Производные, дифференциалы

Определение производной

Если $y = f(x)$, то производная функции $y$, или $f(x)$, по $x$ определяется как

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

где $h = \Delta x$. Производная также обозначается как $y'$, $\frac{df}{dx}$ или $f'(x)$. Процесс взятия производной называется дифференцированием.

Общие правила дифференцирования

Ниже $u, v, w$ — функции от $x$; $a, b, c, n$ — константы [с ограничениями, если они указаны]; $e = 2{,}71828\ldots$ — основание натуральных логарифмов; $\ln u$ — натуральный логарифм $u$ [т.е. логарифм по основанию $e$], где предполагается, что $u > 0$, а все углы измеряются в радианах.

$\displaystyle \frac{d}{dx}(c) = 0$

$\displaystyle \frac{d}{dx}(cx) = c$

$\displaystyle \frac{d}{dx}(cx^n) = ncx^{n-1}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}(u \pm v \pm w \pm \cdots) = \frac{du}{dx} \pm \frac{dv}{dx} \pm \frac{dw}{dx} \pm \cdots$

$\displaystyle \frac{d}{dx}(cu) = c\frac{du}{dx}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}(uvw) = uv\frac{dw}{dx} + uw\frac{dv}{dx} + vw\frac{du}{dx}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\,(du/dx) - u\,(dv/dx)}{v^2}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}(u^n) = nu^{n-1}\frac{du}{dx}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx}$ (цепное правило)

$\displaystyle \frac{du}{dx} = \frac{1}{dx/du}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy/du}{dx/du}$

Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций

$\displaystyle \frac{d}{dx}\sin u = \cos u\,\frac{du}{dx}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\cos u = -\sin u\,\frac{du}{dx}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\operatorname{tg} u = \sec^2 u\,\frac{du}{dx}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\operatorname{ctg} u = -\operatorname{cosec}^2 u\,\frac{du}{dx}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\sec u = \sec u\,\operatorname{tg} u\,\frac{du}{dx}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\operatorname{cosec} u = -\operatorname{cosec} u\,\operatorname{ctg} u\,\frac{du}{dx}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\arcsin u = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}\,\frac{du}{dx}$ $\left[-\frac{\pi}{2} \lt \arcsin u \lt \frac{\pi}{2}\right]$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\arccos u = \frac{-1}{\sqrt{1 - u^2}}\,\frac{du}{dx}$ $[0 \lt \arccos u \lt \pi]$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\operatorname{arctg} u = \frac{1}{1 + u^2}\,\frac{du}{dx}$ $\left[-\frac{\pi}{2} \lt \operatorname{arctg} u \lt \frac{\pi}{2}\right]$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\operatorname{arcctg} u = \frac{-1}{1 + u^2}\,\frac{du}{dx}$ $[0 \lt \operatorname{arcctg} u \lt \pi]$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\operatorname{arcsec} u = \frac{1}{|u|\sqrt{u^2 - 1}}\,\frac{du}{dx} = \frac{\pm 1}{u\sqrt{u^2 - 1}}\,\frac{du}{dx}$ $\left[\begin{array}{ll} + & \text{при } u > 1 \\ - & \text{при } u \lt -1 \end{array}\right]$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\operatorname{arccosec} u = \frac{-1}{|u|\sqrt{u^2 - 1}}\,\frac{du}{dx} = \frac{\mp 1}{u\sqrt{u^2 - 1}}\,\frac{du}{dx}$ $\left[\begin{array}{ll} - & \text{при } u > 1 \\ + & \text{при } u \lt -1 \end{array}\right]$

Производные экспоненциальных и логарифмических функций

$\displaystyle \frac{d}{dx}\log_a u = \frac{\log_a e}{u}\,\frac{du}{dx}$ $a > 0,\ a \ne 1$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\ln u = \frac{d}{dx}\log_e u = \frac{1}{u}\,\frac{du}{dx}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}a^u = a^u \ln a\,\frac{du}{dx}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}e^u = e^u\,\frac{du}{dx}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}u^v = \frac{d}{dx}e^{v\ln u} = e^{v\ln u}\,\frac{d}{dx}[v\ln u] = vu^{v-1}\frac{du}{dx} + u^v \ln u\,\frac{dv}{dx}$

Производные гиперболических и обратных гиперболических функций

$\displaystyle \frac{d}{dx}\operatorname{sh} u = \operatorname{ch} u\,\frac{du}{dx}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\operatorname{ch} u = \operatorname{sh} u\,\frac{du}{dx}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\operatorname{th} u = \operatorname{sch}^2 u\,\frac{du}{dx}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\operatorname{cth} u = -\operatorname{csch}^2 u\,\frac{du}{dx}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\operatorname{sch} u = -\operatorname{sch} u\,\operatorname{th} u\,\frac{du}{dx}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\operatorname{csch} u = -\operatorname{csch} u\,\operatorname{cth} u\,\frac{du}{dx}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\operatorname{arsh} u = \frac{1}{\sqrt{u^2 + 1}}\,\frac{du}{dx}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\operatorname{arch} u = \frac{\pm 1}{\sqrt{u^2 - 1}}\,\frac{du}{dx}$ $\left[\begin{array}{ll} + & \text{при } \operatorname{arch} u > 0 \\ - & \text{при } \operatorname{arch} u \lt 0 \end{array}\right],\ \allowbreak {u > 1}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\operatorname{arth} u = \frac{1}{1 - u^2}\,\frac{du}{dx}$ $[-1 \lt u \lt 1]$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\operatorname{arcth} u = \frac{1}{1 - u^2}\,\frac{du}{dx}$ $[u > 1 \text{ или } u \lt -1]$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\operatorname{arsch} u = \frac{\mp 1}{u\sqrt{1 - u^2}}\,\frac{du}{dx}$ $\left[\begin{array}{ll} - & \text{при } \operatorname{arsch} u > 0 \\ + & \text{при } \operatorname{arsch} u \lt 0 \end{array}\right],\ \allowbreak {0 \lt u \lt 1}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\operatorname{arcsch} u = \frac{-1}{|u|\sqrt{1 + u^2}}\,\frac{du}{dx} = \frac{\mp 1}{u\sqrt{1 + u^2}}\,\frac{du}{dx}$ $[-\text{ при } u > 0,\ +\text{ при } u \lt 0]$

Высшие производные

Вторая, третья и более высокие производные определяются следующим образом.

Вторая производная $\displaystyle = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d^2y}{dx^2} = f''(x) = y''$

Третья производная $\displaystyle = \frac{d}{dx}\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right) = \frac{d^3y}{dx^3} = f'''(x) = y'''$

$n$-я производная $\displaystyle = \frac{d}{dx}\left(\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}\right) = \frac{d^ny}{dx^n} = f^{(n)}(x) = y^{(n)}$

Правило Лейбница для высших производных произведения

Пусть $D^p$ обозначает оператор $\dfrac{d^p}{dx^p}$, так что $D^p u = \dfrac{d^pu}{dx^p}$ — $p$-я производная функции $u$. Тогда

$\displaystyle D^n(uv) = uD^nv + \binom{n}{1}(Du)(D^{n-1}v) + \binom{n}{2}(D^2u)(D^{n-2}v) + \cdots + vD^nu$

где $\dbinom{n}{1}, \dbinom{n}{2}, \ldots$ — биномиальные коэффициенты.

В частности,

$\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}(uv) = u\frac{d^2v}{dx^2} + 2\frac{du}{dx}\frac{dv}{dx} + v\frac{d^2u}{dx^2}$

$\displaystyle \frac{d^3}{dx^3}(uv) = u\frac{d^3v}{dx^3} + 3\frac{du}{dx}\frac{d^2v}{dx^2} + 3\frac{d^2u}{dx^2}\frac{dv}{dx} + v\frac{d^3u}{dx^3}$

Дифференциалы

Пусть $y = f(x)$ и $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$. Тогда

$\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = f'(x) + \varepsilon = \frac{dy}{dx} + \varepsilon$

где $\varepsilon \to 0$ при $\Delta x \to 0$. Таким образом,

$\Delta y = f'(x)\,\Delta x + \varepsilon\,\Delta x$

Если мы назовем $\Delta x = dx$ дифференциалом $x$, то дифференциал $y$ определяется как

$dy = f'(x)\,dx$

Правила для дифференциалов

Правила для дифференциалов аналогичны правилам для производных. В качестве примера отметим, что

$d(u \pm v \pm w \pm \cdots) = du \pm dv \pm dw \pm \cdots$

$d(uv) = u\,dv + v\,du$

$\displaystyle d\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\,du - u\,dv}{v^2}$

$d(u^n) = nu^{n-1}\,du$

$d(\sin u) = \cos u\,du$

$d(\cos u) = -\sin u\,du$

Частные производные

Пусть $f(x, y)$ — функция двух переменных $x$ и $y$. Тогда частная производная $f(x, y)$ по $x$ при постоянном $y$ определяется как

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}$

Аналогично, частная производная $f(x, y)$ по $y$ при постоянном $x$ определяется как

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x, y + \Delta y) - f(x, y)}{\Delta y}$

Частные производные высших порядков могут быть определены следующим образом.

$\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right),$ $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)$

$\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right),$ $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)$

Смешанные производные $\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}$ и $\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ будут равны, если функция и ее частные производные непрерывны, т.е. в этом случае порядок дифференцирования не имеет значения.

Дифференциал $f(x, y)$ определяется как

$\displaystyle df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy$

где $dx = \Delta x$ и $dy = \Delta y$.

Обобщение на функции более чем двух переменных в точности аналогично.