Введение в матрицы

Матрица — это прямоугольная таблица чисел. С помощью матриц компактно записывают системы линейных уравнений и таблицы данных; матрицы — основной инструмент линейной алгебры. В этом уроке вы узнаете основные термины, связанные с матрицами (элементы, размер, строки, столбцы, диагонали), познакомитесь с важнейшими видами матриц и с первыми действиями над ними: сложением и вычитанием матриц, умножением матрицы на число и транспонированием матрицы. Умножению двух матриц посвящён следующий урок.

На этой странице: Что такое матрица · Матрица-строка, матрица-столбец, нулевая матрица · Квадратные матрицы · Равные матрицы · Сложение и вычитание · Умножение на число · Свойства · Транспонирование · Где применяются матрицы · Решённые задачи · Задачи для самостоятельного решения

Что такое матрица?

Матрицы обозначают заглавными буквами $A,$ $B,$ $C,$ …, а таблицу элементов заключают в круглые скобки (в некоторых книгах используют квадратные скобки). При записи размера всегда сначала указывают число строк, а затем число столбцов.

В общем виде матрица размера ${m\times n}$ записывается так:

$\begin{array}{rc} & \xrightarrow[\hspace{13em}]{\text{строка}} \\[0.3em] A=\;\text{\scriptsize столбец}\left\downarrow\vphantom{\begin{matrix}a\\a\\a\\a\\a\end{matrix}}\right.\!\!\!\! & \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n}\\ . & . & . & . & . & .\\ a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & . & . & a_{m,n}\\ \end{pmatrix} \end{array}$

Строки нумеруются сверху вниз, а столбцы — слева направо. Элемент, стоящий на пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца, обозначается $a_{ij}$ (или $a_{i,j}$): первый индекс всегда означает номер строки, а второй — номер столбца. Кратко матрицу записывают так: ${A=(a_{ij})}.$ Матрица размера ${m\times n}$ содержит $mn$ элементов.

Пример 1. Матрица ${A=\begin{pmatrix}1&0&2\\3&1&4\end{pmatrix}}$ имеет 2 строки и 3 столбца, поэтому это матрица размера 2×3, содержащая 6 элементов. Число 2 стоит в первой строке и третьем столбце: ${a_{13}=2}.$ Аналогично ${a_{21}=3}$ и ${a_{23}=4}.$

Пример 2. Матрица ${B=\begin{pmatrix}1&5\\2&8\\7&3\end{pmatrix}}$ имеет 3 строки и 2 столбца: это матрица размера 3×2. Число 8 стоит во второй строке и втором столбце, поэтому ${b_{22}=8},$ а число 7 — это элемент ${b_{31}}.$ Размеры 2×3 и 3×2 различны: порядок двух чисел важен.

Пример 3. Запишите матрицу $A$ размера 2×3 с элементами ${a_{ij}=2i-j}.$

В первой строке ${i=1}\text{:}$ ${a_{11}=2\cdot1-1=1},$ ${a_{12}=2\cdot1-2=0},$ ${a_{13}=2\cdot1-3=-1}.$

Во второй строке ${i=2}\text{:}$ ${a_{21}=2\cdot2-1=3},$ ${a_{22}=2\cdot2-2=2},$ ${a_{23}=2\cdot2-3=1}.$

$$A=\begin{pmatrix}1&0&-1\\3&2&1\end{pmatrix}$$

Матрица-строка, матрица-столбец и нулевая матрица

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой (или вектором-строкой). Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом (или вектором-столбцом).

Пример 4. $\begin{pmatrix}3&-1&4\end{pmatrix}$ — матрица-строка размера 1×3, а $\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}$ — матрица-столбец размера 3×1.

В виде матриц-столбцов записывают, например, неизвестные и свободные члены системы уравнений. Матрицу размера 1×1, например $\begin{pmatrix}5\end{pmatrix},$ обычно отождествляют с числом 5.

Нулевая матрица играет роль числа 0: если прибавить её к матрице того же размера, эта матрица не изменится (см. свойства ниже).

Квадратные матрицы

Пример 5. Матрица ${C=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&7&2\\4&5&1\end{pmatrix}}$ имеет 3 строки и 3 столбца: это квадратная матрица порядка 3. Матрицы $A$ и $B$ из примеров 1 и 2 не являются квадратными. Определитель и обратная матрица бывают только у квадратных матриц.

Главная и побочная диагонали

Главная диагональ квадратной матрицы идёт из левого верхнего угла в правый нижний. На ней стоят элементы $a_{11},$ $a_{22},$ …, $a_{nn},$ у которых номер строки равен номеру столбца. Побочная диагональ идёт из правого верхнего угла в левый нижний. На ней стоят элементы $a_{1n},$ ${a_{2,n-1}},$ …, $a_{n1},$ то есть элементы, для которых ${i+j=n+1}.$ Ниже главная диагональ выделена красным цветом, а побочная — синим:

$$\begin{pmatrix}\textcolor{#c0392b}{a_{11}}&a_{12}&\cdots&\textcolor{#1b64a8}{a_{1n}}\\a_{21}&\textcolor{#c0392b}{a_{22}}&\cdots&a_{2n}\\\varvdots&\varvdots&\ddots&\varvdots\\\textcolor{#1b64a8}{a_{n1}}&a_{n2}&\cdots&\textcolor{#c0392b}{a_{nn}}\end{pmatrix}$$

У матрицы $C$ из примера 5 на главной диагонали стоят числа 1, 7, 1, а на побочной — числа 3, 7, 4. Средний элемент 7 лежит на обеих диагоналях. Сумма элементов главной диагонали называется следом матрицы: ${\operatorname{tr}C=1+7+1=9}.$

Единичная матрица

Пример 6. Единичные матрицы порядков 2 и 3 имеют вид

$$I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$ $$I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

При умножении матриц единичная матрица играет роль числа 1: ${AI=IA=A}$ для любой квадратной матрицы $A$ того же порядка.

Диагональные и треугольные матрицы

Пример 7. Матрица $D$ диагональная, $U$ — верхняя треугольная, а $L$ — нижняя треугольная:

$$D=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&-1&0\\0&0&5\end{pmatrix}$$ $$U=\begin{pmatrix}1&4&-2\\0&3&5\\0&0&6\end{pmatrix}$$ $$L=\begin{pmatrix}2&0&0\\-1&5&0\\3&0&4\end{pmatrix}$$

Элементы главной диагонали могут быть любыми числами, в том числе нулями. Диагональная матрица является одновременно верхней и нижней треугольной; единичная матрица и любая квадратная нулевая матрица являются диагональными. С треугольными матрицами удобно работать: определитель треугольной матрицы равен произведению элементов её главной диагонали, а в методе Гаусса систему уравнений решают, приводя её матрицу к треугольному виду.

Симметричные матрицы

Пример 8. Матрица ${S=\begin{pmatrix}1&4&-2\\4&0&3\\-2&3&5\end{pmatrix}}$ симметричная: ${s_{12}=s_{21}=4},$ ${s_{13}=s_{31}=-2}$ и ${s_{23}=s_{32}=3}.$ Элементы главной диагонали могут быть любыми числами. Матрица $C$ из примера 5 не является симметричной, так как ${c_{12}=2},$ но ${c_{21}=3}.$

Любая диагональная матрица симметрична. Неквадратная матрица не может быть симметричной. С помощью транспонирования (см. ниже) определение записывается кратко: $A$ симметрична тогда и только тогда, когда ${A^T=A}.$

Равные матрицы

Таким образом, одно равенство двух матриц размера ${m\times n}$ равносильно $mn$ числовым равенствам.

Пример 9. Найдите $x$ и $y,$ если $\begin{pmatrix}x+1&2\\3&2y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&2\\3&-6\end{pmatrix}.$

Обе матрицы имеют размер 2×2, поэтому сравниваем элементы, стоящие на одинаковых местах: ${x+1=4}$ и ${2y=-6}.$ Остальные две пары элементов уже совпадают. Отсюда ${x=3}$ и ${y=-3}.$

Пример 10. Матрицы $\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ не равны: они состоят из одних и тех же чисел, но их размеры 1×2 и 2×1 различны. Матрицы $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$ имеют одинаковый размер, но тоже не равны: их элементы в строке 1, столбце 2 различны (2 и 3).

Сложение и вычитание матриц

Пример 11. Пусть ${A=\begin{pmatrix}1&0&2\\3&1&4\end{pmatrix}}$ и ${B=\begin{pmatrix}4&-2&1\\0&5&-3\end{pmatrix}}.$ Обе матрицы имеют размер 2×3, поэтому

$A+B=\begin{pmatrix}1+4&0+(-2)&2+1\\3+0&1+5&4+(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&-2&3\\3&6&1\end{pmatrix}$

$A-B=\begin{pmatrix}1-4&0-(-2)&2-1\\3-0&1-5&4-(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&2&1\\3&-4&7\end{pmatrix}$

Матричный калькулятор пошагово находит сумму и разность этих матриц.

Сумма матрицы размера 2×3 и матрицы размера 2×2 не определена: некоторым элементам не нашлось бы пары. Например, сумма $A+\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ не существует. Прибавить число к матрице тоже нельзя.

Умножение матрицы на число

Пример 12. Для матрицы $A$ из примера 11 получаем

$3A=\begin{pmatrix}3\cdot1&3\cdot0&3\cdot2\\3\cdot3&3\cdot1&3\cdot4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0&6\\9&3&12\end{pmatrix}$

Матрицу ${(-1)A}$ обозначают ${-A}$ и называют матрицей, противоположной матрице $A\text{:}$ у каждого элемента меняется знак.

${-A=\begin{pmatrix}-1&0&-2\\-3&-1&-4\end{pmatrix}}$

Вычесть матрицу — то же самое, что прибавить противоположную ей матрицу: ${A-B=A+(-B)}.$ Матричный калькулятор умножает матрицу на любое число.

Пример 13. Общий множитель всех элементов можно вынести за знак матрицы, а число, стоящее перед матрицей, можно внести в неё:

$\begin{pmatrix}6&9\\12&3\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}2&3\\4&1\end{pmatrix}$

$\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-6\\2&8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-3\\1&4\end{pmatrix}$

Пример 14. Пусть ${A=\begin{pmatrix}2&-1\\0&3\end{pmatrix}}$ и ${B=\begin{pmatrix}1&2\\-2&1\end{pmatrix}}.$ Найдите ${2A-3B}.$

Сначала умножаем матрицы на числа, затем вычитаем:

$2A-3B=\begin{pmatrix}4&-2\\0&6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3&6\\-6&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-8\\6&3\end{pmatrix}$

Свойства сложения и умножения на число

Пусть $A,$ $B$ и $C$ — матрицы одного размера, $O$ — нулевая матрица того же размера, а $k,$ $l$ — числа. Оба действия выполняются поэлементно, поэтому для них верны те же законы, что и для действий с числами:

Свойство	Формула
Переместительный закон сложения	${A+B=B+A}$
Сочетательный закон сложения	${(A+B)+C}={A+(B+C)}$
Прибавление нулевой матрицы	${A+O=A}$
Прибавление противоположной матрицы	${A+(-A)=O}$
Умножение суммы матриц на число	${k(A+B)=kA+kB}$
Умножение матрицы на сумму чисел	${(k+l)A=kA+lA}$
Умножение на два числа подряд	${k(lA)=(kl)A}$
Умножение на 1 и на 0	${1\cdot A=A},$ ${0\cdot A=O}$

Поэтому выражения с матрицами можно упрощать так же, как числовые выражения, например ${2(A+B)-(A-B)}={A+3B}.$ Можно также решать простые уравнения, в которых неизвестное — матрица.

Пример 15. Найдите матрицу $X,$ если ${2X+A=B},$ где ${A=\begin{pmatrix}1&4\\-2&0\end{pmatrix}}$ и ${B=\begin{pmatrix}5&2\\8&-6\end{pmatrix}}.$

Как и для чисел, получаем ${2X=B-A}$ и ${X=\frac{1}{2}(B-A)}\text{:}$

$B-A=\begin{pmatrix}5-1&2-4\\8-(-2)&-6-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-2\\10&-6\end{pmatrix}$

$X=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\10&-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\5&-3\end{pmatrix}$

Проверка: подставим $X$ в уравнение.

$2X+A=\begin{pmatrix}4&-2\\10&-6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&4\\-2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&2\\8&-6\end{pmatrix}$

Получилась матрица $B,$ значит, ответ верный. Уравнения, в которых $X$ умножается на другую матрицу, например ${AX=B},$ решают с помощью обратной матрицы (см. урок о матричных уравнениях).

Транспонирование матрицы

Строка 1 матрицы $A$ становится столбцом 1 матрицы $A^T,$ строка 2 — столбцом 2 и так далее. В некоторых книгах пишут $A^t$ или $A'.$ Для квадратной матрицы транспонирование — это отражение относительно главной диагонали: диагональ остаётся на месте, а остальные элементы попарно меняются местами.

Пример 16. Транспонирование матрицы размера 2×2:

$$\begin{pmatrix}1&3\\5&9\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}1&5\\3&9\end{pmatrix}$$

Диагональные элементы 1 и 9 остаются на месте, а элементы 3 и 5 меняются местами.

Пример 17. Матрица, транспонированная к матрице $A$ размера 2×3 из примера 11, имеет размер 3×2:

$$A^T=\begin{pmatrix}1&0&2\\3&1&4\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\\2&4\end{pmatrix}$$

При транспонировании матрица-строка становится матрицей-столбцом: ${\begin{pmatrix}3&-1&4\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}3\\-1\\4\end{pmatrix}}.$ Матричный калькулятор транспонирует матрицу любого размера.

Пусть $A$ и $B$ — матрицы, для которых определены приведённые ниже действия, а $k$ — число.

Свойство	Формула
Двойное транспонирование возвращает исходную матрицу	${\left(A^T\right)^T=A}$
Транспонирование суммы	${(A+B)^T=A^T+B^T}$
Числовой множитель	${(kA)^T=kA^T}$
Транспонирование произведения: порядок множителей меняется на обратный	${(AB)^T=B^TA^T}$
Определитель не меняется	${\det(A^T)=\det A}$
Симметричная матрица	${A^T=A}$

Первые три правила легко проверить поэлементно. Например, элемент в строке $i$ и столбце $j$ матрицы ${(A+B)^T}$ равен ${a_{ji}+b_{ji}};$ таков же и элемент, стоящий на том же месте в матрице ${A^T+B^T}.$ Правило для произведения объясняется в уроке об умножении матриц, а правило для определителя — в уроке об определителях. Квадратная матрица, для которой ${A^T=-A},$ называется кососимметричной; все элементы её главной диагонали равны нулю, так как ${a_{ii}=-a_{ii}}.$

Пример 18. Проверьте, что ${(A+B)^T=A^T+B^T}$ для матриц $A$ и $B$ из примера 11.

$(A+B)^T=\begin{pmatrix}5&-2&3\\3&6&1\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}5&3\\-2&6\\3&1\end{pmatrix}$

$A^T+B^T=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\\2&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4&0\\-2&5\\1&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&3\\-2&6\\3&1\end{pmatrix}$

В обеих частях равенства получилась одна и та же матрица размера 3×2.

Где применяются матрицы?

Системы линейных уравнений. Числа, входящие в систему линейных уравнений, можно записать в виде матрицы. Для системы

$$\begin{cases}2x+3y-z=5\\x-4y+2z=0\end{cases}$$

матрица системы (матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных) и расширенная матрица, в которую добавлен ещё и столбец свободных членов, имеют вид

$$A=\begin{pmatrix}2&3&-1\\1&-4&2\end{pmatrix}$$ $$\left(\begin{array}{ccc|c}2&3&-1&5\\1&-4&2&0\end{array}\right)$$

Каждая строка расширенной матрицы соответствует одному уравнению. С помощью матриц-столбцов неизвестных ${X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ и свободных членов ${B=\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}}$ вся система записывается одним матричным уравнением ${AX=B}$ (произведение $AX$ определяется в следующем уроке). Метод Гаусса, метод Крамера и другие методы решения систем линейных уравнений работают именно с этими матрицами.

Таблицы данных. Любая таблица чисел — это матрица, а сложение таблиц и умножение их на число — это действия над матрицами.

Пример 19. У компании два магазина. Матрицы $J$ и $F$ показывают, сколько велосипедов, самокатов и шлемов продали магазины в январе и в феврале (строка 1: магазин 1, строка 2: магазин 2; столбцы: велосипеды, самокаты, шлемы).

$$J=\begin{pmatrix}20&15&8\\12&30&5\end{pmatrix}$$ $$F=\begin{pmatrix}25&10&8\\18&26&9\end{pmatrix}$$

Суммарные продажи за два месяца и изменение продаж от января к февралю равны

${J+F=\begin{pmatrix}45&25&16\\30&56&14\end{pmatrix}}$

${F-J=\begin{pmatrix}5&-5&0\\6&-4&4\end{pmatrix}}$

Например, магазин 2 продал в феврале на 4 самоката меньше, чем в январе (элемент ${-4}$). Если компания хочет продать вдвое больше, чем в январе, её план задаётся матрицей ${2J=\begin{pmatrix}40&30&16\\24&60&10\end{pmatrix}}.$

Кроме того, матрицы используют для перемещения, поворота и масштабирования изображений в компьютерной графике, для хранения цифровых изображений (по одному числу на каждый пиксель), для описания сетей, а также в теории вероятностей, экономике и машинном обучении. Во всех этих областях основные действия — те, что рассмотрены в данном уроке, и умножение матриц. Следующие уроки посвящены определителям, рангу матрицы, обратным матрицам, матричным уравнениям и системам линейных уравнений.

Решённые задачи

Задача 1. Для матрицы ${M=\begin{pmatrix}2&-1&0&7\\5&3&-4&1\\0&6&8&-2\end{pmatrix}}$ найдите размер, число элементов, $m_{23},$ $m_{32}$ и $m_{14},$ а также положение числа 8.

Решение: Матрица $M$ имеет 3 строки и 4 столбца, поэтому это матрица размера 3×4, содержащая ${3\cdot4=12}$ элементов. Строка 2, столбец 3: ${m_{23}=-4}.$ Строка 3, столбец 2: ${m_{32}=6}.$ Строка 1, столбец 4: ${m_{14}=7}.$ Число 8 стоит в строке 3 и столбце 3, поэтому ${m_{33}=8}.$

Задача 2. Запишите матрицу $A$ размера 3×3 с элементами ${a_{ij}=i-j}.$ Является ли она симметричной?

Решение: На главной диагонали ${i=j},$ поэтому эти элементы равны 0. Остальные элементы вычисляем по формуле, например ${a_{12}=1-2=-1}$ и ${a_{21}=2-1=1}\text{:}$

$$A=\begin{pmatrix}0&-1&-2\\1&0&-1\\2&1&0\end{pmatrix}$$

Матрица не является симметричной, так как ${a_{12}=-1},$ но ${a_{21}=1}.$ Зато ${a_{ji}=-a_{ij}}$ для всех $i$ и $j,$ то есть ${A^T=-A}\text{:}$ матрица кососимметричная.

Задача 3. а) Найдите $x$ и $y,$ если $\begin{pmatrix}x+y&3\\1&x-y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&3\\1&1\end{pmatrix}.$ б) Существует ли число $x,$ при котором $\begin{pmatrix}x&2\\x&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\4&5\end{pmatrix}?$

Решение: а) Сравниваем элементы: ${x+y=7}$ и ${x-y=1}.$ Сложив эти уравнения, получаем ${2x=8},$ откуда ${x=4}$ и ${y=3}.$

б) Первый столбец даёт одновременно ${x=3}$ и ${x=4}.$ Это невозможно, поэтому такого числа нет: эти матрицы не равны ни при каком $x.$

Задача 4. Пусть ${A=\begin{pmatrix}3&-2\\1&0\end{pmatrix}},$ ${B=\begin{pmatrix}-1&4\\2&5\end{pmatrix}}$ и ${C=\begin{pmatrix}0&1\\-3&2\end{pmatrix}}.$ Найдите ${2A-B+3C}.$

Решение:

$2A-B+3C=\begin{pmatrix}6&-4\\2&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1&4\\2&5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&3\\-9&6\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}6+1+0&-4-4+3\\2-2-9&0-5+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&-5\\-9&1\end{pmatrix}$

Задача 5. Найдите матрицу $X,$ если ${3X-2A=B},$ где ${A=\begin{pmatrix}1&-2\\0&3\end{pmatrix}}$ и ${B=\begin{pmatrix}1&4\\-6&3\end{pmatrix}}.$

Решение: Из уравнения получаем ${3X=B+2A}\text{:}$

$3X=\begin{pmatrix}1&4\\-6&3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&-4\\0&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0\\-6&9\end{pmatrix}$

$X=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}3&0\\-6&9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\-2&3\end{pmatrix}$

Проверка:

$3X-2A=\begin{pmatrix}3&0\\-6&9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&-4\\0&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&4\\-6&3\end{pmatrix}$

Получилась матрица $B.$

Задача 6. Для матрицы ${A=\begin{pmatrix}1&-2&0\\4&3&-1\end{pmatrix}}$ найдите $A^T,$ ${(2A)^T}$ и ${2A^T}.$

Решение: Столбцы матрицы $A$ становятся строками матрицы $A^T\text{:}$

$$A^T=\begin{pmatrix}1&4\\-2&3\\0&-1\end{pmatrix}$$

$(2A)^T=\begin{pmatrix}2&-4&0\\8&6&-2\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}2&8\\-4&6\\0&-2\end{pmatrix}$

$2A^T=2\begin{pmatrix}1&4\\-2&3\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&8\\-4&6\\0&-2\end{pmatrix}$

Результаты совпадают, как и утверждает правило ${(kA)^T=kA^T}.$ Обе матрицы имеют размер 3×2.

Задача 7. Найдите $x$ и $y,$ при которых матрица $\begin{pmatrix}2&x-y&5\\4&0&x+y\\5&6&1\end{pmatrix}$ симметрична.

Решение: Элементы в строке 1, столбце 3 и в строке 3, столбце 1 уже равны (5 и 5). Две другие пары симметричных элементов дают ${x-y=4}$ и ${x+y=6}.$ Сложив уравнения, получаем ${2x=10},$ откуда ${x=5}$ и ${y=1}.$ Симметричная матрица имеет вид

$$\begin{pmatrix}2&4&5\\4&0&6\\5&6&1\end{pmatrix}$$

Задача 8. Для матрицы ${A=\begin{pmatrix}1&5\\1&3\end{pmatrix}}$ найдите ${A+A^T}$ и ${A-A^T}.$ Затем представьте $A$ в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц.

Решение: ${A^T=\begin{pmatrix}1&1\\5&3\end{pmatrix}},$ поэтому

$A+A^T=\begin{pmatrix}1&5\\1&3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&1\\5&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&6\\6&6\end{pmatrix}$

$A-A^T=\begin{pmatrix}1&5\\1&3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&1\\5&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&4\\-4&0\end{pmatrix}$

Первая матрица симметричная, а вторая кососимметричная. Половина их суммы равна $A\text{:}$

$\frac{1}{2}(A+A^T)+\frac{1}{2}(A-A^T)=\begin{pmatrix}1&3\\3&3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&2\\-2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&5\\1&3\end{pmatrix}$

То же верно для любой квадратной матрицы: матрица ${A+A^T}$ всегда симметрична (задача 10 для самостоятельного решения), а ${A-A^T}$ всегда кососимметрична.

Задача 9. а) Найдите $k,$ если $k\begin{pmatrix}2&-1\\0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6&3\\0&-9\end{pmatrix}.$ б) Существует ли число $k,$ при котором $k\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4\\6&9\end{pmatrix}?$

Решение: а) Первые элементы дают ${2k=-6},$ откуда ${k=-3}.$ Остальные элементы согласуются с этим: ${-3\cdot(-1)=3},$ ${-3\cdot0=0}$ и ${-3\cdot3=-9}.$ Значит, ${k=-3}.$

б) Первый элемент даёт ${k=2},$ но тогда последний элемент был бы равен ${2\cdot4=8},$ а не 9. Такого числа $k$ не существует.

Задача 10. К какому виду относится каждая из матриц ${K=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},$ ${M=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}},$ ${N=\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}}$ и ${Q=\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}?$

Решение: $K$ — нулевая матрица размера 2×2; она также диагональная, треугольная и симметричная. $M$ — диагональная матрица, поэтому она также треугольная и симметричная. Это не единичная матрица, так как её диагональные элементы равны 4, а не 1; при этом ${M=4I_2}.$ $N$ — верхняя треугольная матрица, она не симметрична. $Q$ — симметричная матрица, но не треугольная.

Задачи для самостоятельного решения

Сначала попробуйте решить сами, затем откройте ответ.

1. Какой размер у матрицы ${A=\begin{pmatrix}3&-1&4\\0&2&5\end{pmatrix}}?$ Найдите $a_{23}$ и $a_{12}.$

$A$ — матрица размера 2×3; ${a_{23}=5}$ и ${a_{12}=-1}.$

2. Запишите матрицу размера 3×2 с элементами ${a_{ij}=i\cdot j}.$

$\begin{pmatrix}1&2\\2&4\\3&6\end{pmatrix}$

3. К какому виду относится матрица $\begin{pmatrix}2&0&0\\1&3&0\\4&0&5\end{pmatrix}?$

Это квадратная матрица порядка 3, причём нижняя треугольная: все элементы над главной диагональю равны 0. Она не диагональная и не симметричная: элемент в строке 2, столбце 1 равен 1, а элемент в строке 1, столбце 2 равен 0.

4. Найдите $x$ и $y,$ если $\begin{pmatrix}x&4\\-1&y+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&4\\-1&0\end{pmatrix}.$

${x=3}$ и ${y+2=0},$ поэтому ${y=-2}.$

5. Найдите ${A+B}$ и ${A-B}$ для ${A=\begin{pmatrix}2&-3\\1&4\end{pmatrix}}$ и ${B=\begin{pmatrix}5&1\\-2&0\end{pmatrix}}.$

${A+B=\begin{pmatrix}7&-2\\-1&4\end{pmatrix}}$ и ${A-B=\begin{pmatrix}-3&-4\\3&4\end{pmatrix}}.$

6. Найдите ${3A-2B}$ для ${A=\begin{pmatrix}1&0&-2\\3&1&1\end{pmatrix}}$ и ${B=\begin{pmatrix}2&1&0\\-1&3&2\end{pmatrix}}.$

$3A-2B=\begin{pmatrix}3&0&-6\\9&3&3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4&2&0\\-2&6&4\end{pmatrix}$

${=\begin{pmatrix}-1&-2&-6\\11&-3&-1\end{pmatrix}}$

7. Найдите матрицу, транспонированную к $\begin{pmatrix}1&-2\\0&3\\5&4\end{pmatrix}.$

$\begin{pmatrix}1&0&5\\-2&3&4\end{pmatrix},$ матрица размера 2×3.

8. При каких значениях $a$ матрица $\begin{pmatrix}1&a^2\\4&0\end{pmatrix}$ симметрична?

Нужно, чтобы ${a^2=4},$ поэтому ${a=2}$ или ${a=-2}.$

9. Найдите $X,$ если ${X-2A=B},$ где ${A=\begin{pmatrix}1&-1\\2&0\end{pmatrix}}$ и ${B=\begin{pmatrix}3&2\\-4&1\end{pmatrix}}.$

$X=B+2A=\begin{pmatrix}3&2\\-4&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&-2\\4&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&0\\0&1\end{pmatrix}$

10. Докажите, что матрица ${A+A^T}$ симметрична для любой квадратной матрицы $A.$

По свойствам транспонирования ${(A+A^T)^T}={A^T+\left(A^T\right)^T}={A^T+A}={A+A^T}.$ Матрица равна своей транспонированной, значит, она симметрична.

Свои примеры можно проверить с помощью матричного калькулятора. Он складывает и вычитает матрицы, умножает их на число и транспонирует, показывая все шаги решения.