Ранг матрицы

Каталин Дэвид

Рангом матрицы из m строк и n столбцов называется число r, обладающее следующими свойствами:

• r меньше или равно наименьшему из чисел m и n.
• r равно наивысшему из порядков ненулевых миноров этой матрицы.

Вычисление ранга матрицы

• Выбираем ненулевой элемент матрицы.
• Перебираем миноры второго порядка, содержащие этот элемент, пока не найдем минор, отличный от нуля.
• Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы равен 1.
• Если существует хотя бы один ненулевой минор второго порядка, перебираем «содержащие» его миноры третьего порядка (окаймляющие миноры), пока не будет найден хотя бы один ненулевой минор.
• Если все миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен 2.
• Если существует хотя бы один ненулевой минор третьего порядка, перебираем окаймляющие его миноры четвертого порядка, пока не будет найден хотя бы один ненулевой минор.
• Продолжаем этот процесс, пока порядок миноров не достигнет наименьшего из чисел m и n.

Пример 42
$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\ 3 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

Матрица имеет 2 строки и 3 столбца, следовательно, ее наибольший возможный ранг равен 2. Выбираем ненулевой элемент матрицы.

$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & 2 & 4\\ 3 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

Составляем минор второго порядка, содержащий 1.
$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{2} & 4\\ \color{red}{3} & \color{red}{6} & 5 \end{pmatrix}$

Вычисляем этот минор.
$\begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{2}\\ \color{red}{3} & \color{red}{6} \end{vmatrix}=6 - 6 = 0$

Составляем другой минор второго порядка, содержащий 1. $A=\begin{pmatrix} \color{blue}{1} & 2 & \color{blue}{4}\\ \color{blue}{3} & 6 & \color{blue}{5} \end{pmatrix}$

Вычисляем этот минор.
$\begin{vmatrix} \color{blue}{1} & \color{blue}{4}\\ \color{blue}{3} & \color{blue}{5} \end{vmatrix}= 5 - 12 = -7 \neq 0.$

Ранг равен 2.

Пример 43
$B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ \end{pmatrix}$

Выбираем ненулевой элемент матрицы.
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & \color{red}{1} & 1 \end{pmatrix}$

Вычисляем миноры второго порядка, содержащие этот элемент. $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ \color{red}{1} & \color{red}{1} & 1\\ \color{red}{1} & \color{red}{1} & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{1} \\ \color{red}{1} & \color{red}{1} \end{vmatrix}=0 $ (поскольку он имеет две одинаковых строки)

Все остальные миноры второго порядка равны нулю, так как они все идентичны. В данном случае ранг матрицы равен 1.

Пример 44
$B=\begin{pmatrix} 3 & 8 & 2\\ 2 & 1 & 1\\ 5 & 3 & 4\\ 7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

Матрица имеет 4 строки и 3 столбца, следовательно, ее наибольший возможный ранг равен 3.

Выбираем ненулевой элемент матрицы.
$\begin{pmatrix} 3 & 8 & 2\\ 2 & 1 & 1\\ 5 & 3 & \color{red}{4}\\ 7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

Вычисляем минор второго порядка, содержащий 4.
$ \begin{pmatrix} 3 & 8 & 2\\ 2 & \color{red}{1} & \color{red}{1}\\ 5 & \color{red}{3} & \color{red}{4}\\ 7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{1}\\ \color{red}{3} & \color{red}{4}\\ \end{vmatrix} = 4 - 3 = 1$

Составляем минор третьего порядка, окаймляющий предыдущий минор. $\begin{pmatrix} 3 & 8 & 2\\ \color{red}{2} & \color{red}{1} & \color{red}{1}\\ \color{red}{5} & \color{red}{3} & \color{red}{4}\\ \color{red}{7} & \color{red}{4} & \color{red}{5} \end{pmatrix}$

Вычисляем этот минор.
$\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{1} & \color{red}{1}\\ \color{red}{5} & \color{red}{3} & \color{red}{4}\\ \color{red}{7} & \color{red}{4} & \color{red}{5} \end{pmatrix}=0 $ because $ R_{1}+R_{2}=R_{3}$

Вычисляем другой минор третьего порядка, окаймляющий предыдущий минор.
$\begin{pmatrix} \color{blue}{3} & \color{blue}{8} & \color{blue}{2}\\ \color{blue}{2} & \color{blue}{1} & \color{blue}{1}\\ \color{blue}{5} & \color{blue}{3} & \color{blue}{4}\\ 7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} \color{blue}{3} & \color{blue}{8} & \color{blue}{2}\\ \color{blue}{2} & \color{blue}{1} & \color{blue}{1}\\ \color{blue}{5} & \color{blue}{3} & \color{blue}{4} \end{vmatrix} =$ $12 + 12 +40 -10 -9 -64 =-19 \neq 0 $
Ранг матрицы равен 3.

Пример 45
$D=\begin{pmatrix} 1 & 5 & 1 & 6\\ 2 & 3 & 2 & 5\\ 6 & 1 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

D - матрица из 3 строк и 4 столбцов, так что ее наибольший возможный ранг равен 3.

Выбираем ненулевой элемент матрицы.
$\begin{pmatrix} 1 & \color{red}{5} & 1 & 6\\ 2 & 3 & 2 & 5\\ 6 & 1 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

Составляем минор второго порядка, содержащий 5.
$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{5} & 1 & 6\\ \color{red}{2} & \color{red}{3} & 2 & 5\\ 6 & 1 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 2 & 3 \end{vmatrix}= 3 - 10 = -7 \neq 0$

Составляем минор третьего порядка, окаймляющий предыдущий минор.
$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{5} & \color{red}{1} & 6\\ \color{red}{2} & \color{red}{3} & \color{red}{2} & 5\\ \color{red}{6} & \color{red}{1} & \color{red}{6} & 7 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{5} & \color{red}{1}\\ \color{red}{2} & \color{red}{3} & \color{red}{2}\\ \color{red}{6} & \color{red}{1} & \color{red}{6} \end{vmatrix} = 0 $ (поскольку два столбца равны)

Тогда составляем другой минор третьего порядка, окаймляющий ненулевой минор второго порядка.
$\begin{pmatrix} \color{blue}{1} & \color{blue}{5} & 1 & \color{blue}{6}\\ \color{blue}{2} & \color{blue}{3} & 2 & \color{blue}{5}\\ \color{blue}{6} & \color{blue}{1} & 6 & \color{blue}{7} \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} \color{blue}{1} & \color{blue}{5} & \color{blue}{6}\\ \color{blue}{2} & \color{blue}{3} & \color{blue}{5}\\ \color{blue}{6} & \color{blue}{1} & \color{blue}{7} \end{pmatrix} = 0, $ потому что $ C_{1} + C_{2}=C_{3}$

Поскольку все миноры третьего порядка равны нулю, ранг матрицы D равен 2.