Формулы из аналитической геометрии на плоскости

Расстояние $d$ между двумя точками$P_1(x_1 \textrm{ , } y_1)$ и $P_2(x_2 \textrm{ , } y_2)$

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Наклон $m$ линии, соединяющей две точки $P_1(x_1 \textrm{ , } y_1)$ и $P_2(x_2 \textrm{ , } y_2)$

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \textrm { tan } \theta$

Уравнение линии, соединяющей две точки $P_1(x_1 \textrm{ , } y_1)$ и $P_2(x_2 \textrm{ , } y_2)$

$\frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - y_1} = m$
или
$y - y_1 = m(x - x_1) \\ y = mx + b$

где $b = y_1 - mx_1 = \frac{x_2y_1 - x_1y_2}{x_2 - x_1}$ пересечение на $y$ оси, т.e. $y$ пересечение.

Уравнение линии в условиях $x$ пересекает $a \ne 0$и $y$ пересекает $b \ne 0$

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

Нормальная форма уравнения линии

$x \textrm{ cos } \alpha + y \textrm{ sin } \alpha = p$
где $p$ = перпендикулярное расстояние от центра $O$ к линии
и $\alpha$ = Угол наклона перпендикуляра с положительной $x$ осью.

Общее уравнение линии

$Ax + By + C = 0$

Расстояние от точки $(x_1 \textrm{ , } y_1)$ к линии $Ax + By + C = 0$

$\frac{Ax_1 + By_1 + C}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}}$
где знак выбирается так, что расстояние не отрицательно.

Угол $\psi$ между двумя линиями, имеющими наклоны $m_1$ и $m_2$

$\textrm{ tan } \psi = \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1m_2}$
Линии параллельны или совпадают тогда и только тогда, когда $m_1 = m_2$
Линии перпендикулярны тогда и только тогда, когда $m_2 = -\frac{1}{m_1}$

Площадь треугольника с вершинами в $(x_1 \textrm{ , } y_1) \textrm{ , } (x_2 \textrm{ , } y_2) \textrm{ , } (x_3 \textrm{ , } y_3)$

Площадь
$ = \pm \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|$
$= \pm \frac{1}{2} ( x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1 - x_1y_3 - x_2y_1 - x_3y_2 )$
где знак выбран так, что площадь является неотрицательной. Если площадь равна нулю, все точки лежат на одной прямой.