Формулы аналитической геометрии в пространстве

$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$

НАПРАВЛЯЮЩИЙ КОСИНУС ЛИНИИ, СОЕДИНЯЮЩЕЯ ТОЧКИ $P_1(x_1,y_1,z_1)$ И $P_2(x_2,y_2,z_2)$
$l=\cos\alpha=\frac{(x_2-x_1)}{d}$, $m=\cos\beta=\frac{y_2-y_1}{d}$, $n=\cos\gamma=\frac{z_2-z_1}{d}$

где $\alpha,\beta,\gamma$ углы, которые линия $P_1P_2$ образовывает с положительными осями $x,y,z$ соответственно, а $d$ определено на рисунке вверху.

ОТНОШЕНИЕ МЕЖДУ НАПРЯВЛЯЮЩИМИ КОСИНУСАМИ
$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$ или $l^2+m^2+n^2=1$

НАПРАВЛЯЮЩИЕ ЧИСЛА
Числа $L,M,N$, которые есть пропорциональны к направляющим косинусам $l, m, n$ называются направляющими числами. Отношение между ними

$l=\frac{L}{\sqrt{L^2+M^2+N^2}}$, $m=\frac{M}{\sqrt{L^2+M^2+N^2}}$, $n=\frac{N}{\sqrt{L^2+M^2+N^2}}$

УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ, СОЕДИНЯЮЩЕЙ $P_1(x_1,y_1,z_1)$ И $P_2(x_2,y_2,z_2)$ В СТАНДАРТНОЙ ФОРМЕ
$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ или $\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n}$

Это также действительно, если $l, m, n$ заменяются на $L, M, N$ соответственно.

УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ, СОЕДИНЯЮЩЕЙ $P_1(x_1,y_1,z_1)$ И $P_2(x_2,y_2,z_2)$ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
$x=x_1+lt$, $y=y_1+mt$, $z=z_1+nt$

Это также действительно если $l, m, n$ заменяются на $L, M, N$ соответственно.

УГОЛ $\phi$ МЕЖДУ ДВУМЯ ЛИНЯМИ С НАПРАВЛЯЮЩИМИ КОСИНУСАМИ $l_1, m_1, n_1$ И $l_2, m_2, n_2$
$\cos\phi=l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2$

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
$Ax + By + Cz + D = 0$    [$A, B, C, D$ - константы]

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ $(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2),(x_3,y_3,z_3)$

$\begin{vmatrix}x-x_1 & y-y_1 & z-z_1\\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1\\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1\end{vmatrix}=0$

или

$\begin{vmatrix} y_2-y_1 & z_2-z_1\\ y_3-y_1 & z_3-z_1\end{vmatrix}(x-x_1)$ $+\begin{vmatrix} z_2-z_1 & x_2-x_1\\ z_3-z_1 & x_3-x_1\end{vmatrix}(y-y_1)$ $+\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1\\ x_3-x_1 & y_3-y_1\end{vmatrix}(z-z_1)=0$

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В ФОРМЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

где $a, b, c$ есть пересечения на осях $x, y, z$ соответственно.

УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ ЧЕРЕЗ $(x_0,y_0,z_0)$ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К ПЛОСКОСТИ $Ax + By + Cz + D = 0$
$\frac{x-x_0}{A}=\frac{y-y_0}{B}=\frac{z-z_0}{C}$ или $x=x_0+At, y=y_0+Bt, z=z_0+Ct$

Обратите внимание, что направляющие числа для линии, перпендикулярной к плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ есть $A, B, C$.

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ $(x_0,y_0,z_0)$ К ПЛОСКОСТИ $Ax+By+Cz+D=0$.
$\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

где знак выбирается так, что расстояние не является отрицательным.

НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ
$x\cos\alpha+y\cos\beta+z\cos\gamma=p$

где $p$ = перпендикулярному расстоянию от $O$ к плоскости в $P$ и $\alpha, \beta, \gamma$ есть углами между $OP$ и положительными осями $x, y, z$.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ПРИ ПЕРЕМЕЩЕНИИ
$\left\{\begin{array}{lr}x=x'+x_0\\ y=y'+y_0\\ z=z'+z_0\end{array}\right.$     $\left\{\begin{array}{lr}x'=x-x_0\\ y'=y-y_0\\ z'=z-z_0\end{array}\right.$

где $(x, y, z)$ - старые координаты [т.e. координаты относительно системы xyz], $(x', y', z')$ - новые координаты [относительно системы $x'y'z'$] и $(x_0,y_0,z_0)$ координаты нового центра $O'$ относительно старой координатной системы $xyz$.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ПРИ ВРАЩЕНИИ

$\left\{\begin{array}{lr}x=l_1x'+l_2y'+l_3z'\\ y=m_1x'+m_2y'+m_3z'\\ z=n_1x'+n_2y'+n_3z'\end{array}\right.$

или

$\left\{\begin{array}{lr}x'=l_1x+m_1y+n_1z\\ y'=l_2x+m_2y+n_2z\\ z'=l_3x+m_3y+n_3z\end{array}\right.$

где центры систем $xyz$ и $x'y'z'$ находятся в одной точке и $l_1,m_1,n_1; l_2,m_2,n_2; l_3,m_3,n_3$ направляющие косинусы осей $x', y', z'$ относительно осей $x, y, z$ соответственно.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ПРИ ПЕРЕМЕЩЕНИИ И ВРАЩЕНИИ

$\left\{\begin{array}{lr}x=l_1x'+l_2y'+l_3z'+x_0\\ y=m_1x'+m_2y'+m_3z'+y_0\\ z=n_1x'+n_2y'+n_3z'+z_0\end{array}\right.$

или

$\left\{\begin{array}{lr}x'=l_1(x-x_0)+m_1(y-y_0)+n_1(z-z_0)\\ y'=l_2(x-x_0)+m_2(y-y_0)+n_2(z-z_0)\\ z'=l_3(x-x_0)+m_3(y-y_0)+n_3(z-z_0)\end{array}\right.$

где $O'$ системы $x'y'z'$ имеет координаты $(x_0,y_0,z_0)$ относительно системы $xyz$ и $l_1,m_1,n_1; l_2,m_2,n_2; l_3,m_3,n_3$ направляющие косинусы осей $x', y', z'$ относительно осей $x, y, z$ соответственно.

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ $(r, \theta, z)$
Точка $P$ может быть определена как цилиндрическими координатами $(r, \theta, z)$, так и прямоугольными координатами $(x, y, z)$.
Преобразование между этими двумя координатами есть

$\left\{\begin{array}{lr}x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\\ z=z\end{array}\right.$    или    $\left\{\begin{array}{lr}r=\sqrt{x^2+y^2}\\ \theta=\tan^{-1}\frac{y}{x}\\ z=z\end{array}\right.$

СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ $(r, \theta, \phi)$
Точка $P$ может быть определена как сферическими координатами $(r, \theta, \phi)$ так и прямоугольными координатами $(x, y, z)$.
Преобразование между этими двумя кординатами есть

$\left\{\begin{array}{lr}x=r\sin\theta\cos\phi\\ y=r\sin\theta\sin\phi\\ z=r\cos\theta\end{array}\right.$

или

$\left\{\begin{array}{lr}r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ \phi=\tan^{-1}\frac{y}{x}\\ \theta=\cos^{-1}\left(\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)\end{array}\right.$

УРАВНЕНИЕ СФЕРЫ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$

где сфера имеет центр $(x_0,y_0,z_0)$ и радиус $R$.

УРАВНЕНИЕ СФЕРЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
$r^2-2r_0r(\theta-\theta_0)+r_0^2+(z-z_0)^2=R^2$

где сфера имеет центр $(r_0;\theta_0;z_0)$ в цилиндрических координатах и радиус $R$.

Если центр находится в начале координат, уравнение имеет вид:

$r^2+z^2=R^2$

УРАВНЕНИЕ СФЕРЫ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
$r^2+r_0^2-2r_0 r\sin\theta\sin\theta_0\cos(\phi-\phi_0)=R^2$

где сфера имеет центр $(r_0; \theta_0; \phi_0)$ в сферических координатах и радиус $R$.

Если центр в начале координат, уравнение имеет вид:

$r = R$.

УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСОИДА С ЦЕНТРОМ $(x_0,y_0,z_0)$ И ПОЛУОСЯМИ $a, b, c$
$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}+\frac{(z-z_0)^2}{c^2}=1$

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ЦИЛИНДР С ОСЬЮ КАК $z$ ОСЬ
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

где $a, b$ - полуоси эллиптического сечения.
Если $b = a$, фигура превращается в цилиндрический цилиндр с радиусом $a$.

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ КОНУС С ОСЬЮ КАК $z$ ОСЬ
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}$

ОДНОПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$

Гиперболоид - анимированные(красная линия прямая)

ДВУПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z}{c}$

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\frac{z}{c}$

Обратите внимание на ориентацию осей этой фигуры.