Параметрические уравнения

Уравнение, которое кроме неизвестной величины содержит также другую дополнительную величину, которая может принимать различные значения из некоторой области, называется параметрическим. Эта дополнительная величина в уравнении называется параметр . На самом деле с каждым параметрическим уравнением может быть написано множество уравнений. Мы рассмотрим модуль параметрического уравнения и решение простых параметрических уравнений.


Задача 1 Решите уравнения в отношении к $x$
A) $x + a = 7$
B) $2x + 8a = 4$
C) $x + a = 2a – x$
D) $ax = 5$
E) $a – x = x + b$
F) $ax = 3a$

Решение:

A) $x + a = 7 \Leftrightarrow x = 7 – a$, то есть решение к данному уравнению найдено.
Для различных значений параметров, решения есть $x = 7 – a$

B) $2x + 8a = 4 \Leftrightarrow 2x = 4 - 8a \Leftrightarrow x = 2 – 4a$

C) $x + a = 2a – x \Leftrightarrow x + x = 2a – a \Leftrightarrow 2x = a \Leftrightarrow x = \frac{a}{2}$

D) $ax = 5$, когда а отличается от 0 мы можем разделить обе части на a и мы получим $x = 5$
Если $a = 0$, мы получим уравнение, такое как $0.x = 5$, и которое не имеет решения;

E) $a – x = x + b \Leftrightarrow a – b = x + x \Leftrightarrow 2x = a – b \Leftrightarrow x = \frac{a-b}{2}$

F) Когда a = 0 уравнение ax = 3a равно 0.x = 0
Поэтому, любое x является решением. Если a отличается от 0, тогда
$ax = 3a \Leftrightarrow x = \frac{3a}{a} \Leftrightarrow x = 3$


Задача 2 Если a является параметром, решите уравнение:
A) $(a + 1)x = 2a + 3$
B) $2a + x = ax + 4$
C) $a^2x – x = a$
D) $a^2x + x = a$

Решение:

A) Если $a + 1$ отлично от 0, то есть.. $a \neq -1$,
тогда $x = \frac{2a+3}{a+1}$;
если $a + 1 = 0$, i.e. $a = - 1$
уравнение принимает вид $0\cdot x = (2)\cdot(-1) + 3 \Leftrightarrow$
$0\cdot x = 1$, что не имеет решения;

B) $2a + x = ax + 4 \Leftrightarrow$
$x – ax = 4 - 2a \Leftrightarrow$
$(1 – a)\cdot x = 2(2 – a)$
Если $(1 – a) \neq 0$, то есть a $\neq 1$; решение будет
$x = \frac{2(2 - a)}{(1 - a)}$;
Если $a = 1$ уравнение примет вид $0\cdot x = 2(2 - 1) \Leftrightarrow$
$0\cdot x = 2$, что не имеет решения

C) $a^2x – x = a \Leftrightarrow$
$x(a^2 -1) = a \Leftrightarrow$
$(a - 1)(a + 1)x = a$
Если $a - 1 \neq 0$ и $a + 1 \neq 0$ то есть $a \neq 1, -1$,
решением есть is $x = \frac{a}{(a - 1)(a + 1)}$
Если $a = 1$ or $a = -1$, уравнение принимает вид is $0\cdot x = \pm 1$, что не имеет решения

D) $a^2x + x = a \Leftrightarrow$
$(a^2 + 1)x = a$
В этом случае $a^2 + 1 \neq 0$ для любого $а$, потому что это есть сумма позитивного числа (1) и одного негативного числа
$(a^2 \geq 0)$ поэтому $x = \frac{a}{a^2 + 1}$


Задача 3 Если a and b являются параметрами, решите уравнения:
A) $ax + b = 0$
B) $ax + 2b = x$
C) $(b - 1)y = 1 – a$
D) $(b^2 + 1)y = a + 2$

Решение:

A) $ax + b = 0 \Leftrightarrow ax = -b$
Если $a \neq 0$, тогда решение есть $x = -\frac{b}{a}$.
Если $a = 0, b \neq 0$, уравнение принимает вид $0\cdot x = -b$ и не имеет решения.
Если $a = 0$ и $b = 0$, уравнение принимает вид $0\cdot x = 0$ и любое $x$ является решением;

B) $ax + 2b = x \Leftrightarrow ax – x = -2b \Leftrightarrow (a - 1)x = -2b$
Если $a - 1 \neq 0$, i.e. $a \neq 1$, решение есть is $x = -\frac{2b}{a-1}$
Если $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$, и $b \neq 0$, уравнение принимает вид $0\cdot x = - 2b$ и не имеет решения

C) Если $b - 1 \neq 0$, то есть $b \neq 1$,
решением есть $y = \frac{1-a}{b-1}$
Если $b - 1 = 0$, то есть $b = 1$, но $1 – a \neq 0$,
то есть $a \neq 1$, уравнение принимает вид $0\cdot y = 1 – a$ и не имеет решения.
Если $b = 1$ и $a = 1$ уравнение принимает вид $0\cdot y = 0$ и любое $y$ является решением

D) $b^2 + 1 \neq 0$ для любого $b$(почему?), поэтому
$y = \frac{a+2}{b^2}$ является решением уравнения.


Задача $4$ Для каких значений $x$ следующие выражения имеют равные значения :
A) $5x + a$ и $3ax + 4$
B) $2x - 2$ и $4x + 5a$

Решение:

Чтобы получить одинаковые значения мы должны найти решения уравнений
$5x + a = 3ax + 4$ и $2x – 2 = 4x + 5a$

A) $5x + a = 3ax + 4 \Leftrightarrow$
$5x - 3ax = 4 – a \Leftrightarrow$
$(5 - 3a)x = 4 – a$
Если $5 - 3a \neq 0$, т.e. $a \neq \frac{5}{3}$, решения есть $x = \frac{4-a}{5-3a}$
Если $5 - 3a = 0$, т.e. $a = \frac{5}{3}$, уравнение принимает вид $0\cdot x = 4 – \frac{5}{3} \Leftrightarrow$
$0\cdot x = \frac{7}{3}$, что не имеет решения

B) $2x - 2 = 4x + 5a \Leftrightarrow$
$-2 - 5a = 4x - 2x \Leftrightarrow$
$2x = - 2 - 5a \Leftrightarrow$
$x = -\frac{2+5a}{2}$


Задача 5 Решите параметрическое уравнение:
A) $|ax + 2| = 4$
B) $|2x + 1| = 3a$
C) $|ax + 2a| = 3$

Решение:

A) $|ax + 2| = 4 \Leftrightarrow ax + 2 = 4$ или $ax + 2 = -4 \Leftrightarrow$
$ax = 2$ или $ax = - 6$
Если $a \neq 0$, уравнения примут вид $x = \frac{2}{a}$ or $x = -\frac{6}{a}$
Если $a = 0$, уравнения не имею решения

B) Если $a < 0$, уравнение $|2x + 1| = 3a$ не имеет решения.
Если $a > 0$, это эквивалентно $2x + 1 = 3a$
или $2x + 1 = -3a \Leftrightarrow 2x = 3a - 1 \Leftrightarrow x = \frac{3a-1}{2}$ or
$2x = -3a - 1 \Leftrightarrow x = \frac{3a-1}{2} = -\frac{3a-1}{2}$

C) $|ax + 2a| = 3 \Leftrightarrow ax + 2a = 3$ или $ax + 2a = - 3$,
и мы находим $ax = 3 - 2a$ или $ax = -3 - 2a$
Если a = 0, тогда нет решений, если $a \neq 0$
решениями есть: $x = \frac{3-2a}{a}$ и $x = -\frac{3+2a}{a}$


Задача 6 Решите уравнение $2 – x = 2b – 2ax$, где a и b являются действительными параметрами. Найдите, для каких значениях a уравнение имеет в качестве решения натуральное число, если $b = 7$

Решение:

Представим данное уравнение в следующем виде: $(2a - 1)x = 2(b - 1)$
Возможны следующие варианты:
Если $2a - 1 \neq 0$, т.e. $a \neq \frac{1}{2}$, уравнение имеет единственное решение
$x = \frac{2(b-1)}{2a-1}$
Если $a = \frac{1}{2}$ и $b = 1$, уравнение получает вид $0\cdot x = 0$ и любое $x$ является решением
Если $a = \frac{1}{2}$ и $b \neq 1$, мы получаем $0\cdot x = 2(b - 1)$, где $2(b - 1) \neq 0$
В этом случае уравнение не имеет решения.
Если $b = 7$ и $a \neq \frac{1}{2}$ является единственным решением
$x = \frac{2(7-1)}{2a-1} = \frac{12}{2a-1}$
Если a целое число, тогда $2a - 1$ также есть целым числом и решением есть
$x = \frac{12}{2a-1}$ является натуральным числом когда
$2a - 1$ есть положительным делителем для числа $12$.
Чтобы a было целым числом, делитель числа $12$ должен быть нечетным. Но только $1$ и $3$ являются положительными нечетными числами, на которые делится12
Поэтому $2a - 1 = 3 \Leftrightarrow a = 2$ или $2a - 1 = 1 \Leftrightarrow$
$a = 1 a = 2$ или $2a - 1 = 1 \Leftrightarrow a = 1$


Задача 7 Решите уравнение $|ax - 2 – a| = 4$, где a является параметром. Найдите, для каких значениях а корнями уравнения являются целые отрицательные числа.

Решение:

Из определения модуля мы получаем
$|ax - 2 – x| = 4 \Leftrightarrow ax - 2 – x = 4$ или $ax - 2 – x = - 4$
Из первого равенства мы получаем $x(a - 1) - 2 = 4 \Leftrightarrow$
$(a - 1)x = 4 + 2 \Leftrightarrow (a - 1)x = 6$
Из второго равенства мы получаем $(a - 1)x = -2$
Если $a - 1 = 0$, т.e. $a = 1$, последнее уравнение не имеет решения.
Если $a \neq 1$ мы находим, что $x = \frac{6}{a-1}$ или $x = -\frac{2}{a-1}$
Чтобы эти корни были целыми отрицательными числами, должно выполняться следующее:
Для первого равенство $a - 1$ должно быть отрицательным делителем 6, и для второго - положительным делителям 2
Тогда $a - 1 = -1; -2; -3; - 6$ или $a - 1 = 1; 2$
Мы получаем $a - 1 = -1 \Leftrightarrow a = 0; a - 1 = -2 \Leftrightarrow$
$a = -1; a - 1 = -3 \Leftrightarrow a = -2; a - 1 = -6 \Leftrightarrow a = -5$
или $a - 1 = 1 \Leftrightarrow a = 2; a - 1 = 2 \Leftrightarrow a = 3$
Тогда $a = -5; -2; -1; 0; 2; 3$ являются решениями задачи.


Задача 8 Решите уравнение:
A) $3ax – a = 1 – x$, где a это параметр;
B) $2ax + b = 2 + x$, где a и b являются параметрами

Решение:

A) $3ax + x = 1 + a \Leftrightarrow (3a + 1)x = 1 + a$.
Если $3a + 1 \neq 0$, т.e. $a \neq -11 /3 /3$ , решение есть
$x = \frac{1+a}{3a+1}$
Если $a = -\frac{1}{3}$ уравнение принимает вид $0\cdot x = \frac{1.1}{3}$, что не имеет решения.

B) $2ax – x = 2 – b \Leftrightarrow (2a - 1)x = 2 – b$
Если $2a - 1 \neq 0$, т.e. $a \neq \frac{1}{2}, x = \frac{2-b}{2a-1}$ является решением.
Если $a = \frac{1}{2}$ уравнение принимает вид $0.x = 2 – b$
Тогда, если $b = 2$, любое x является решением, если $b \neq 2$, уравнение не имеет решения.


Задача 9 Дано уравнение $6(kx - 6) + 24 = 5kx$ , где к - целое число. Найдите, для каких значений k уравнение:
A) имеет корень $-\frac{4}{3}$
B) не имеет решения;
C) имеет корень как натуральное число.

Решение:

Перепишем уравнение в виде $6kx - 36 + 24 = 5kx \Leftrightarrow kx = 12$

A) Если $x = -\frac{4}{3}$, для k мы получим уравнение $-\frac{4}{3k} = 12 \Leftrightarrow k = - 9$

B) Уравнение $kx = 12$ не имеет решения, когда $k = 0$

C) Когда $k \neq 0$ является корнем $x = \frac{12}{k}$ и это натуральное число, если k есть целым положительным числом, на которое делится 12, т.e. $k = 1, 2, 3, 4, 6, 12$


Задача 10 Решите уравнение:
A) $2ax + 1 = x + a$, где a является параметром;
B) $2ax + 1 = x + b$, где a и b являются параметрами.

Решение:

A) $2ax + 1 = x + a \Leftrightarrow 2ax – x = a - 1 \Leftrightarrow$
$(2a - 1)x = a - 1$
Если $2a - 1 \neq 0$, т.e. $a \neq \frac{1}{2}$, единственным решением уравнения является
$x = \frac{a-1}{2a-1}$
Если $2a - 1 = 0$, т.e. $a = \frac{1}{2}$, уравнение принимает вид
$0.x = \frac{1}{2}- 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac{1}{2}$, что не имеет решения

B) $2ax + 1 = x + b \Leftrightarrow$
$2ax – x = b - 1 \Leftrightarrow$
$(2a - 1)x = b - 1$
Если $2a - 1 \neq 0$, т.e. $a \neq \frac{1}{2}$, решением является
$x = \frac{b-1}{2a-1}$
Если $a = \frac{1}{2}$, уравнения эквивалентно $0.x = b - 1$
Если b = 1 любое x является решением, если $b \neq 1$ тогда нет решения.


Задача 11 Дано уравнение $3(ax - 4) + 4 = 2ax$, где параметром является целым числом. Найдите, для каких значений a уравнение в качестве корней имеет:
А) $\left(-\frac{2}{3}\right)$
B) целое число
C) натуральное число

Решение:

A) Если $x = -\frac{2}{3}$ есть решением уравнения, тогда должно быть истинным
$3\left[a\left(-\frac{2}{3}\right) - 4\right] + 4 = 2a\left(-\frac{2}{3}\right) \Leftrightarrow$
$-2a - 12 + 4 = -\frac{4a}{3} \Leftrightarrow$
$\frac{4a}{3} - 2a = 8 \Leftrightarrow \frac{4a-6a}{3} = 8 \Leftrightarrow$
$-\frac{2a}{3} = 8 \Leftrightarrow a = -12$

B) $3(ax - 4) + 4 = 2ax \Leftrightarrow 3ax - 2ax = 12 - 4 \Leftrightarrow ax = 8$
Если $a \neq 0$ решением является $x = \frac{8}{a}$, это целое число, если а является делимым числа $8$.
Поэтому; $±2; ±4; ±8$
Если $a=0$, уравнение не имеет решения

C) Чтобы получить натуральное (целое положительное) число для этого решения $x=\frac{8}{a}$ число должно равняться: $a=1, 2, 4, 8$


Задача 12 Дано уравнение $2 – x = 2b – 2ax$, где $a$ и $b$ - параметры. Найдите, для каких значений a уравнение имеет решения в виде натурального числа, если $b = 7$

Решение:

В уравнение мы подставляем $b = 7$ и получаем $2 – x = 2.7 - 2ax \Leftrightarrow$
$2ax – x = 14 – 2 \Leftrightarrow (2a - 1)x = 12$
Если $2a -1 \neq 0$, т.e. $a \neq \frac{1}{2}$, уравнение примет вид
$x = \frac{12}{2a-1}$ и это будет натуральное число, если знаменатель $2a - 1$ есть положительным делимым $12$ и кроме того, чтобы оно было целым числом, необходимо, чтобы $2a - 1$ было нечетным числом.
Поэтому $2a - 1$ может быть $1$ или $3$
Из $2a - 1 = 1 \Leftrightarrow 2a = 2 \Leftrightarrow a = 1$ и $2a - 1 = 3$
$\Leftrightarrow 2a = 4 \Leftrightarrow a = 2$


Задача 13 Дана функция $f(x) = (3a - 1)x - 2a + 1$, где a - параметр. Найдите, для каких значений a график функции:
А) пересекает ось абсцисс;
B) пересекает ось абсцисс

Решение:

Чтобы график функции пересёк ось абсцисс, необходимо, чтобы
$(3a - 1)\cdot x -2a + 1 = 0$ имело решения и не имело решения для непересечения оси абсцисс.
С уравнения мы получаем $(3a - 1)x = 2a - 1$
Если $3a - 1 \neq 0$, т.e. $a \neq \frac{1}{3}$, уравнение имеет решения
$x = \frac{2a-1}{3a-1}$, поэтому график функции пересекает ось абсцисс.
Если $a = \frac{1}{3}$, мы получаем $0.x = \frac{2}{3} - 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac{1}{3}$, что не имеет решения.
Поэтому, если $a = \frac{1}{3}$, график функций не пересекает ось абсцисс.


Задача 14 Решите параметрическое уравнение:
A) $|x -2| = a$
B) $|ax -1| = 3$
C) $|ax - 1| = a - 2$

Решение:

A) Если $a < 0$, уравнение не имеет решения, если $a > 0$ мы получаем:
$|x - 2| = a \Leftrightarrow x - 2 = a$ или $x - 2 = -a$
Из $x - 2 = a \Rightarrow x = a + 2$, и из
$x - 2 = -a \Rightarrow x = 2 – a$
Если $a = 0$, тогда $x - 2 = 0$ или $x = 2$

B) $|ax - 1| = 3 \Leftrightarrow ax - 1 = 3$ или $ax - 1 = -3$
откуда $ax = 4$ или $ax = - 2$
Если $a \neq 0$ решения: $x = \frac{4}{a}$ or $x = -\frac{2}{a}$
Если $a = 0$, здесь нет решения

C) Если $a - 2 < 0$, т.e. $a < 2$, уравнение не имеет решения
Если $a - 2 > 0$, т.e. $a > 2$ мы получаем
$|ax - 1| = a - 2 \Leftrightarrow ax - 1 = a - 2$ или $ax - 1 = 2 – а$
Итак, мы получаем $ax = a - 1$ или $ax = 3 – a$
Потому что $a > 2, a \neq 0$, therefore
$x = \frac{a-1}{a}$ или $x = \frac{3-a}{a}$.
Если $a = 2$, уравнения эквивалентно
$2x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$


Задача 15 Найдите, для каких значений параметра m (a), два уравнения эквивалентны:
A) $\frac{x+m}{2} = 1 – m$ и $(-x - 1) ^2 - 1 = x^2$
B) $\frac{x+m}{2} = 1 – m$ и $\frac{x-m}{3} = 1 - 2m$
C) $|3 – x| + x^2 -5x + 3 = 0$ и $ax + 2a = 1 + x$, если $x > 3$

Решение:

A) Решим второе уравнение. Запишем его в виде:
$(-x - 1)^2 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$[(-1)(x + 1) ]^2 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$x^2 + 2x + 1 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$2x = 0 \Leftrightarrow x = 0$
Для первого мы получим
$\frac{x+m}{2} = 1 – m \Leftrightarrow x + m = 2 - 2m \Leftrightarrow x = 2 - 3m$
Эти два уравнения эквивалентны, если они имеют одинаковые корни, т.e.
$2 - 3m = 0 \Leftrightarrow$ $m = \frac{2}{3}$

B) Для первого уравнения решением есть $х = 2 - 3m$ и для второго мы получим
$x – m = 3 - 6m \Leftrightarrow$ $x = 3 – 5m$
Они имеют одинаковые корни, когда
$2 - 3m = 3 - 5m \Leftrightarrow 5m - 3m = 3 - 2 \Leftrightarrow 2m = 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$

C) Так как $x > 3, 3 – x < 0,$ поэтому
$|3 – x| = -(3 – x) = x - 3$
Первое уравнение будет выглядеть так: $x - 3 + x^2 – 5x + 3 = 0 \Leftrightarrow$
$x^2 - 4x – 0 \Leftrightarrow x(x - 4) = 0 \Leftrightarrow$
$x = 0$ или $x = 4$
С условием, что $х> 3$, поэтому только $x = 4$ есть решением. Для второго уравнения мы получаем
$ax – x = 1 - 2a \Leftrightarrow (a - 1)x = 1 - 2a$
Если $a - 1 = 0$, здесь нет решения (Почему?), если $a - 1 \neq 0$, i.e. $a \neq 1$, решением есть
$x = \frac{1-2a}{a-1}$ Эти два уравнения будут равны, если $4 = \frac{1-2a}{a-1} \Leftrightarrow$ $4(a - 1) = 1 - 2a \Leftrightarrow 4a + 2a = 1 + 4 \Leftrightarrow 6a = 5 \Leftrightarrow a = \frac{5}{6}$


Электронная почта:

© 2005 - 2020
Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратится в компетентные органы.