Рациональные выражения: задачи с решениями (часть 1)

Задачи 1–16 на целые и дробные выражения, одночлены и многочлены, каждая с полным решением. Правила объяснены в уроке Рациональные выражения. Задачи 17–28 (полные квадраты, разложение на множители и тождества) находятся в части 2.

Задачи: 1 Целое или дробное · 2 Одночлен или нет · 3 Стандартный вид или нет · 4 Запись в стандартном виде · 5 Значение одночлена · 6 Степень · 7 Подобные слагаемые · 8 Значение многочлена · 9 Числа как многочлены · 10 Многочлен стандартного вида · 11 Общий множитель · 12 Раскрытие скобок · 13 Упрощение · 14 Деление одночленов · 15 Степени · 16 Деление на одночлен

Задача 1. Целое или дробное?

Какие из этих выражений являются целыми относительно $x?$

а) ${x^2-9x+2};$ б) $\frac{3x+2}{a-1};$ в) ${\frac{2}{3}x^2-\frac{1}{7}x+\frac{1}{5}a};$ г) $\frac{7-x}{x+1};$ д) ${x^2-\frac{1}{x}};$ е) ${\frac{1}{2}x+\frac{2}{x}}.$

Решение. Выражение является целым относительно $x,$ если в нём нет деления на выражение, содержащее $x.$ Деление на число или на выражение без $x$ допускается.

• а), б) и в) — целые относительно $x\text{:}$ знаменатель ${a-1}$ в пункте б) не содержит $x,$ а в пункте в) мы делим только на числа.
• г), д) и е) — дробные относительно $x\text{:}$ в них есть деление на ${x+1}$ и на $x.$

Задача 2. Одночлен или нет?

Какие из этих выражений являются одночленами?

а) ${ab^2x};$ б) ${ab\cdot(-3)c};$ в) ${x^3+x};$ г) ${-a+b};$ д) ${2(a+b)^3};$ е) ${0{,}67ab}.$

Ответ. а), б) и е) — одночлены: это произведения чисел и переменных. Стандартный вид выражения б): ${ab\cdot(-3)c=-3abc}.$ Выражения в) и г) — суммы двух одночленов, поэтому это многочлены, а не одночлены. Выражение д) — степень суммы ${a+b},$ поэтому оно тоже не одночлен; многочленом оно становится только после раскрытия скобок.

Задача 3. Записан ли одночлен в стандартном виде?

а) ${-3abc};$ б) ${x^2y};$ в) ${0{,}4a\cdot\frac{1}{3}b};$ г) ${x^2yx}.$

Ответ. Одночлены а) и б) записаны в стандартном виде, а в) и г) — нет: в одночлене в) два числовых множителя, а в одночлене г) переменная $x$ встречается дважды. Их стандартный вид: ${0{,}4a\cdot\frac{1}{3}b=\frac{2}{15}ab}$ и ${x^2yx=x^3y}.$

Задача 4. Приведите одночлен к стандартному виду

а) ${12xy^2x^2};$ б) ${3x\cdot5ayx};$ в) ${2\cdot\frac{3}{4}ax^2\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)a^2x}.$

Решение. Перемножаем числа и собираем степени каждой переменной.

а) ${12xy^2x^2}={12x^3y^2}.$

б) ${3x\cdot5ayx}={15ax^2y}.$

в) ${2\cdot\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)}\cdot {a\cdot a^2\cdot x^2\cdot x}={{-a^3x^3},}$ так как ${2\cdot\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-1}.$

Задача 5. Значение одночлена

а) ${-7x^2y^2}$ при ${x=-2},$ ${y=1};$ б) ${7a^2bc}$ при ${a=3},$ ${b=2},$ ${c=\frac{5}{7}}.$

Решение. а) ${-7x^2y^2}={-7\cdot(-2)^2\cdot1^2}={-7\cdot4\cdot1}={{-28}.}$

б) ${7a^2bc}={7\cdot3^2\cdot2\cdot\frac{5}{7}}={9\cdot2\cdot5}={{90}.}$

Задача 6. Стандартный вид и степень

Приведите каждый одночлен к стандартному виду и найдите его степень относительно переменных $x$ и $y.$

а) ${ax\cdot10xaax};$ б) ${ay\cdot\frac{3}{4}\cdot bxx\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)};$ в) ${5cxy\cdot(-4)cxy}.$

Решение. В степени относительно $x$ и $y$ учитываются только показатели $x$ и $y;$ остальные буквы рассматриваются как числа.

а) ${ax\cdot10xaax}={10a^3x^3}\text{:}$ степень равна $3.$

б) ${ay\cdot\frac{3}{4}\cdot bxx\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)}={{-\frac{3}{8}abx^2y}\text{:}}$ степень равна ${2+1=3}.$

в) ${5cxy\cdot(-4)cxy}={{-20c^2x^2y^2}\text{:}}$ степень равна ${2+2=4}.$

Задача 7. Приведение подобных слагаемых

Упростите:

а) ${3x^2-5x^2+7{,}5x^2};$ б) ${-\frac{5}{7}a^3b^2-2a^3b^2+8a^3b^2};$ в) ${2x-5xy-8xy}-{3{,}1xy-0{,}2xy;}$ г) ${a^3x^2+3a^3x^2+a^2x^3};$ д) ${9x-[-(5x-1)-8x]};$ е) ${2a}-{\left\{b-[a+(a-2b)]+3a\right\};}$ ж) ${(x-y)(x^2+xy+y^2)}+{(x+y)(x^2-xy+y^2).}$

Решение. Складываем коэффициенты подобных слагаемых; неподобные слагаемые оставляем без изменений.

а) ${3x^2-5x^2+7{,}5x^2}={(3-5+7{,}5)x^2}={{5{,}5x^2}.}$

б) ${-\frac{5}{7}a^3b^2}-{2a^3b^2+8a^3b^2}={\left(-\frac{5}{7}-2+8\right)a^3b^2}={{\frac{37}{7}a^3b^2}.}$

в) ${2x-5xy-8xy}-{3{,}1xy-0{,}2xy}={{2x-16{,}3xy}\text{:}}$ слагаемое $2x$ не подобно остальным.

г) ${a^3x^2+3a^3x^2+a^2x^3}={{4a^3x^2+a^2x^3}\text{:}}$ $a^2x^3$ не подобно $a^3x^2.$

В пунктах д) и е) раскрываем скобки, начиная с внутренних.

д) ${9x-[-(5x-1)-8x]}={9x-(-5x+1-8x)}={9x-(-13x+1)}={9x+13x-1}={{22x-1}.}$

е) ${2a}-{\left\{b-[a+(a-2b)]+3a\right\}}={2a}-{\left\{b-(2a-2b)+3a\right\}}={2a-(b-2a+2b+3a)}={2a-(a+3b)}={{a-3b}.}$

ж) Применяем формулы разности и суммы кубов:

${(x-y)(x^2+xy+y^2)}+{(x+y)(x^2-xy+y^2)}$

$=x^3-y^3+x^3+y^3=2x^3.$

Задача 8. Значение многочлена

а) ${100x+10y+z}$ при ${x=2},$ ${y=3},$ ${z=4};$ б) ${-0{,}08b}+{73a^2b+27a^2b}$ при ${a=0{,}2},$ ${b=4}.$

Решение. а) ${100x+10y+z}={100\cdot2+10\cdot3+4}={{234}.}$

б) Сначала приводим подобные слагаемые: ${-0{,}08b}+{73a^2b+27a^2b}={{-0{,}08b+100a^2b}.}$ Тогда ${-0{,}08b+100a^2b}={-0{,}08\cdot4}+{100\cdot0{,}2^2\cdot4}={-0{,}32+16}={{15{,}68}.}$

Задача 9. Числа в виде многочленов

Буквы $a,$ $b$ и $c$ обозначают цифры. Черта показывает, что $\overline{ab}$ — это число, записанное цифрами $a$ и $b,$ а не произведение $ab;$ первая цифра числа не равна $0.$ Запишите число в виде многочлена: а) $\overline{ab};$ б) $\overline{abc};$ в) $\overline{abba};$ г) $\overline{ba}.$

Решение. В числе $\overline{abc}$ цифра $c$ — это цифра единиц, $b$ — цифра десятков, $a$ — цифра сотен. Поэтому:

а) ${\overline{ab}=10a+b};$ б) ${\overline{abc}=100a+10b+c};$ в) ${\overline{abba}}={1000a+100b+10b+a}={{1001a+110b};}$ г) ${\overline{ba}=10b+a}.$

Задача 10. Запишите в виде многочлена стандартного вида

а) ${\left(\frac{a^2}{4}\right)^2}+{\frac{1}{32}a(16a-2a^3);}$ б) ${12x\left(y-\frac{1}{6}x\right)}-{2y\left(\frac{1}{2}y+3x\right).}$

Решение. а)

${\left(\frac{a^2}{4}\right)^2}+{\frac{1}{32}a(16a-2a^3)}={\frac{a^4}{16}+\frac{16a^2}{32}-\frac{2a^4}{32}}$

$=\frac{a^4}{16}+\frac{a^2}{2}-\frac{a^4}{16}=\frac{a^2}{2}.$

б)

${12x\left(y-\frac{1}{6}x\right)}-{2y\left(\frac{1}{2}y+3x\right)}={12xy-2x^2-y^2-6xy}$

$=-2x^2+6xy-y^2.$

Задача 11. Вынесите общий множитель за скобки

а) ${a(c-b)+d(b-c)};$ б) ${a-3b-2x(3b-a)}+{4y(3b-a);}$ в) ${6(3-b)+9(b-3)^2};$ г) ${5a(2x-7)+3b(7-2x)}.$

Решение. Сначала добиваемся того, чтобы выражения в скобках были одинаковыми. Если они отличаются только знаком, используем равенство ${b-c=-(c-b)};$ квадрат не меняется, если поменять знак выражения в скобках: ${(b-3)^2=(3-b)^2}.$

а) ${a(c-b)+d(b-c)}={a(c-b)-d(c-b)}={{(c-b)(a-d)}.}$

б) ${a-3b}-{2x(3b-a)+4y(3b-a)}={(a-3b)}+{2x(a-3b)-4y(a-3b)}={{(a-3b)(1+2x-4y)}.}$

в) ${6(3-b)+9(b-3)^2}={6(3-b)+9(3-b)^2}={3(3-b)[2+3(3-b)]}={{3(3-b)(11-3b)}.}$

г) ${5a(2x-7)}+{3b(7-2x)}={5a(2x-7)}-{3b(2x-7)}={{(2x-7)(5a-3b)}.}$

Задача 12. Раскройте скобки

а) ${(x-y)(x+y)};$ б) ${(x+5)(y-7)};$ в) ${(2y-7)\left(x+\frac{1}{y}\right)};$ г) ${(-2a-3b)(a+b^3)};$ д) ${(a+b-c)(x-y)}.$

Решение. Каждый член первого множителя умножаем на каждый член второго.

а) ${(x-y)(x+y)}={x^2+xy-xy-y^2}={{x^2-y^2}.}$

б) ${(x+5)(y-7)}={{xy-7x+5y-35}.}$

в) ${(2y-7)\left(x+\frac{1}{y}\right)}={2xy+2-7x-\frac{7}{y}}$ при ${y\ne0}.$

г) ${(-2a-3b)(a+b^3)}={{-2a^2-2ab^3-3ab-3b^4}.}$

д) ${(a+b-c)(x-y)}={{ax-ay+bx-by-cx+cy}.}$

Задача 13. Упростите и приведите к стандартному виду

а) ${(a+1)(a^2-a+1)};$ б) ${(a-7)(a+2)}-{(2a-1)(a-14);}$ в) ${(2-b)(1+2b)}+{(1+b)(b^3+3b);}$ г) ${(x-y)(x+y)}+{x^2+2xy+y^2;}$ д) ${-(x-y)^2+x^2}-{2xy+y^2.}$

Решение. а) ${(a+1)(a^2-a+1)}={a^3-a^2+a+a^2-a+1}={a^3+1}$ (сумма кубов).

б) Второе произведение вычитается, поэтому результат умножения сначала записываем в скобках:

${(a-7)(a+2)}-{(2a-1)(a-14)}$

$={a^2-5a-14}-{(2a^2-29a+14)}$

$={a^2-5a-14}-{2a^2+29a-14}={-a^2+24a-28.}$

в)

${(2-b)(1+2b)}+{(1+b)(b^3+3b)}$

$={2+3b-2b^2+b^3}+{3b+b^4+3b^2}$

$=b^4+b^3+b^2+6b+2.$

г) ${(x-y)(x+y)}+{x^2+2xy+y^2}={x^2-y^2+x^2+2xy+y^2}={{2x^2+2xy}.}$

д) ${-(x-y)^2}+{x^2-2xy+y^2}={-(x^2-2xy+y^2)}+{x^2-2xy+y^2}={{0}.}$

Задача 14. Деление одночленов

а) $\frac{2x\cdot(-5xy)}{2xy};$ б) ${21x^3y^2:\frac{-7x^2y}{x^5}};$ в) ${a^8:\left(\frac{a^2}{a}:\frac{a^2}{a}\right)}.$

Решение. Все переменные отличны от $0.$

а) ${\frac{2x\cdot(-5xy)}{2xy}}={\frac{-10x^2y}{2xy}}={{-5x}.}$

б) Разделить на дробь — значит умножить на обратную ей дробь: ${21x^3y^2:\frac{-7x^2y}{x^5}}={21x^3y^2\cdot\frac{x^5}{-7x^2y}}={\frac{21x^8y^2}{-7x^2y}}={{-3x^6y}.}$

в) Частное двух одинаковых выражений равно $1\text{:}$ ${\frac{a^2}{a}:\frac{a^2}{a}=1},$ поэтому ${a^8:1=a^8}.$

Задача 15. Степени с одинаковым основанием

Упростите ($m,$ $p$ и $q$ — натуральные числа; ${x\ne0},$ ${y\ne0}$):

а) ${-a^2\cdot a^6};$ б) ${-x^p\cdot x^q};$ в) ${3x^p\cdot y\cdot x\cdot y^p};$ г) ${\frac{x^{3m}}{x^m}:x^m};$ д) $\frac{x^py^q}{x^{4-p}y^{-4+q}}.$

Решение. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, а при делении — вычитаются.

а) ${-a^2\cdot a^6}={-a^{2+6}}={{-a^8}.}$

б) ${-x^p\cdot x^q}={-x^{p+q}}.$

в) ${3x^p\cdot y\cdot x\cdot y^p}={{3x^{p+1}y^{p+1}}.}$

г) ${\frac{x^{3m}}{x^m}:x^m}={x^{2m}:x^m}={x^m}.$

д) ${\frac{x^py^q}{x^{4-p}y^{-4+q}}}={x^{p-(4-p)}y^{q-(-4+q)}}={{x^{2p-4}y^4}.}$

Задача 16. Деление многочлена на одночлен

а) $\frac{x^3-x^2+yx^2}{x^2};$ б) $\frac{mna^2+3anm^2-2na^2}{3an};$ в) $\frac{-6x^2y^3+8yx^3-xy}{-2x}.$

Решение. Каждый член многочлена делим на одночлен (не равный $0$).

а) ${\frac{x^3-x^2+yx^2}{x^2}}={\frac{x^3}{x^2}-\frac{x^2}{x^2}+\frac{yx^2}{x^2}}={{x-1+y}.}$

б) ${\frac{mna^2+3anm^2-2na^2}{3an}}={\frac{mna^2}{3an}+\frac{3anm^2}{3an}-\frac{2na^2}{3an}}={{\frac{1}{3}am+m^2-\frac{2}{3}a}.}$

в) ${\frac{-6x^2y^3+8yx^3-xy}{-2x}}={\frac{-6x^2y^3}{-2x}+\frac{8yx^3}{-2x}+\frac{-xy}{-2x}}={{3xy^3-4x^2y+\frac{1}{2}y}.}$

Ещё задачи

• Рациональные выражения: задачи с решениями (часть 2) (задачи 17–28).
• Рациональные выражения: теория.
• Формулы сокращённого умножения.