МенюАлгебра
Основные формулы
Самые нужные правила алгебры на одной странице. Подробности и решённые задачи — в уроке к каждой группе.
Раскрытие скобок
| Правило | Формула |
|---|---|
| Минус перед минусом | $-(-a)=a$ |
| Минус перед скобками | ${-(a+b)}={-a-b},$ ${-(a-b)}={-a+b}$ |
| Умножение на сумму | ${a(b+c)}={ab+ac}$ |
| Произведение двух сумм | ${(a+b)(c+d)}={ac+ad+bc+bd}$ |
Формулы сокращённого умножения
| Правило | Формула |
|---|---|
| Квадрат суммы | ${(a+b)^2}={a^2+2ab+b^2}$ |
| Квадрат разности | ${(a-b)^2}={a^2-2ab+b^2}$ |
| Разность квадратов | ${a^2-b^2}={(a-b)(a+b)}$ |
| Куб суммы | ${(a+b)^3}={a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}$ |
| Куб разности | ${(a-b)^3}={a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}$ |
| Сумма кубов | ${a^3+b^3}={(a+b)(a^2-ab+b^2)}$ |
| Разность кубов | ${a^3-b^3}={(a-b)(a^2+ab+b^2)}$ |
Сумма квадратов $a^2+b^2$ на множители не раскладывается (в действительных числах). Не путайте: ${(a+b)^2\ne a^2+b^2}.$ Подробнее в уроке Формулы сокращённого умножения.
Дроби
Все знаменатели отличны от нуля.
| Правило | Формула |
|---|---|
| Основное свойство дроби | ${\frac{a}{b}}={\frac{a\cdot k}{b\cdot k}},$ $k\ne 0$ |
| Сложение и вычитание | ${\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}}={\frac{ad\pm bc}{bd}}$ |
| Умножение | ${\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}}={\frac{ac}{bd}}$ |
| Деление | ${\frac{a}{b}:\frac{c}{d}}={\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}}={\frac{ad}{bc}},$ $c\ne 0$ |
| Знак дроби | ${\frac{-a}{b}}={\frac{a}{-b}}={-\frac{a}{b}},$ ${\frac{-a}{-b}}={\frac{a}{b}}$ |
| Нуль в числителе | ${\frac{0}{b}}=0$ |
| Нуль в знаменателе | $\frac{a}{0}$ не имеет смысла: на 0 делить нельзя |
| Многоэтажная дробь | ${\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}}={\dfrac{ad}{bc}},$ ${\dfrac{a}{\frac{b}{c}}}={\dfrac{ac}{b}}$ |
Степени
Здесь $a\ne 0,$ $b\ne 0,$ а $m$ и $n$ — целые числа.
| Правило | Формула |
|---|---|
| Произведение степеней с одинаковыми основаниями | ${a^m\cdot a^n}={a^{m+n}}$ |
| Частное степеней с одинаковыми основаниями | ${a^m:a^n}={a^{m-n}}$ |
| Возведение степени в степень | ${(a^m)^n}={a^{mn}}$ |
| Степень произведения | ${(ab)^n}={a^nb^n}$ |
| Степень частного | ${\left(\frac{a}{b}\right)^n}={\frac{a^n}{b^n}}$ |
| Нулевой показатель | ${a^0}=1$ |
| Отрицательный показатель | ${a^{-n}}={\frac{1}{a^n}},$ ${\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}}={\left(\frac{b}{a}\right)^{n}}$ |
| Основания 1 и 0 | ${1^n}=1;$ ${0^n}=0$ при $n\gt 0,$ а $0^0$ и $0^{-n}$ не имеют смысла |
Подробнее в уроке Степень.
Корни
При чётном $n$ подкоренные выражения должны быть неотрицательными: квадратный корень из отрицательного числа не является действительным числом.
| Правило | Формула |
|---|---|
| Определение | ${\left(\sqrt[n]{a}\right)^n}=a$ |
| Корень из степени | ${\sqrt{a^2}}={|a|},$ ${\sqrt[n]{a^n}}=a$ при $a\ge 0$ |
| Корень из произведения | ${\sqrt[n]{ab}}={\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}}$ |
| Корень из частного | ${\sqrt[n]{\frac{a}{b}}}={\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}},$ $b\ne 0$ |
| Корень из корня | ${\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}}={\sqrt[mn]{a}}$ |
| Дробный показатель | ${a^{\frac{m}{n}}}={\sqrt[n]{a^m}}={\left(\sqrt[n]{a}\right)^m},$ $a\gt 0$ |
Подробнее в уроке Корень.
Модуль
| Правило | Формула |
|---|---|
| Определение | $|x|=x$ при $x\ge 0;$ $|x|=-x$ при $x\lt 0$ |
| Модуль противоположного числа | ${|-a|}={|a|}$ |
| Модуль произведения и частного | ${|ab|}={|a|\cdot|b|},$ ${\left|\frac{a}{b}\right|}={\frac{|a|}{|b|}},$ $b\ne 0$ |
| Уравнение и неравенство | ${|x|=a}\iff{x=\pm a}$ при $a\ge 0;$ ${|x|\lt a}\iff{-a\lt x\lt a}$ |
Подробнее в уроке Модуль.
Логарифмы
Здесь $a\gt 0,$ $a\ne 1,$ $x\gt 0$ и $y\gt 0.$
| Правило | Формула |
|---|---|
| Определение | ${\log_a x=b}\iff{a^b=x}$ |
| Логарифм единицы и основания | ${\log_a 1}=0,$ ${\log_a a}=1$ |
| Логарифм произведения | ${\log_a(xy)}={\log_a x+\log_a y}$ |
| Логарифм частного | ${\log_a\frac{x}{y}}={\log_a x-\log_a y}$ |
| Логарифм степени | ${\log_a x^n}={n\log_a x}$ |
| Переход к другому основанию | ${\log_a x}={\frac{\log_b x}{\log_b a}},$ $b\gt 0,$ $b\ne 1$ |
Подробнее в уроке Логарифм.
Факториал
| Правило | Формула |
|---|---|
| Определение | ${n!}={1\cdot 2\cdot 3\cdots n}$ при $n\ge 1$ |
| Факториал нуля | ${0!}=1$ |
| Рекуррентная формула | ${(n+1)!}={(n+1)\cdot n!}$ |
