Геометрия

Формулы треугольника

В треугольнике $ABC$ стороны ${a=BC},$ ${b=CA},$ ${c=AB},$ а углы при вершинах — $\alpha,$ $\beta$ и $\gamma.$ $R$ и $r$ — радиусы описанной и вписанной окружностей, ${p=\frac{a+b+c}{2}}$ — полупериметр.

Соотношения в треугольнике

Правило	Формула
Сумма углов	${\alpha+\beta+\gamma=180^\circ}$
Неравенство треугольника	${|b-c|\lt a\lt b+c}$
Теорема косинусов	${a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha}$ ${b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta}$ ${c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma}$
Теорема синусов	${\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R}$

Медиана

Правило	Формула
Длины медиан	${m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}$ ${m_b=\frac12\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}$ ${m_c=\frac12\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}$
Точка пересечения медиан	Медианы пересекаются в одной точке $G,$ которая делит каждую из них в отношении ${2:1},$ считая от вершины: ${AG:GA_1=2:1}$

Подробнее в уроке Медиана треугольника.

Биссектриса

Правило	Формула
Свойство биссектрисы	${\frac{a}{b}=\frac{m}{n}}$ — биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам
Длина биссектрисы	${l^2=ab-mn}$

Прямоугольный треугольник

Здесь ${\gamma=90^\circ},$ $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза, ${h=CH}$ — высота, проведённая к гипотенузе, а ${a_c=HB}$ и ${b_c=AH}$ — проекции катетов на гипотенузу.

Правило	Формула
Теорема Пифагора	${c^2=a^2+b^2}$
Площадь	${S=\frac{ab}{2}=\frac{ch}{2}}$
Катет и его проекция	${a^2=c\cdot a_c},$ ${b^2=c\cdot b_c}$
Высота к гипотенузе	${h^2=a_c\cdot b_c},$ ${h=\frac{ab}{c}}$
Тригонометрические функции	${\sin\alpha=\frac{a}{c}},$ ${\cos\alpha=\frac{b}{c}},$ ${\operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{b}},$ ${\operatorname{ctg}\alpha=\frac{b}{a}}$
Радиусы	${R=\frac{c}{2}},$ ${r=\frac{a+b-c}{2}}$

Подробнее в уроке Треугольники.

Формулы площади

Площадь треугольника

Правило	Формула
Сторона и высота к ней	${S=\frac{c\cdot h_c}{2}}$
Две стороны и угол между ними	${S=\frac12ab\sin\gamma}$
Формула Герона	${S}={\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$
Через радиус вписанной окружности	${S=p\cdot r}$
Через радиус описанной окружности	${S=\frac{abc}{4R}}$

Площадь параллелограмма

Правило	Формула
Сторона и высота к ней	${S=a\cdot h_a=b\cdot h_b}$ — на рисунке ${S=AB\cdot DE=BC\cdot DF}$
Две стороны и угол между ними	${S=ab\sin\alpha}$
Прямоугольник и квадрат	${S=ab},$ ${S=a^2}$

Площадь четырёхугольника

Правило	Формула
Выпуклый четырёхугольник (в том числе параллелограмм)	${S=\frac12d_1d_2\sin\varphi},$ $\varphi$ — угол между диагоналями
Ромб, квадрат и любой четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями	${S=\frac{d_1d_2}{2}}$
Трапеция с основаниями $a,$ $b$ и высотой $h$	${S=\frac{a+b}{2}\cdot h}$

Площадь описанного многоугольника

Правило	Формула
Многоугольник, описанный около окружности радиуса $r$	${S=p\cdot r=\frac{P\cdot r}{2}},$ $P$ — периметр, $p$ — полупериметр

Окружность и круг

Правило	Формула
Длина окружности	${C=2\pi r}$
Площадь круга	${S=\pi r^2}$
Длина дуги с центральным углом $\alpha^\circ$	${\ell=\frac{\pi r\alpha}{180}}$
Площадь кругового сектора с центральным углом $\alpha^\circ$	${S=\frac{\pi r^2\alpha}{360}}$