Гиперболические функции - sh, ch, th, cth, sech, csch

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Гиперболический синус
$\text{sh}\ x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$

Гиперболический косинус
$\text{ch}\ x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

Гиперболический тангенс
$\text{th}\ x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

Гиперболический котангенс
$\text{cth}\ x = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$

Гиперболический секанс
$\text{sech}\ x = \frac{2}{e^x + e^{-x}}$

Гиперболический косеканс
$\text{csch}\ x = \frac{2}{e^x - e^{-x}}$

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ

$\text{th}\ x = \frac{\text{sh}\ x}{\text{ch}\ x}$

$\text{cth}\ x = \frac{1}{\text{th}\ x} = \frac{\text{ch}\ x}{\text{sh}\ x}$

$\text{sech}\ x = \frac{1}{\text{ch}\ x}$

$\text{csch}\ x = \frac{1}{\text{sh}\ x}$

$\text{ch}^2x - \text{sh}^2x = 1$

$\text{sech}^2x + \text{th}^2x = 1$

$\text{cth}^2x - \text{csch}^2x = 1$

ФУНКЦИИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ АРГУМЕНТОВ

sh(-x) = -sh x

ch(-x) = ch x

th(-x) = -th x

csch(-x) = -csch x

sech(-x) = sech x

cth(-x) = -cth x

ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ

sh (x ± y) = sh x ch y ± ch x sh y

ch (x ± y) = ch x ch y ± sh x sh y

th(x ± y) = (th x ± th y)/(1 ± th x.th y)

cth(x ± y) = (cth x cth y ± l)/(cth y ± cth x)

ФОРМУЛЫ ДВОЙНЫХ УГЛОВ

sh 2x = 2 sh x ch x

ch 2x = ch2x + sh2x = 2 ch2x - 1 = 1 + 2 sh2x

th 2x = (2th x)/(1 + th2x)

ФОРМУЛЫ ПОЛОВИННЫХ УГЛОВ

$\text{sh} \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{\text{ch} x - 1}{2}}$ [+ если x > 0, - если x < 0]

$\text{ch} \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{\text{ch} x + 1}{2}}$

$\text{th} \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{\text{ch} x - 1}{\text{ch} x + 1}}$ [+ если x > 0, - если x < 0]

$= \frac{\text{sh} x}{\text{ch} x - 1} = \frac{\text{ch} x + 1}{\text{sh} x}$

ФОРМУЛЫ КРАТНОСТИ УГЛОВ

sh 3x = 3 sh x + 4 sh3 x

ch 3x = 4 ch3 x - 3 ch x

th 3x = (3 th x + th3 x)/(1 + 3 th2x)

sh 4x = 8 sh3 x ch x + 4 sh x ch x

ch 4x = 8 ch4 x - 8 ch2 x + 1

th 4x = (4 th x + 4 th3 x)/(1 + 6 th2 x + th4 x)

СТЕПЕНИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

sh2 x = ½ch 2x - ½

ch2 x = ½ch 2x + ½

sh3 x = ¼sh 3x - ¾sh x

ch3 x = ¼ch 3x + ¾ch x

sh4 x = 3/8 - ½ch 2x + 1/8ch 4x

ch4 x = 3/8 + ½ch 2x + 1/8ch 4x

СУММА, РАЗНИЦА И УМНОЖЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

sh x + sh y = 2 sh ½(x + y) ch ½(x - y)

sh x - sh y = 2 ch ½(x + y) sh ½(x - y)

ch x + ch y = 2 ch ½(x + y) ch ½(x - y)

ch x - ch y = 2 sh ½(x + y) sh ½(x - y)

sh x sh y =    ½(ch (x + y) - ch (x - y))

ch x ch y = ½(ch (x + y) + ch (x - y))

sh x ch y = ½(sh (x + y) + sh (x - y))

ВЫРАЖЕНИЕ ГИПЕРБОЛТЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ ДРУГИЕ

В следующем мы принимаем, что x > 0. Если x < 0 используем соответствующий знак, как указано формулами в разделе "Функции отрицательных аргументов"

~ $sh x = u$ $ch x = u$ $th x = u$ $cth x = u$ $sech x = u$ $esch x = u$
$sh x$ $u$ $\sqrt{u^2 - 1}$ $\frac{u}{\sqrt{1 - u^2}}$ $\frac{1}{\sqrt{u^2 - 1}}$ $\frac{\sqrt{1 - u^2}}{u}$ $\frac{1}{u}$
$ch x$ $\sqrt{1 + u^2}$ $u$ $\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$ $\frac{u}{\sqrt{u^2 - 1}}$ $\frac{1}{u}$ $\frac{\sqrt{1 + u^2}}{u}$
$th x$ $\frac{u}{\sqrt{1 + u^2}}$ $\frac{\sqrt{u^2 - 1}}{u}$ $u$ $\frac{1}{u}$ $\sqrt{1 - u^2}$ $\frac{1}{\sqrt{1 + u^2}}$
$cth x$ $\frac{\sqrt{1 + u^2}}{u}$ $\frac{u}{\sqrt{u^2 - 1}}$ $\frac{1}{u}$ $u$ $\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$ $\sqrt{1 + u^2}$
$sech x$ $\frac{1}{\sqrt{1 + u^2}}$ $\frac{1}{u}$ $\sqrt{1 - u^2}$ $\frac{\sqrt{u^2 - 1}}{u}$ $u$ $\frac{u}{\sqrt{1 + u^2}}$
$esch x$ $\frac{1}{u}$ $\frac{1}{\sqrt{u^2 - 1}}$ $\frac{\sqrt{1 - u^2}}{u}$ $\sqrt{u^2 - 1}$ $\frac{u}{\sqrt{1 - u^2}}$ $u$

ГРАФИКИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

y = sh x
y = ch x

 

y = th x
y = cth x

 

y = sech x
y = csch x

ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Если x = sh y, тогда y = sh-1 a называется обратным гиперболическим синусом of x. Аналогично определяются и другие обратные гиперболические функции. Обратные гиперболические функции являются многозначными, но в случае обратных тригонометрических функций мы ограничимся основными значениями, при которых их можно рассматривать как однозначные.

Ниже приведен список основных значений [если не указано иное] обратных гиперболических функций, выраженных через логарифмические функции, которые принимаются в качестве вещественных.

$\text{sh}^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$   $-\infty < x < \infty$

$\text{ch}^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$ $x \geq l$ [$\text{ch}^{-1} x > 0$]

$\text{th}^{-1} x = \frac{1}{2} \ln\frac{(1 + x)}{(1 - x)}$   $- 1 < x < 1$

$\text{cth}^{-1} x = \frac{1}{2} \ln\frac{(x + 1)}{(x - 1)}$   $x > 1$ или $x < -1$

$sech^{-1} x = \ln(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1})$   $0 < x \leq l$ [$sech^{-1} x > 0$]

$csch^{-1} x = \ln(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1})$   $x \neq 0$

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ОБРАТНЫМИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ

csch-1 x = sh-1 (1/x)

sech-1 x = ch-1 (1/x)

cth-1 x = th-1 (1/x)

sh-1(-x) = -sh-1x

th-1(-x) = -th-1x

cth-1 (-x) = -cth-1x

csch-1 (-x) = -csch-1x

ГРАФИКИ ОБРАТНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

y = sh-1x
y = ch-1x

 

y = th-1x
y = cth-1x

 

y = sech-1x
y = csch-1x

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ и ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ

sin(ix) = i sh x cos(ix) = ch x tan(ix) = i th x
csc(ix) = -i csch x sec(ix) = sech x cot(ix) = -i cth x
sh(ix) = i sin x ch(ix) = cos x th(ix) = i tan x
csch(ix) = -i csc x sech(ix) = sec x cth(ix) = -i cot x

ПЕРИОДИЧНОСТЬ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

In the following k is any integer.

sh (x + 2kπi) = sh x     csch (x + 2kπi) = csch x

ch (x + 2kπi) = ch x     sech (x + 2kπi) = sech x

th (x + kπi) = th x     cth (x + kπi) = cth x

ОТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ОБРАТНЫМИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ И ОБРАТНЫМИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ

sin-1 (ix) = ish-1x sh-1(ix) = i sin-1x
cos-1 x = ±i ch-1 x ch-1x = ±i cos-1x
tan-1(ix) = i th-1x th-1(ix) = i tan-1x
cot-1(ix) = -i cth-1x cth-1 (ix) = -i cot-1x
sec-1 x = ±i sech-1x sech-1 x = ±i sec-1x
csc-1(ix) = -i csch-1x csch-1(ix) = -i csc-1x

Электронная почта:

© 2005 - 2024
Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратится в компетентные органы.