Функции

Автор: Sepehr Hassannejad


В каждой функции две переменных, таких как $x$ и $y$. Одна из них является независимой переменной - выбирается произвольно (в этой книге это $x$), тогда как другая является зависимой переменной. Когда меняется независимая переменная, то зависимая принимает значение согласно условиям функции.

Определение:
Пусть $A$ и $B$ два множества, а $f$ - подмножество Декартова произведения $A \times B$. $f$ является функцией тогда и только тогда, если
$(x,y_1) \in f \,\,,\,\, (x,y_2) \in f \longrightarrow y_1=y_2$
Другими словами $f$ является подмножеством пар $A \times B$, так, что не существует двух различных пар с одинаковым первым компонентом.

Пример:
Пусть $A= \lbrace 1,3,7 \rbrace$ and $B=\lbrace -2,0 \rbrace$. Декартово произведение $A\times B$ равно
$A \times B = \lbrace (1,-2),(1,0),(3,-2),(3,0),(7,-2),(7,0) \rbrace$
Также пусть $f=\lbrace (1,0),(3,-2),(7,-2) \rbrace$.
$f$ является подмножеством $A \times B$, а также является функцией, ведь не существует двух различных пар с одинаковым первым компонентом.

Пример:
На картинке ниже $f$ функция $A$ от $B$.
Обратите внимание, что $f=\lbrace (1,11),(-2,\pi),(5,\pi) \rbrace$

Пример:
На картинке ниже $g$ НЕ является функцией $A$ от $B$.
Обратите внимание, что $g=\lbrace (-1,\dfrac{1}{7}),(-1,\sqrt{2}),(0,\dfrac{1}{7}),(4,\sqrt{2}) \rbrace$

Пример:
Является ли $R=\lbrace (\sqrt{2}-1,4),(\dfrac{1}{\sqrt{2}+1},5),(3,6),(\dfrac{1}{2-\sqrt{3}},1),(2+\sqrt{3},1)\rbrace$ функцией? Если нет, то найти подмножества $R$, которые являются функциями и каждое из которых состоит из трех пар.
Решение:
Прежде всего отметим, что
$\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1} \times \dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1$

$\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}} \times \dfrac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$
Значит $R$ можно переписать ввиде
$R=\lbrace(\sqrt{2}-1,4),(\sqrt{2}-1,5),(3,6),(2+\sqrt{3},1) \rbrace$
что не является функцией.
Теперь подставим
$f_1=\lbrace (\sqrt{2}-1,4),(3,6),(2+\sqrt{3},1) \rbrace$

$f_2= \lbrace (\sqrt{2}-1,5),(3,6),(2+\sqrt{3},1) \rbrace$
Очевидно, что $f_1$ и $f_2$ - это два подмножества $R$, которые являются функциями.

Пример:
Если $R=\lbrace (3,m-5),(-1,m),(2,m^2),(3,8) \rbrace$ яляется функцией, то каково значение $m$?
Решение:

$(3,m-5)=(3,8) \rightarrow m-5=8 \rightarrow m=13$
Ясно, что
$R=\lbrace (3,8),(-1,13),(2,169) \rbrace$


Пример:
Если $f=\lbrace(a^2-2a,3),(3,3),(-1,4),(a,3) \rbrace$ яляется функцией, то каково значение $a$?
Решение:
$(a^2-2a,3)=(3,3) \rightarrow a^2-2a=3 \rightarrow a^2-2a-3=0 \rightarrow a=-1 \,\,,\,\, a=3$
Отметим, что если $a=-1$ , то $f=\lbrace(3,3),(-1,4),(-1,3) \rbrace$, что не является функцией.
Следовательно, $a=-1$ не подходит. Значит $a=3$ и $f=\lbrace (3,3),(-1,4) \rbrace$
Пример:
Доказать, что $f(x)=x^3-2$ является функцией.
Решение:
Согласно определению функции, нам нужно доказать, что если $x_1=x_2$, то $y_1=y_2$. Значит
$x_1=x_2 \rightarrow x_1 ^3=x_2 ^3 \rightarrow x_1 ^3 -2 =x_2 ^3 -2 \rightarrow y_1=y_2$
Следовательно, $f$ является функцией.

Пример:
Доказать, что $x^2+y^2=4$ НЕ является функцией.
Решение:
$x^2+y^2=4 \rightarrow y^2=4-x^2$
Теперь
$x_1=x_2 \rightarrow x_1 ^2= x_2 ^2 \rightarrow -x_1 ^2=-x_2 ^2 \rightarrow 4-x_1 ^2=4-x_2 ^2 \rightarrow y_1 ^2= y_2 ^2 \rightarrow y_1 = \pm y_2$
Таким образом не является функцией.

Совет:
$(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = R^2$
является стандартной формой уравнения окружности. Отметим, что $(\alpha,\beta)$ является центром окружности, а $R$ - ее радиусом.

Упражнения


1.На каком рисунке изображена функция?
2. Если $f=\lbrace (a,3),(1,-3),(2a+4,3) \rbrace$ является функцией, то каково значение $a$?

3. Если $f=\lbrace (a+b,2),(a^2-2,3),(a^2-2a,3),(3,2) \rbrace$ является функцией, то каково значение $a+b$?

4. Если $f=\lbrace (7,11),(a^-6a,11),(a,4) \rbrace $ является функцией, то каково значение $a$?

5. Если $f=\lbrace (3,2),(a-b,2),(2a+b,4),(2b,4),(1,\sqrt{2}),(-2,3) \rbrace$ является функцией, то каково значение $(f(a))^2+f(b)$?

6. Доказать, что $y=2|x|+3x-4$ является функцией.

7. Доказать, что $|y|+|x|=1$ НЕ является функцией.

8. Добавив дополнительнон ограничение к $(x-3)^2+(y-4)^2=11$, это была функция. Найти это ограничение.

Область определения и множество значений функции


Электронная почта:

© 2005 - 2020
Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратится в компетентные органы.