МенюСферический треугольник
Сферический треугольник ABC расположен на поверхности сферы как показано на рисунках.
Стороны a, b, c (являющиеся дугами больших кругов) измеряются величинами опирающихся на них центральных углов.
A, B, C есть углами, противоположными сторонам a, b, c соответственно.
Площадь сферического треугольника $ABC = (A + B + C - \pi)R^2$
где R - радиус сферы.
Отношение между сторонами и углами сферического треугольника
Правило синусов
$\frac{\sin a}{\sin A} = \frac{\sin b}{\sin B} = \frac{\sin c}{\sin C}$
Правило косинусов
cos a = cos b ⋅ cos c + sin b ⋅ sin c ⋅ cos A
cos A = - cos B ⋅ cos C + sin B ⋅ sin C ⋅ cos a
с подобными результатами при использовании других сторон и углов.
Правило тангенсов
$\frac{\text{tg}(\frac{A + B}{2})}{\text{tg}(\frac{A - B}{2})}=\frac{\text{tg}(\frac{a + b}{2})}{\text{tg}(\frac{a - b}{2})}$
с подобными результатами при использовании других сторон и углов.
$\cos\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{\sin s \ \sin(s - c)}{\sin b \ \sin c}}$
где $s = \frac{a + b + c}{2}$.
Подобные утверждения справедливы и для других углов и сторон.
$\cos\frac{a}{2}=\sqrt{\frac{\cos(S - B) \cos(S - C)}{\sin B \ \sin C}}$
где $S = \frac{A + B + C}{2}$.
Подобные утверждения справедливы и для других углов и сторон.
Правила Непера для прямоугольного сферического треугольника
За исключением прямоугольного угла C, есть пять частей сферического треугольника ABC, которые приведены на рис. 5-19 и обозначены как a, b, A, c, B.
Предположим, что эти части расположены по кругу, как на рис. 5-20, где мы допишем префикс co (означающий дополнение) к гипотенузе c и углам A и B.
Любая из этих частей круга называется средняя часть, две другие соседние части называются смежные части и две другие оставшиеся части называются противоположные части.
Правила Непера:
Синус любой средней части равен произведению тангенсов смежных частей.
Синус любой средней части равен произведению косинусов противоположных частей.
Пример:
Так как co-A = 90° - A, co-B = 90° - B, мы имеем
sin a = tg b ⋅ tg(co-B) или sin a = tg b ⋅ ctg B
sin(co-A) = cos a ⋅ cos(co-B) или cos A = cos a ⋅ sin B.
