^\pi f(sin x) dx \qquad \qquad [H\int: u=\pi - x]$

5.9 Интегрирование по частям.

Mы доказали, что производная произведения двух функций $f$ и $g$ выражается формулой
$h'(x) = f(x)g'(x) + f'(x)g(x)$,
где $h(x) =f(x)g(x)$. В обозначениях Лейбница для первообразных эта формула принимает вид: $\int f(x)g'(x) dx + \int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x) + C$, или
(5.23)           $\int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx + C$.
Это выражение дает нам новый способ интегрирования, известный как интегрирование по частям.
Для вычисления интеграла $\int k(x) dx$ с использованием (5.23) необходимо найти две функции $f$ и $g$ такие, что $k(x)$ можно записать в виде $f(x)g'(x)$. Если это удается сделать, то из (5.23) следует
$\int k(x)dx = f(x)g(x) - \int g(x)f'(x)dx + C$, и единственная сложность заключается теперь в вычислении $\int g(x) f'(x) dx$. Если f и g выбраны удачно, этот последний интеграл должен вычисляться проще, чем исходный. Иногда, применив (5.23) два или более раз, можно придти к интегралу, который легко посчитать или найти в таблице. Ниже будут приведены примеры, которые показывают преимущества этого метода. Для определенных интегралов (5.23) имеет вид
$\int \limits_a^b f(x) g'(x) dx = f(b)g(b) - f(a)g(a) - \int \limits_a^b f'(x) g(x) dx$
С введением обозначений u =f(x), u = g(x), du =f'(x) dx и dv = g'(x) dx формула интегрирования по частям принимает короткий вид, удобный для запоминания:
(5.24) $\int u dv = uv - \int v du + C$

Пример 1. Найти интеграл $\int x cos x dx$
Решение. Выберем f(x) = x и g'(x) = cos x. Тогда f'(x) = 1 и g(x) = sin x, и (5.23) принимает вид
(5.25)            $\int x cos x dx = x sin x - \int sin x dx + C = x sin x + cos x + C$.
Здесь второй интеграл мы уже вычислили раньше.
С использованием более краткой формы (5.24) мы имеем:
u = x,      dv = cosxdx,
du = dx,      v = _jcosxdx = sinx,
$\int x cos x dx = uv - \int v du = x sin x - \int sin x dx + C = x sin x + cos x +C$
Если бы мы выбрали  u = cos x и du = x dx, мы бы получили du = -sin x dx, v = x²/2, и из (5.24) 
$\int x cos x dx = \frac{1}{2} x^2 cos x - \frac{1}{2} \int x^2 (- sin x) dx + C = \frac{1}{2} x^2 cos x + \frac{1}{2} \int x^2 sin x dx + C$
Поскольку последний интеграл мы еще не вычисляли, этот выбор u и u не так удачен, как первый. Отметим однако, что мы можем разрешить последнее уравнение относительно $\int x^2 sin x dx = 2x sin x + 2 cos x - x^2 cos x + C$
Как приложение метода интегрирования по частям, сформулируем еще одну версию теоремы о среднем для интегралов (Теорема 3.16).

Теорема 5.5. Вторая теорема о среднем для интегралов. Пусть g непрерывна на [a, b], и f имеет производную, которая непрерывна и знакопостоянна на [a, b]. Тогда для некоторого c из [a, b] имеем
(5.28) $\int \limits_a^b f(x) g(x) dx = f(a) \int \limits_a^c g(x) dx + f(b) \int \limits_c^b g(x) dx$

Доказательство. Пусть $G(x) = \int \limits_a^x g(t) dt$. Поскольку g непрерывна, мы имеем G'(x) = g(x). Следовательно, после интегрирования по частям получаем:
(5.29)       $\int \limits_a^b f(x) g(x) dx = \int \limits_a^b f(x) G'(x) dx = f(b) G(b) - \int \limits_a^b f'(x) G(x) dx$
так как G(a) = 0. По теореме о среднем имеем:
$\int \limits_a^b f'(x) G(x) dx = G(c) \int \limits_a^b f'(x) dx = G(c) [f(b) - f(a)]$
для некоторого c из  [a, b]. Следовательно, (5.29) принимает вид
$\int \limits_a^b f(x) g(x) dx = f(b)G(b) - G(c)[f(b) - f(a)] = f(a)G(c) + f(b)[G(b) - G(c)]$
Это доказывает (5.28), так как $G(c) = \int \limits_a^c g(x) dx \qquad and \qquad G(b) - G(c) = \int \limits_c^b g(x) dx$.

5.10 Задачи

В задачах 1-6 вычислите интегралы интегрированием по частям

1. $\int sin^3 x dx = -\frac{3}{4} cos x + \frac{1}{12} cos 3x$
2. $\int sin^4 x dx = -\frac{3}{8} x - \frac{1}{4} sin 2x + \frac{1}{32} sin 4x$
3. $\int sin^5 x dx = -\frac{5}{8} x + \frac{5}{48} cos 3x - \frac{1}{80} cos 5x$

1. $\int x sin^2 x dx = \frac{1}{4} x^2 - \frac{1}{4} x sin 2x - \frac{1}{8} cos 2x$
2. $\int x sin^3 x dx = \frac{3}{4} sin x - \frac{1}{36} sin 3x - \frac{3}{4} x cos x + \frac{1}{12} x cos 3x$
3. $\int x^2 sin^2 x dx = \frac{1}{6} x^3 + ( \frac{1}{8} - \frac{1}{4} x^2) sin 2x - \frac{1}{4} x cos 2x$

*5.11 Задачи на повторение

1. Пусть f - полином, в котором f(0) = 1, и пусть g(x) = PJ'(x). Вычислите g(O), g'(O), . . . , g⁽ⁿ⁾(0).
2. Найдите полином P порядка ≤ 5 , в котором P(0) = 1,P(1) = 2,P'(0) = P''(0) = P'(1) = P''(1) = 0.
3. Если f(x) = cosx и g(x) = sinx, докажите, что
f⁽ⁿ⁾(x) = cos(x + nπ/2) и g⁽ⁿ⁾(x) = sin(x + nπ/2).
4. Если h(x) = f(x)g(x), докажите, что производная порядка n от h выражается формулой
$h^{(n)} (x) = \sum\limits_{k=0}^n {{n} \choose {k}} f^{(k)} (x) g^{(n-k)} (x)$
Это выражение называется формулой Лейбница.
5. даны функции f и g , производные которых, f' и g', удовлетворяют уравнениям
(5.30)           f'(x) = g(x),       g'(x) = -f(x), f(0) = 0, g(0) = 1,
для любого x из некоторого открытого интервала J , содержащего 0. Например, эти уравнения справедливы, когда f (x) = sinx и g(x) = cosx.
(a) Докажите, что f²(x) + g²(x) = 1 для любого x из J.
(b) Пусть F и G - еще одна пара функций, удовлетворяющих условиям (5.30). Докажите, что F(x) =f(x) и G(x) = g(x) для любого x из J. [Подсказка: Считать h(x) = [F(x) -,f(x>]² + [G(x) - g(x)]².]
(c) Что еще можно сказать о функциях f и g, удовлетворяющих (5.30)?
6. Функция f, определенная на всех положительных действительных числах, удовлетворяет уравнению f(x²) = x³ для любого x > 0. Найти f'(4).
7. Функция g, определенная на всех положительных действительных числах, удовлетворяет следующим двум условиям: g(1) = 1 и g'(x²) = x³ для любого x > 0. Вычислить g(4).
8. Пусть C₁ и C₂ - две кривые, проходящие через начало координат, как показано на рисунке 5.2. Скажем, что кривая C является "биссектрисой" области между C₁ и C₂, если для любой точки P на C площади двух заштрихованных областей A и B равны (см. рисунок). Определите верхнюю кривую C₂, зная, что "биссектриса" C описывается уравнением y = x², а нижняя кривая C₁ - уравнением y = x²/2.

В задачах 11 - 20 необходимо вычислить интегралы. Попытайтесь упростить преобразования, используя метод подстановки и/или метод интегрирования по частям там, где это возможно.

11. $\int (2 + 3x) sin 5x dx$
12. $\int x \sqrt{1 + x^2} \ dx$
13. $\int\limits_{-2}^1 x (x^2 - 1)^9 \ dx$
14. $\int\limits_0^1 \frac{2x + 3}{(6x + 7)^3} \ dx$
15. $\int x^4 (1 + x^5)^5 \ dx$
16. $\int \limits_0^1 x^4 (1 - x)^{20} \ dx$
17. $\int \limits_1^2 x^{-2} \sin \frac{1}{x} \ dx$
18. $\int \sin \sqrt[4]{x-1} \ dx$
19. $\int x \sin x^2 \cos x^2 \ dx$
20. $\int \sqrt{1 + 3 \cos^2 x} \sin 2x \ dx$

28. $\int \frac{\sqrt{a + bx}}{x} \ dx = 2 \sqrt{a + bx} + a \int \frac{dx}{x \sqrt{a + bx}} + C$
29. $\int x^n \sqrt{ax + b} \ dx = \frac{2}{a (2n + 3)} \left( x^n (ax + b)^{\frac{3}{2}} - nb \int x^{n-1} \sqrt{ax + b} \ dx \right) + C \qquad ( n \neq -\frac{3}{2})$
30. $\int \frac{x^m}{\sqrt{a + bx}} \ dx = \frac{2}{ (2m + 1)b} \left( x^m \sqrt{a + bx} - ma \int \frac{x^{m-1}}{ \sqrt{a + bx}} \ dx \right) + C \qquad ( m \neq -\frac{1}{2})$
31. $\int \frac{dx}{x^n \sqrt{ax + b}} = - \frac{\sqrt{ax + b}}{(n-1) b x^{n-1}} - \frac{(2n - 3)a}{(2n - 2)b} \int \frac{dx}{x^{n-1} \sqrt{ax + b}} + C \qquad (n \neq 1)$
32. $\int \frac{\cos^m x}{\sin^n x} \ dx = \frac{\cos^{m-1} x}{(m - n) \sin^{n-1} x} + \frac{m - 1}{m - n} \int \frac{\cos^{m-2} x}{\sin^n x} \ dx + C \qquad (m \neq n)$
33. $\int \frac{\cos^m x}{\sin^n x} \ dx = \frac{\cos^{m+1} x}{(n - 1) \sin^{n-1} x} - \frac{m - n + 2}{n - 1} \int \frac{\cos^m x}{\sin^{n-2} x} \ dx + C \qquad (n \neq 1)$

34. (a) Найдите полином $P(x)$ такой, что $P'(x) - 3P(x) = 4 - 5x + 3x^2$. Докажите, что существует только одно решение.
(b) Если Q(x) - известный полином, докажите, что существует один и только один полином P(x) такой, что P'(x) - 3P(x) = Q(x).
35.Последовательность полиномов, известная как полиномы Бернулли, определена следующим образом:
P,(x) = 1; P'_n(x) = nP_{n - 1}(x) и $\int \limits_0^1 P_n (x) dx = 0$, если n ≥ 1.
(a) Найдите неявные формулы для P₁(x), P₂(x), . . . , P₅(x).
(b) Докажите методом математической индукции, что P_n(x) - полином от x степени n, и xⁿ - член самой высокой степени.
(c) Докажите, что P_n(O) = P_n(1), если n ≥ 2.
(d) Докажите, что P_n(x + 1) - P_n(x) = nx^{n - 1} , если n ≥ 1.
(e) Докажите, что для n ≥ 2 справедливо равенство
$\sum \limits_{r=1}^{k-1} r^n = \int \limits_0^k P_n (x) dx = \frac{P_{n+1}(k) - P_{n+1}(0)}{n + 1}$
Докажите, что P_n(1 - x) = (-1)ⁿP_n(x), если n ≥ 1.
(g) Докажите, что P_{2n + 1}(0) = 0 и P_{2n - 1}(1/2) = 0, если n ≥ 1.
36. Предположим, что |f''(x)| ≤ m для любого x из интервала [0, a], и пусть f принимает свое максимальное значение во внутренней точке этого интервала. Покажите, что |f'(0)| + |f'(a)| ≤ am. Можно предполагать, что f'' непрерывна в [0, a].