Линейные уравнения с параметром

Уравнение может содержать, кроме неизвестного $x$, ещё одну букву, например $a$, которая обозначает данное число, способное принимать разные значения. Такая буква называется параметром. Уравнение с параметром — это, по сути, целое семейство уравнений, по одному для каждого значения параметра, и решить его — значит найти его корни при каждом значении параметра. Такие уравнения иногда называют параметрическими, хотя обычно так называют уравнения кривой, например ${x=\cos t}$, ${y=\sin t}$.

Любое линейное уравнение с параметром можно привести к виду ${Ax=B}$, где $A$ и $B$ зависят от параметра. Возможны три случая:

Случай	Корни
${A\ne 0}$	один корень, ${x=\frac{B}{A}}$
${A=0}$ и ${B=0}$	любое число является корнем
${A=0}$ и ${B\ne 0}$	корней нет

Поэтому главный шаг — найти значения параметра, при которых коэффициент при $x$ равен нулю, и рассмотреть их отдельно. Простейшие случаи разобраны в уроке Решение линейных уравнений.

Задача 1

Решите уравнение относительно $x$:

А) ${x+a=7}$   Б) ${2x+8a=4}$   В) ${x+a=2a-x}$
Г) ${ax=5}$   Д) ${a-x=x+b}$   Е) ${ax=3a}$

Решение:

А) ${x=7-a}$. При любом значении $a$ уравнение имеет один корень ${7-a}$.

Б) ${2x=4-8a}$, откуда ${x=2-4a}$.

В) ${{x+x}={2a-a}}$, откуда ${2x=a}$ и ${x=\frac{a}{2}}$.

Г) При ${a\ne 0}$ разделим на $a$: ${x=\frac{5}{a}}$. При ${a=0}$ уравнение имеет вид ${0\cdot x=5}$ и не имеет корней.

Д) ${{a-b}={x+x}}$, откуда ${2x=a-b}$ и ${x=\frac{a-b}{2}}$.

Е) При ${a\ne 0}$ разделим на $a$: ${x=3}$. При ${a=0}$ уравнение имеет вид ${0\cdot x=0}$, и любое число является корнем.

Задача 2

Решите уравнение, где $a$ — параметр:

А) ${(a+1)x=2a+3}$   Б) ${2a+x=ax+4}$
В) ${a^2x-x=a}$   Г) ${a^2x+x=a}$

Решение:

А) Если ${a+1\ne 0}$, т. е. ${a\ne -1}$, то ${x=\frac{2a+3}{a+1}}$. Если ${a=-1}$, уравнение имеет вид ${0\cdot x=2\cdot(-1)+3}$, т. е. ${0\cdot x=1}$, и не имеет корней.

Б) ${{x-ax}={4-2a}}$, т. е. ${(1-a)x=2(2-a)}$. Если ${a\ne 1}$, то ${x=\frac{2(2-a)}{1-a}}$. Если ${a=1}$, уравнение имеет вид ${0\cdot x=2}$ и не имеет корней.

В) ${(a^2-1)x=a}$, т. е. ${(a-1)(a+1)x=a}$. Если ${a\ne 1}$ и ${a\ne -1}$, то ${x=\frac{a}{(a-1)(a+1)}}$. Если ${a=1}$ или ${a=-1}$, уравнение имеет вид ${0\cdot x=1}$ или ${0\cdot x=-1}$ и не имеет корней.

Г) ${(a^2+1)x=a}$. Так как ${a^2\ge 0}$, коэффициент ${a^2+1}$ не меньше 1 и никогда не равен нулю. Поэтому при любом $a$ корень равен ${x=\frac{a}{a^2+1}}$.

Задача 3

Решите уравнение, где $a$ и $b$ — параметры:

А) ${ax+b=0}$   Б) ${ax+2b=x}$
В) ${(b-1)y=1-a}$   Г) ${(b^2+1)y=a+2}$

Решение:

А) ${ax=-b}$.

• При ${a\ne 0}$ корень ${x=-\frac{b}{a}}$.
• При ${a=0}$ и ${b\ne 0}$ уравнение имеет вид ${0\cdot x=-b}$, где ${-b\ne 0}$: корней нет.
• При ${a=0}$ и ${b=0}$ получаем ${0\cdot x=0}$: любое число является корнем.

Б) ${{ax-x}={-2b}}$, т. е. ${(a-1)x=-2b}$.

• При ${a\ne 1}$ корень ${x=-\frac{2b}{a-1}}$.
• При ${a=1}$ и ${b\ne 0}$ уравнение имеет вид ${0\cdot x=-2b}$, где ${-2b\ne 0}$: корней нет.
• При ${a=1}$ и ${b=0}$ получаем ${0\cdot x=0}$: любое число является корнем.

В)

• При ${b\ne 1}$ корень ${y=\frac{1-a}{b-1}}$.
• При ${b=1}$ и ${a\ne 1}$ уравнение имеет вид ${0\cdot y=1-a}$, где ${1-a\ne 0}$: корней нет.
• При ${b=1}$ и ${a=1}$ получаем ${0\cdot y=0}$: любое число является корнем.

Г) ${b^2+1\ge 1}$ при любом $b$, поэтому коэффициент при $y$ никогда не равен нулю и ${y=\frac{a+2}{b^2+1}}$ при любых $a$ и $b$.

Задача 4

При каких значениях $x$ два выражения принимают равные значения? Здесь $a$ — параметр.

А) ${5x+a}$ и ${3ax+4}$
Б) ${2x-2}$ и ${4x+5a}$

Решение: Выражения равны при корнях уравнения, которое получится, если поставить между ними знак равенства.

А) ${{5x+a}={3ax+4}}$, откуда ${{5x-3ax}={4-a}}$ и ${(5-3a)x=4-a}$. Если ${a\ne\frac{5}{3}}$, то ${x=\frac{4-a}{5-3a}}$. Если ${a=\frac{5}{3}}$, уравнение имеет вид ${0\cdot x=4-\frac{5}{3}}$, т. е. ${0\cdot x=\frac{7}{3}}$, и не имеет корней: выражения никогда не равны.

Б) ${{2x-2}={4x+5a}}$, откуда ${{-2-5a}={4x-2x}}$ и ${2x=-2-5a}$. При любом $a$ ${x=-\frac{2+5a}{2}}$.

Задача 5

Решите уравнение, где $a$ — параметр:

А) ${|ax+2|=4}$   Б) ${|2x+1|=3a}$   В) ${|ax+2a|=3}$

Решение: Уравнение с модулем ${|X|=c}$, где ${c>0}$, распадается на ${X=c}$ или ${X=-c}$. См. уравнения с модулем.

А) ${ax+2=4}$ или ${ax+2=-4}$, т. е. ${ax=2}$ или ${ax=-6}$. При ${a\ne 0}$ корни ${x=\frac{2}{a}}$ и ${x=-\frac{6}{a}}$. При ${a=0}$ уравнение имеет вид ${|2|=4}$, что неверно: корней нет.

Б) Модуль числа никогда не бывает отрицательным.

• При ${a<0}$ уравнение не имеет корней.
• При ${a=0}$ получаем ${|2x+1|=0}$, откуда ${2x+1=0}$ и ${x=-\frac{1}{2}}$.
• При ${a>0}$: ${2x+1=3a}$ или ${2x+1=-3a}$, откуда ${x=\frac{3a-1}{2}}$ или ${x=-\frac{3a+1}{2}}$.

В) ${ax+2a=3}$ или ${ax+2a=-3}$, т. е. ${ax=3-2a}$ или ${ax=-3-2a}$. При ${a=0}$ уравнение имеет вид ${|0|=3}$, что неверно: корней нет. При ${a\ne 0}$ корни ${x=\frac{3-2a}{a}}$ и ${x=-\frac{3+2a}{a}}$.

Задача 6

Решите уравнение ${2-x=2b-2ax}$, где $a$ и $b$ — параметры. При каких целых значениях $a$ корень является натуральным числом, если ${b=7}$?

Решение: Перенесём слагаемые: ${{2ax-x}={2b-2}}$, т. е. ${(2a-1)x=2(b-1)}$.

• При ${a\ne\frac{1}{2}}$ уравнение имеет один корень ${x=\frac{2(b-1)}{2a-1}}$.
• При ${a=\frac{1}{2}}$ и ${b=1}$ получаем ${0\cdot x=0}$: любое число является корнем.
• При ${a=\frac{1}{2}}$ и ${b\ne 1}$ получаем ${0\cdot x=2(b-1)}$, где ${2(b-1)\ne 0}$: корней нет.

Пусть теперь ${b=7}$. Целое число $a$ не может равняться ${\frac{1}{2}}$, поэтому корень равен

${x=\frac{2(7-1)}{2a-1}=\frac{12}{2a-1}}$

Он является натуральным числом тогда и только тогда, когда ${2a-1}$ — положительный делитель числа 12. Но ${2a-1}$ нечётно, а нечётные положительные делители числа 12 — только 1 и 3:

${2a-1=1}$ даёт ${a=1}$ (корень 12), а ${2a-1=3}$ даёт ${a=2}$ (корень 4).

Ответ: ${a=1}$ или ${a=2}$.

Задача 7

Решите уравнение ${|ax-2-x|=4}$, где $a$ — параметр. При каких целых значениях $a$ уравнение имеет корень, который является целым отрицательным числом?

Решение: ${ax-2-x=4}$ или ${ax-2-x=-4}$, т. е.

${(a-1)x=6}$ или ${(a-1)x=-2}$

При ${a=1}$ получаем ${0\cdot x=6}$ и ${0\cdot x=-2}$: корней нет. При ${a\ne 1}$ корни ${x=\frac{6}{a-1}}$ и ${x=-\frac{2}{a-1}}$. Они имеют разные знаки, поэтому отрицательным может быть только один из них.

• ${\frac{6}{a-1}}$ — целое отрицательное число, когда ${a-1}$ — отрицательный делитель числа 6: ${a-1=-1;-2;-3;-6}$, т. е. ${a=0;-1;-2;-5}$.
• ${-\frac{2}{a-1}}$ — целое отрицательное число, когда ${a-1}$ — положительный делитель числа 2: ${a-1=1;2}$, т. е. ${a=2;3}$.

Ответ: ${a=-5;-2;-1;0;2;3}$.

Задача 8

Решите уравнение:

А) ${3ax-a=1-x}$, где $a$ — параметр;
Б) ${2ax+b=2+x}$, где $a$ и $b$ — параметры.

Решение:

А) ${{3ax+x}={1+a}}$, т. е. ${(3a+1)x=1+a}$. Если ${a\ne -\frac{1}{3}}$, то ${x=\frac{1+a}{3a+1}}$. Если ${a=-\frac{1}{3}}$, уравнение имеет вид ${0\cdot x=1-\frac{1}{3}}$, т. е. ${0\cdot x=\frac{2}{3}}$, и не имеет корней.

Б) ${{2ax-x}={2-b}}$, т. е. ${(2a-1)x=2-b}$. Если ${a\ne\frac{1}{2}}$, то ${x=\frac{2-b}{2a-1}}$. Если ${a=\frac{1}{2}}$, уравнение имеет вид ${0\cdot x=2-b}$: при ${b=2}$ любое число является корнем, а при ${b\ne 2}$ корней нет.

Задача 9

Дано уравнение ${6(kx-6)+24=5kx}$, где $k$ — целое число. При каких значениях $k$ уравнение

А) имеет корень ${-\frac{4}{3}}$;
Б) не имеет корней;
В) имеет корень, который является натуральным числом?

Решение: Упростим: ${{6kx-36+24}={5kx}}$, т. е. ${kx=12}$.

А) Подставим ${x=-\frac{4}{3}}$: ${-\frac{4}{3}k=12}$, откуда ${k=-9}$.

Б) Уравнение ${kx=12}$ не имеет корней при ${k=0}$.

В) При ${k\ne 0}$ корень ${x=\frac{12}{k}}$. Он является натуральным числом, когда $k$ — положительный делитель числа 12: ${k=1;2;3;4;6;12}$.

Задача 10

Решите уравнение:

А) ${2ax+1=x+a}$, где $a$ — параметр;
Б) ${2ax+1=x+b}$, где $a$ и $b$ — параметры.

Решение:

А) ${{2ax-x}={a-1}}$, т. е. ${(2a-1)x=a-1}$. Если ${a\ne\frac{1}{2}}$, единственный корень ${x=\frac{a-1}{2a-1}}$. Если ${a=\frac{1}{2}}$, уравнение имеет вид ${0\cdot x=\frac{1}{2}-1}$, т. е. ${0\cdot x=-\frac{1}{2}}$, и не имеет корней.

Б) ${{2ax-x}={b-1}}$, т. е. ${(2a-1)x=b-1}$. Если ${a\ne\frac{1}{2}}$, то ${x=\frac{b-1}{2a-1}}$. Если ${a=\frac{1}{2}}$, уравнение имеет вид ${0\cdot x=b-1}$: при ${b=1}$ любое число является корнем, а при ${b\ne 1}$ корней нет.

Задача 11

Дано уравнение ${3(ax-4)+4=2ax}$, где параметр $a$ — целое число. При каких значениях $a$ уравнение имеет корень, который

А) равен ${-\frac{2}{3}}$;
Б) является целым числом;
В) является натуральным числом?

Решение: Упростим: ${{3ax-12+4}={2ax}}$, т. е. ${ax=8}$.

А) Подставим ${x=-\frac{2}{3}}$: ${-\frac{2}{3}a=8}$, откуда ${a=-12}$.

Б) При ${a=0}$ корней нет. При ${a\ne 0}$ корень ${x=\frac{8}{a}}$, и он является целым числом, когда $a$ — делитель числа 8: ${a=\pm 1;\pm 2;\pm 4;\pm 8}$.

В) ${x=\frac{8}{a}}$ — натуральное число, когда $a$ — положительный делитель числа 8: ${a=1;2;4;8}$.

Задача 12

В уравнении ${2-x=2b-2ax}$ из задачи 6 пусть ${b=7}$. При каких целых значениях $a$ корень является целым числом?

Решение: Как в задаче 6, корень равен ${x=\frac{12}{2a-1}}$. Он является целым числом, когда ${2a-1}$ — делитель числа 12. Так как ${2a-1}$ нечётно, оно может быть равно только ${\pm 1}$ или ${\pm 3}$:

${2a-1}$	$a$	корень ${\frac{12}{2a-1}}$
1	1	12
$-1$	0	$-12$
3	2	4
$-3$	$-1$	$-4$

Ответ: ${a=-1;0;1;2}$. Для натурального корня нужен положительный делитель, и остаются только ${a=1}$ и ${a=2}$, как в задаче 6.

Задача 13

Дана функция ${f(x)=(3a-1)x-2a+1}$, где $a$ — параметр. При каких значениях $a$ график функции

А) пересекает ось абсцисс;
Б) не пересекает ось абсцисс?

Решение: График пересекает ось абсцисс в точках, где ${f(x)=0}$. Поэтому он пересекает ось тогда и только тогда, когда уравнение ${(3a-1)x-2a+1=0}$, т. е. ${(3a-1)x=2a-1}$, имеет корень.

А) При ${a\ne\frac{1}{3}}$ корень ${x=\frac{2a-1}{3a-1}}$, и график пересекает ось абсцисс в этой точке.

Б) При ${a=\frac{1}{3}}$ уравнение имеет вид ${0\cdot x=\frac{2}{3}-1}$, т. е. ${0\cdot x=-\frac{1}{3}}$, и не имеет корней. Тогда ${f(x)=\frac{1}{3}}$ при любом $x$: график — горизонтальная прямая, которая не пересекает ось абсцисс.

Задача 14

Решите уравнение, где $a$ — параметр:

А) ${|x-2|=a}$   Б) ${|ax-1|=3}$   В) ${|ax-1|=a-2}$

Решение:

А)

• При ${a<0}$ корней нет.
• При ${a=0}$: ${x-2=0}$ и ${x=2}$.
• При ${a>0}$: ${x-2=a}$ или ${x-2=-a}$, откуда ${x=2+a}$ или ${x=2-a}$.

Б) ${ax-1=3}$ или ${ax-1=-3}$, т. е. ${ax=4}$ или ${ax=-2}$. При ${a\ne 0}$ корни ${x=\frac{4}{a}}$ и ${x=-\frac{2}{a}}$. При ${a=0}$ уравнение имеет вид ${|{-1}|=3}$, что неверно: корней нет.

В)

• При ${a-2<0}$, т. е. ${a<2}$, корней нет.
• При ${a=2}$ уравнение имеет вид ${|2x-1|=0}$, откуда ${x=\frac{1}{2}}$.
• При ${a>2}$: ${ax-1=a-2}$ или ${ax-1=2-a}$, т. е. ${ax=a-1}$ или ${ax=3-a}$. Здесь ${a\ne 0}$, и корни ${x=\frac{a-1}{a}}$ и ${x=\frac{3-a}{a}}$.

Задача 15

При каких значениях параметра два уравнения равносильны, т. е. имеют одни и те же корни?

А) ${\frac{x+m}{2}=1-m}$ и ${(-x-1)^2-1=x^2}$
Б) ${\frac{x+m}{2}=1-m}$ и ${\frac{x-m}{3}=1-2m}$
В) ${|3-x|+x^2-5x+3=0}$ и ${ax+2a=1+x}$, где ${x>3}$

Решение:

А) Решим второе уравнение. Так как ${(-x-1)^2=(x+1)^2}$,

${{x^2+2x+1-1}={x^2}}$, откуда ${2x=0}$ и ${x=0}$

Первое уравнение даёт ${x+m=2-2m}$, т. е. ${x=2-3m}$. Уравнения равносильны, когда их корни равны: ${2-3m=0}$, откуда ${m=\frac{2}{3}}$.

Б) Первое уравнение имеет корень ${x=2-3m}$. Из второго получаем ${x-m=3-6m}$, т. е. ${x=3-5m}$. Корни равны, когда ${2-3m=3-5m}$, откуда ${2m=1}$ и ${m=\frac{1}{2}}$.

В) При ${x>3}$ имеем ${3-x<0}$, поэтому ${|3-x|=x-3}$. Первое уравнение принимает вид

${{x-3+x^2-5x+3}={0}}$, т. е. ${x^2-4x=0}$ и ${x(x-4)=0}$

откуда ${x=0}$ или ${x=4}$. Условию ${x>3}$ удовлетворяет только ${x=4}$.

Второе уравнение имеет вид ${(a-1)x=1-2a}$. При ${a=1}$ получаем ${0\cdot x=-1}$: корней нет. При ${a\ne 1}$ его корень ${x=\frac{1-2a}{a-1}}$. Уравнения равносильны, когда этот корень равен 4:

${{\frac{1-2a}{a-1}}={4}}$, откуда ${1-2a=4a-4}$, ${5=6a}$ и ${a=\frac{5}{6}}$

Ещё об уравнениях: Решение линейных уравнений · Текстовые задачи на уравнения · Задачи с линейными уравнениями · Уравнения с модулем