Основные дифференциальные уравнения и их решения

Разделение переменных
f₁(x)g₁(y)dx + f₂(x)g₂(y)dy = 0

Решение
$\int\frac{f_1(x)}{f_2(x)}dx + \int\frac{g_2(y)}{g_1(y)}dy = c$

Линейное уравнение первого порядка
dx/dy + P(x)y = Q(x)

Решение
$y e^{\int P dx} = \int Q e^{\int P dx} dx + c$

Уравнение Бернулли
dy/dx + P(x)y = Q(x)yⁿ

Решение
$v e^{(1-n) \int P dx} = (1-n) \int Q e^{(1-n) \int P dx} dx + c$
, где v = y^1-n.
Если n = 1, решение имеет вид
$ln y = \int (Q - P ) dx + c$

Точное уравнение
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, где ∂M/∂y = ∂N/∂x.

Решение
$\int M \partial x + \int (N - \frac{\partial}{\partial y}\int M \partial x) dy = c$
, где ∂x означает интегрирование по x при постоянной y.

Однородное уравнение
dy/dx = F(y/x).

Решение
$ln x = \int \frac{dv}{F(v) - v} + c$, где v = y/x. Если F(v) = v, решением будет y = cx.

yF(xy)dx + xG(xy)dy = 0

Решение
$ln x = \int \frac{G(v) dv}{v \{G(v) - F(v)\} } + c$, где v = xy. Если G(v) = F(v), решением будет xy = c.

Линейное однородное уравнение второго порядка
d²y/dx² + a(dy/dx) + by = 0 , a,b - действительные константы.

Решение
Пусть m₁, m₂ - корни уравнения m² + am + b = 0. Тогда возможны три варианта

Вариант 1.     m₁,m₂ действительные и несовпадающие:
$y = c_1 e^{m_1 x} + c_2 e^{m_2 x}$

Вариант 2.     m₁,m₂ действительные и равные:
$y = c_1 e^{m_1 x} + c_2 x e^{m_1 x}$

Вариант 3.     m₁ = p + qi,m₂ = p - qi:
$y = e^{px} (c_1 \cos qx + c_2 \sin qx)$

Линейное неоднородное уравнение второго порядка.
d²y/dx² + a(dy/dx) + by = R(x), a, b - действительные константы.

Решение
Аналогично предыдущему случаю, возможны три варианта.

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Уравнение Коши (или Эйлера).
x²d²y/dx² + a(dy/dx) + by = S(x) .

Решение
После замены x = e^t уравнение принимает вид
d²y/dt² + (a - 1)(dy/dt) + by = S(e^t)
, и теперь решение его сводится к вышеуказанным вариантам.

Уравнение Бесселя.
x²d²y/dx² + x(dy/dx) + (λ²x² - n²)y = 0.

Решение
y = c₁J_n(λx) + c₂Y_n(x).

Модифицированное уравнение Бесселя
x²d²y/dx² + (2p + 1)x(dy/dx) + (α²x^2r + β²)y = 0.

Решение
$y = x^{-p} \{c_1 J_{q/r} (\frac{\alpha}{\gamma}x^r) + c_2 Y_{q/r} (\frac{\alpha}{\gamma}x^r)\}$
, где q = √p² - β².

Уравнение Лежандра
(1 - x²)d²y/dx² - 2xdy/dx + n(n + 1)y = 0.

Решение
y = c₁P_n(x) + c₂Q_n(y).