Комплексные числа

Комплексное число это пара двух действительных чисел (x, y).
Мы можем представить комплексные числа, как точки в системе координат.
Пусть z - комплексное число.
z = (x, y)
x - это вещественная часть z, а y - это мнимая часть z.

Комплексные числа образуют $\mathbb{C}$ поле комплексных чисел.
Поле действительных чисел является его частью. Действительные числа, записанные в виде комплексных $(x, 0), \ \ x \in \mathbb{R}$

Каждое комплексное число (x, y) имеет соответствующую точку в системе координат. Мы не можем сказать точка A > B, потому что мы не можем сказать так о двух комплексных числах (x₁, y₁) > (x₂, y₂) Это значит что комплексные числа не имеют порядка.

Если у нас есть два комплексных числа z₁ = (x₁, y₁) и z₂ = (x₂, y₂) то:

$z_1 = z_2 \Leftrightarrow x_1 = x_2$ and $y_1 = y_2$
$z_1 \pm z_2 = (x_1, y_1) \pm (x_2, y_2) = (x_1 \pm x_2, y_1 \pm y_2)$
$z_1z_2 = (x_1, y_1)\times (x_2, y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2, x_1y_2 + y_1x_2)$
$\frac{z_1}{z_2}=\frac{(x_1, y_1)}{(x_2, y_2)}=\big(\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}, \frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}\big)$

комплексно число
Другой способ записи z это: z = a + bi,
a - вещественная часть z,
b - мнимая часть, а
i - мнимая единица. $i^2 = -1, \ \ i = \sqrt{-1}$.

Каждое комплексное число z = a + bi имеет сопряженное число z = a - bi.

z + z = 2a - действительное число;
z - z = 2bi - мнимое число;
z.z = a² + b² = |z|² - действительное число

Действия над комплексными числами

Сложение комплексных чисел:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Вычитание комплексных чисел:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Умножение комплексных чисел:

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Деление комплексных чисел:

$\frac{a + bi}{c + di}=\frac{(ac + bd)+(bc - ad)i}{c^2+d^2}$

Стоимость	Правило	Степень
$i^1 = i$	$i^{4n + 1} = i$	Кратный 4 + 1 ${4n + 1, \ n \in \mathbb{Z}} = {1; 5; 9...}$
$i^2 = -1$	$i^{4n + 2} = -1$	Кратный 4 + 2 ${4n + 2, \ n \in \mathbb{Z}} = {2; 6; 10...}$
$i^3 = -i$	$i^{4n + 3} = -i$	Кратный 4 + 3 ${4n + 3, \ n \in \mathbb{Z}} = {3; 7; 11...}$
$i^4 = 1$	$i^{4n} = 1$	Кратный 4 ${4n, \ n \in \mathbb{Z}} = {4; 8; 12...}$

Полярная форма

Векторная форма комплексного числа это:

z = |z|(cosθ + isinθ) = |z|e^iθ
или
z = r(cos(θ) + i.sin(θ)) = r.e^i.θ

Здесь |z| - это модуль комплесного числа (совпадает с величиной OM), θ -это аргумент комплесного числа или фаза. Заштрихованный круг наверху означает модуль |z| комплексного числа z, а угол θ - аргумент комплексного числа.

Формулы Муавра

zⁿ = rⁿ[cos(n.θ) + i.sin(n.θ)]

$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}(cos(\frac{\theta+2k\pi}{n})+i.sin(\frac{\theta+2k\pi}{n}))$
k = 0, 1, 2,..., n-1

Пишите на нашем форуме касательно комплексных чисел.