МенюПределы и методы вычисления
Пределы и техника вычисления- Алгебраические методы нахождения пределов
- Как использовать пределы базовой функций для вычисления пределов сложной функции.
Некоторый базовый предел для
f(x) = k Постоянная функция
g(x) = x Прямая линия через центр
f(x) = k
| Предел | Пример |
| limx→ a k = k | limx→ 2 3 = 3, limx→-2 3 = 3 |
| limx→ +∞ k = k | limx→ +∞ 3 = 3, limx→ +∞ 0 = 0 |
| limx→ -∞ k = k | limx→ -∞ 3 = 3, limx→-∞ 0 = 0 |
Теперь для g(x) = x
| Предел |
| limx→ a x = a |
| limx→ +∞ x = +∞ |
| limx→ -∞ x = -∞ |
limx→ a k = k
limx→ +∞ k = k limx→ -∞ k = k
(a) y = x
limx→ -∞ x = -∞
(b) y = x
limx→ +∞ x = +∞
(c)
Теорема
Пусть lim будет одним из переделов
limx→ a, limx→ a-, limx→ a+, limx→ +∞ or limx→ -∞
Если L1 = lim f(x) and L2 = lim g(x) оба существуют, тогда
a) lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) = L1 + L2
b) lim [f(x) - g(x)] = lim f(x) - lim g(x) = L1 - L2
c) lim [f(x).g(x)] = lim f(x).lim g(x) = L1.L2
d) lim [f(x)/g(x)] = [lim f(x)/lim g(x)] = L1/L2
e) lim n√f(x) = n√lim f(x) = n√L1
L1 ≥ 0 если n четное
Remark
Хотя результаты (a) и (c) есть для двух функций f и g, эти результаты также и для конечного числа функций; то есть, если пределы lim f1(x), Lim f2(x),……….lim fn(x) все существуют, тогда
lim [f1(x) + f2 + ... + fn(x)] = lim f1(x) + lim f2(x) + ... + lim fn(x)
и
lim [f1(x).f2(x). ... .fn(x)] = lim f1(x).lim f2(x). ... .lim fn(x)
Если f1,f2,………..,fn есть теми же самыми функциями
lim [f(x)]n = [lim f(x)]n
Тогда мы можем записать
A) lim x → a xn = [lim x → a x]n = an
Другой полезный результат
B) lim [k.g(x)] = lim (k).lim g(x) = k.lim g(x)
Где k есть константа
Полином
Полином (многочлен) это выражение в форме
f(x) = bnxn + bn - 1xn - 1 + ... + b1x + b0
Где bn , bn - 1,,…. , b1 , b0 являются постоянными.
Пример
limx → 5 (x)2 - 4x + 3) = limx → 5 x2 - 4limx → 5 x + limx → 5 3 = (5)2 - 4(5) + 3 = 8
Теорема 2.5.2
Для любого многочлена
p(x) = c0 + c1x + ... + cnxn
и любое действительное число a
lim x → a p(x) = c0 + c1a + ... + cnan = p(a)
Доказательство
limx → a p(x) = limx → a (c0 + c1x + ... + cnxn) = limx → ac0 + limx → ac1x + ... + limx → acnxn = limx → ac0 + c1limx → a x + ... + cnlimx → a xn = c0 + c1a + ... + cnan = p(a)
Пределы, содержащие 1/x
Следующие пределы вытекают из графика функции 1/x.
Таблица числовых значений
| Значения | Вывод | |
| x 1/x |
1 .. 0.1 .. 0.001 .. 1 .. 100 .. 1000 .. |
x → 0+ 1/x → +∞ |
| x 1/x |
-1 .. -0.01 .. -0.001 -1 .. -100 .. -1000 .. |
x → 0- 1/x → -∞ |
| x 1/x |
1 .. 100 .. 1000 .. 1 .. 0.01 .. 0.001 .. |
x → +∞ 1/x уменьшается к 0 |
| x 1/x |
-1 .. -100 .. -1000 .. -1 .. -0.01 .. -0.001 .. |
x → -∞ 1/x увеличивается к 0 |
Для каждого действительного числа a график функции g(x) = 1/(x - a) есть перемещение f(x) = 1/x на a единиц вправо.
limx → a- g(x) = -∞ limx → a+ g(x) = +∞
limx → -∞ g(x) = 0 limx → +∞ g(x) = 0
Пределы многочленов, когда x стремится к +∞ и -∞
Limx → +∞ x = +∞ Limx → +∞ x2 = +∞
limx → +∞ x3 = +∞
Пример
limx → +∞ 2x5 = 2limx → +∞ x5 = +∞
limx → +∞ -7x6 = -7limx → +∞ x6 = -∞
Для целого значения n
limx → +∞ 1/xn = (limx → +∞ 1/x)n = 0
limx → -∞ 1/xn = (limx → -∞ 1/x)n = 0
y = f(x) = 1/xn (n - положительное нечетное целое)
Многочлен ведет себя как его члены наивысшей степени, когда x→ +∞ or x→ -∞ более точно, если cn = 0 , тогда
limx → +∞ (c0 + c1x + ... + cnxn) = limx → +∞ cnxn
limx → -∞ (c0 + c1x + ... + cnxn) = limx → -∞ cnxn
__________________________________
c0 + c1x + ... + cnxn = xn(c0/xn + c1/xn - 1 + .. + cn) = cnxn
Пример
limx → 2 (5x3 + 4)/(x - 3) = [limx → 2 (5x3 + 4)]/[limx → 2 (x - 3)] = [5(2)3 + 4]/[2 - 3] = -44
График не имеет значения в x = 2
Пример
limx → 4+ (2 - x)/(x - 4)(x + 2)
limx → 4+ (2 - x)/(x - 4)(x + 2) = -∞
Быстрый метод нахождения предела рациональных функций
