Производные, дифференциалы

Определение производной

Если y = f(x), производная функции y или f(x) по отношению к x определяется как
13.1           
где h = Δx. Производная также обозначается как y', df/dx от f'(x). Процесс взятия производной называется дифференцированием.

Общие правила дифференцирования

В нижеследующем u, v, w есть функции x; a, b, c, n - константы [ограниченные, если указано]; e = 2.71828... есть натуральная основа логарифмов; ln u - натуральный логарифм u [т.е. логарифм по основанию е] где предполагается, что u > 0 и все углы - в радианах.

Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций

Производные экспоненциальных и логарифмических функций

Производные гиперболических и обратных гиперболических функций

Высшие производные

Вторая, третья и более высокие производные определяется следующим образом.
13.43 Вторая производная = (d/dx).(dy/dx) = d²y/dx² = f''(x) = y ''
13.44 Третья производная = (d/dx).(d²y/dx²) = d³/dx³ = f'''(x) = y'''
13.45 n-ая производная = (d/dx).(d^{n - 1}/dx^{n - 1}) = dⁿ/dxⁿ = f⁽ⁿ⁾(x) = y⁽ⁿ⁾

Правило Лейбница для высших производных произведения

Пусть D^p с оператором d^p/dx^p так, что D^P u = d^pu/dx^p = p-ый дериватив u. Тогда
13.46       
где есть биномиальные коэффициенты.

Как особый случай, мы имеем
13.47        
13.48        

Дифференциалы

Пусть y = f(x) и Δy = f(x + Δx) - f(x). Тогда
13.49          Δy/Δx = [f(x + Δx) - f(x)]/Δx = f'(x) + ε = dy/dx + ε
где ε → 0 когда Δx → 0. Таким образом,
13.50          Δy = f'(x)Δx + εΔx
Если мы назовем Δx = dx дифференциалом x, тогда мы определяем дифференциал y как
13.51        dy = f'(x)dx

Правила для дифференциалов

Правила для дифференциалов аналогичны правилам для производных. В качестве примера отметим, что

Частные производные

Пусть f(x, y) будет функцией двух переменных x и y. Тогда мы определяем частную производную f(x, y) по x, сохраняя у постоянным, как
13.58        
Подобно, частная производная f(x, y) по y, сохраняя x постоянным, будет
13.59       
Частные производные высших порядков могут быть определены следующим образом.
13.60        
13.61       
Результаты в 13.61 будут равны, если функция и ее частные производные являются непрерывными, т.е. в этом случае порядок дифференцирования не имеет значения.

Дифференциал f(x, y) определяется как
13.62          
где dx = Δx и dy = Δy.

Применение к функциям, имеющим более чем две переменные, в точности аналогично.