Пределы и методы вычисления

В уроке Пределы (Интуитивное введение) мы угадывали пределы по таблицам и графикам. Здесь мы будем вычислять их точно. В этом уроке рассматриваются:

• пределы двух очень простых функций: постоянной функции и функции ${y=x};$
• свойства пределов, которые позволяют по этим двум пределам находить пределы более сложных функций;
• алгебраические приёмы для случаев, когда свойства нельзя применить непосредственно: разложение на множители, умножение на сопряжённое выражение, исследование знаков, старшие члены.

На этой странице: Два основных предела · Свойства пределов · Многочлены · Рациональные функции · Неопределённость 0/0 · Число, делённое на 0 · Пределы на бесконечности · План решения · Задачи

Два основных предела

Начнём с двух функций:

• ${f(x)=k},$ постоянная функция ($k$ — фиксированное число); её график — горизонтальная прямая;

• ${g(x)=x};$ её график — прямая, проходящая через начало координат, с угловым коэффициентом $1.$

Постоянная функция ${f(x)=k}$

При любом $x$ значение постоянной функции равно $k.$ Поэтому, когда $x$ стремится к любому числу $a,$ неограниченно возрастает или неограниченно убывает, значение остаётся равным $k\text{:}$

Предел	Примеры
${\lim_{x\to a}k=k}$	${\lim_{x\to2}3=3},$   ${\lim_{x\to-2}3=3}$
${\lim_{x\to+\infty}k=k}$	${\lim_{x\to+\infty}3=3},$   ${\lim_{x\to+\infty}0=0}$
${\lim_{x\to-\infty}k=k}$	${\lim_{x\to-\infty}3=3},$   ${\lim_{x\to-\infty}0=0}$

Функция ${g(x)=x}$

Значение этой функции равно самому $x.$ Если $x$ стремится к $a,$ то значение стремится к $a.$ Если $x$ неограниченно возрастает, то и значение неограниченно возрастает, а если $x$ неограниченно убывает, то и значение неограниченно убывает:

Предел
${\lim_{x\to a}x=a}$
${\lim_{x\to+\infty}x=+\infty}$
${\lim_{x\to-\infty}x=-\infty}$

Свойства пределов

Словами: предел суммы равен сумме пределов, предел произведения равен произведению пределов и т. д., при условии, что пределы каждой из функций существуют (а для частного ещё и предел знаменателя не равен $0$).

Замечание. Свойства а) и в) сформулированы для двух функций, но они верны для любого конечного числа функций. Если все пределы ${\lim f_1(x)},$ ${\lim f_2(x)},$ …, ${\lim f_n(x)}$ существуют, то

${\lim\,[f_1(x)+\ldots+f_n(x)]}={{\lim f_1(x)+\ldots+\lim f_n(x)},}$

${\lim\,[f_1(x)\cdot\ldots\cdot f_n(x)]}={{\lim f_1(x)\cdot\ldots\cdot\lim f_n(x)}.}$

Если $f_1,$ $f_2,$ …, $f_n$ — одна и та же функция $f,$ то вторая формула даёт предел степени (для ${n=1},$ $2,$ $3,$ …, если ${\lim f(x)}$ существует):

$$\lim\,[f(x)]^n=\left[\lim f(x)\right]^n.$$

Два полезных следствия:

А) ${\lim_{x\to a}x^n}={\left[\lim_{x\to a}x\right]^n}={a^n},$   при ${n=1},$ $2,$ $3,$ …;

Б) ${\lim\,[k\cdot g(x)]}={\lim k\cdot\lim g(x)}={{k\cdot\lim g(x)},}$ где $k$ — постоянная: постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Пределы многочленов

Многочлен — это функция вида

${p(x)}={c_0+c_1x+c_2x^2}+{\ldots+c_nx^n,}$

где $c_0,$ $c_1,$ …, $c_n$ — постоянные (числа).

Пример 1. Найдите ${\lim_{x\to5}(x^2-4x+3)}.$

${\lim_{x\to5}(x^2-4x+3)}={\lim_{x\to5}x^2-4\lim_{x\to5}x+\lim_{x\to5}3}={5^2-4\cdot5+3}={{8}.}$

Мы воспользовались свойствами а) и б), следствиями А и Б и пределом постоянной. Результат равен значению многочлена в точке $5.$ Так бывает всегда:

Теорема. Для любого многочлена ${p(x)}={c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n}$ и любого действительного числа $a$ верно равенство ${\lim_{x\to a}p(x)}={c_0+c_1a+\ldots+c_na^n}={{p(a)}.}$

Доказательство. Применим свойство предела суммы, затем следствие Б (вынесение постоянного множителя), затем следствие А:

${\lim_{x\to a}p(x)}={\lim_{x\to a}c_0+\lim_{x\to a}c_1x}+{\ldots+\lim_{x\to a}c_nx^n}={c_0+c_1\lim_{x\to a}x}+{\ldots+c_n\lim_{x\to a}x^n}={c_0+c_1a+\ldots+c_na^n}={{p(a)}.}$

Итак, предел многочлена в точке находится подстановкой.

Пределы рациональных функций

Рациональная функция — это частное двух многочленов, ${r(x)=\frac{p(x)}{q(x)}}.$ Если ${q(a)\ne0},$ то из свойства предела частного и доказанной выше теоремы получаем

$$\lim_{x\to a}\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p(a)}{q(a)}.$$

Пример 2.

${\lim_{x\to2}\frac{5x^3+4}{x-3}}={\frac{\lim_{x\to2}(5x^3+4)}{\lim_{x\to2}(x-3)}}={\frac{5\cdot2^3+4}{2-3}}={\frac{44}{-1}}={{-44}.}$

Если ${q(a)=0},$ то свойство предела частного применить нельзя, и возможны два случая:

• ${p(a)=0}$ (числитель тоже равен нулю): «неопределённость вида ${\frac{0}{0}}$». Предел может быть любым числом, $+\infty$ или $-\infty,$ а может и не существовать. Сначала выражение нужно упростить.

• ${p(a)\ne0}\text{:}$ случай вида «${\frac{\text{число}}{0}}$». Значения дроби неограниченно возрастают по модулю, и односторонние пределы равны $+\infty$ или $-\infty.$

Неопределённость вида $0/0\text{:}$ сначала упростите

Пример 3. Найдите ${\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}}.$

При ${x=2}$ и числитель, и знаменатель равны $0.$ Но при нахождении предела используются только значения ${x\ne2},$ поэтому общий множитель ${x-2}$ можно сократить:

${\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}}={\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}}={\lim_{x\to2}(x+2)}={{4}.}$

В точке ${x=2}$ функция не определена: её график — прямая ${y=x+2}$ с выколотой точкой $(2;\,4).$ Тем не менее предел равен $4.$

Пример 4.

${\lim_{x\to3}\frac{x^2-5x+6}{x^2-9}}={\lim_{x\to3}\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)}}={\lim_{x\to3}\frac{x-2}{x+3}}={{\frac{1}{6}}.}$

Если $a$ является корнем обоих многочленов, то оба они делятся на ${x-a}$ (см. схему Горнера), поэтому множитель ${x-a}$ всегда можно сократить. Если снова получается ${\frac{0}{0}},$ сократите на ${x-a}$ ещё раз.

Пример 5 (квадратный корень: умножение на сопряжённое выражение). Найдите ${\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}}.$

Снова неопределённость ${\frac{0}{0}}.$ Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение ${\sqrt{x}+2}$ и воспользуемся равенством ${{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)=x-4}\text{:}}$

${\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}}={\lim_{x\to4}\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}}={\lim_{x\to4}\frac{1}{\sqrt{x}+2}}={{\frac{1}{4}}.}$

Отличное от нуля число, делённое на $0\text{:}$ бесконечные пределы

Простейший пример: функция ${\frac{1}{x}}$ в точке ${x=0}.$ Приведённые ниже пределы подсказывают её график и таблица.

$x$	${\frac{1}{x}}$	Вывод
1; 0,1; 0,01; 0,001; …	1; 10; 100; 1000; …	${\lim_{x\to+0}\frac{1}{x}=+\infty}$
−1; −0,1; −0,01; −0,001; …	−1; −10; −100; −1000; …	${\lim_{x\to-0}\frac{1}{x}=-\infty}$
1; 10; 100; 1000; …	1; 0,1; 0,01; 0,001; …	${\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0}$
−1; −10; −100; −1000; …	−1; −0,1; −0,01; −0,001; …	${\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0}$

Для любого действительного числа $a$ график функции ${g(x)=\frac{1}{x-a}}$ получается из графика функции ${f(x)=\frac{1}{x}}$ сдвигом на $a$ единиц вправо, если ${a\gt0},$ и на $|a|$ единиц влево, если ${a\lt0}.$ Поэтому

${\lim_{x\to a-0}\frac{1}{x-a}=-\infty},$   ${\lim_{x\to a+0}\frac{1}{x-a}=+\infty},$   ${\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x-a}=0},$   ${\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x-a}=0}.$

В общем случае, если числитель стремится к числу ${L\ne0},$ а знаменатель стремится к $0,$ то модуль дроби неограниченно возрастает. Если с одной стороны от $a$ дробь сохраняет знак (у рациональной функции это всегда так), то этот знак определяет, чему равен предел с этой стороны: $+\infty$ или $-\infty.$

Пример 6. Найдите ${\lim_{x\to4+0}\frac{2-x}{(x-4)(x+2)}}.$

При ${x=4}$ числитель равен ${2-4=-2},$ а знаменатель равен $0.$ Отметим на числовой прямой нуль числителя ($2$) и нули знаменателя ($-2$ и $4$). При больших $x$ дробь отрицательна (старшие члены дают ${\frac{-x}{x^2}}={-\frac{1}{x}}$), и в каждой отмеченной точке знак меняется, так как каждая из них соответствует множителю в первой степени (множитель вида ${(x-2)^2}$ не менял бы знак):

При $x,$ немного больших $4,$ числитель близок к $-2$ (отрицателен), ${x-4}$ является малым положительным числом, а ${x+2}$ близко к $6$ (положительно). Значит, знаменатель является малым положительным числом, а дробь является отрицательным числом, большим по модулю:

$$\lim_{x\to4+0}\frac{2-x}{(x-4)(x+2)}=-\infty.$$

При $x,$ немного меньших $4,$ множитель ${x-4}$ отрицателен, дробь положительна и ${\lim_{x\to4-0}\frac{2-x}{(x-4)(x+2)}}={+\infty}.$ Односторонние пределы различны, поэтому двусторонний предел в точке $4$ не существует. График имеет вертикальные асимптоты ${x=-2}$ и ${x=4}\text{:}$

Пределы на бесконечности

Степени $x$

Для ${n=1},$ $2,$ $3,$ … степень $x^n$ неограниченно возрастает при ${x\to+\infty}.$ При ${x\to-\infty}$ чётная степень положительна и неограниченно возрастает, а нечётная степень отрицательна и неограниченно убывает:

${\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty},$   ${n=1},$ $2,$ $3,$ …

${\lim_{x\to-\infty}x^n}={\begin{cases}+\infty, & n=2,\ 4,\ 6,\ \ldots\\ -\infty, & n=1,\ 3,\ 5,\ \ldots\end{cases}}$

Умножение на положительную постоянную не меняет бесконечный предел, а умножение на отрицательную постоянную меняет его знак:

${\lim_{x\to+\infty}2x^5=+\infty},$   ${\lim_{x\to+\infty}(-7x^6)=-\infty},$   ${\lim_{x\to-\infty}2x^5=-\infty},$   ${\lim_{x\to-\infty}(-7x^6)=-\infty}.$

Для ${n=1},$ $2,$ $3,$ … из свойства предела степени и таблицы выше получаем

${\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^n}}={\left(\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\right)^n}={{0},}$   ${\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x^n}}={\left(\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}\right)^n}={{0}.}$

Вблизи $0$ графики функций ${y=\frac{1}{x^n}}$ выглядят так: при чётном $n$ обе ветви уходят вверх (${\lim_{x\to0}\frac{1}{x^n}=+\infty}$); при нечётном $n$ левая ветвь уходит вниз, а правая вверх, как у ${y=\frac{1}{x}}$ (${\lim_{x\to-0}\frac{1}{x^n}=-\infty},$ ${\lim_{x\to+0}\frac{1}{x^n}=+\infty}$).

Многочлены на бесконечности

При ${x\to+\infty}$ или ${x\to-\infty}$ многочлен ведёт себя как его член наивысшей степени (старший член). Точнее, если ${c_n\ne0},$ то

${\lim_{x\to+\infty}(c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n)}={{\lim_{x\to+\infty}c_nx^n},}$

${\lim_{x\to-\infty}(c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n)}={{\lim_{x\to-\infty}c_nx^n}.}$

Почему? Вынесем $x^n$ за скобки:

${c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n}={{x^n\left(\frac{c_0}{x^n}+\ldots+\frac{c_{n-1}}{x}+c_n\right)}.}$

При ${x\to\pm\infty}$ каждая дробь в скобках стремится к $0,$ поэтому выражение в скобках стремится к $c_n,$ и всё выражение ведёт себя как ${c_nx^n}.$ Например, многочлен ${p(x)=x^3-6x^2+9x+1}$ и функция $x^3$ сильно различаются вблизи начала координат, но издалека их графики почти совпадают:

Разность ${p(x)-x^3}={-6x^2+9x+1}$ не стремится к $0\text{:}$ графики не приближаются друг к другу. Разность лишь мала по сравнению с $x^3,$ и этого достаточно, чтобы у двух функций были одинаковые пределы на $+\infty$ и на $-\infty.$

Пример 7. ${\lim_{x\to-\infty}(x^3-6x^2+9x+1)}={\lim_{x\to-\infty}x^3}={-\infty}$   и   ${\lim_{x\to+\infty}(1+5x^3-2x^4)}={\lim_{x\to+\infty}(-2x^4)}={{-\infty}.}$

Рациональные функции на бесконечности

Та же идея, применённая к числителю и к знаменателю, даёт быстрый способ нахождения пределов рациональных функций. Если ${c_n\ne0}$ и ${d_m\ne0},$ то

${\lim_{x\to\pm\infty}\frac{c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n}{d_0+d_1x+\ldots+d_mx^m}}={{\lim_{x\to\pm\infty}\frac{c_nx^n}{d_mx^m}}.}$

Таким образом, важны только старшие члены:

• если ${n\lt m}$ (степень числителя меньше), то предел равен $0;$

• если ${n=m},$ то предел равен ${\frac{c_n}{d_m}},$ т. е. отношению старших коэффициентов;

• если ${n\gt m},$ то предел равен $+\infty$ или $-\infty;$ что именно, определяет знак выражения ${\frac{c_nx^n}{d_mx^m}}.$

Пример 8.

а) ${\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x+1}{2x^2+5}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2}{2x^2}}={{\frac{3}{2}}.}$

Тот же результат получается, если разделить числитель и знаменатель на $x^2\text{:}$ дробь ${\frac{3-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{2+\frac{5}{x^2}}}$ стремится к ${\frac{3-0+0}{2+0}}={\frac{3}{2}}.$

б) ${\lim_{x\to-\infty}\frac{4x+1}{x^2-3}}={\lim_{x\to-\infty}\frac{4x}{x^2}}={\lim_{x\to-\infty}\frac{4}{x}}={{0}.}$

в) ${\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3-1}{2x+5}}={\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3}{2x}}={\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2}{2}}={{+\infty}.}$

г) ${\lim_{x\to+\infty}\frac{5-2x^3}{x+1}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{-2x^3}{x}}={\lim_{x\to+\infty}(-2x^2)}={{-\infty}.}$

План нахождения предела

1. Подставьте ${x=a}.$ Если функция является многочленом, рациональной функцией, знаменатель которой не равен $0$ в точке $a,$ или корнем $n$-й степени ${\sqrt[n]{r(x)}}$ из такой функции (при чётном $n$ нужно ${r(a)\gt0}$), то полученное число и есть предел.
2. Если получилось ${\frac{\text{число}}{0}},$ где число ${\ne0},$ то односторонние пределы равны $+\infty$ или $-\infty\text{:}$ определите знак дроби с каждой стороны от $a.$
3. Если получилось ${\frac{0}{0}},$ сначала упростите выражение: разложите на множители и сократите или умножьте на сопряжённое выражение. Затем снова выполните подстановку.
4. При ${x\to\pm\infty}$ оставьте только старшие члены (или разделите числитель и знаменатель на старшую степень $x$ в знаменателе).

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите ${\lim_{x\to-1}(2x^3-x+4)}.$

Ответ

Подстановка: ${2(-1)^3-(-1)+4}={-2+1+4}={{3}.}$

2. Найдите ${\lim_{x\to3}\frac{x^2+1}{x-1}}.$

Ответ

Знаменатель в точке $3$ не равен $0\text{:}$ ${\frac{9+1}{3-1}}={5}.$

3. Найдите ${\lim_{x\to-3}\frac{x^2+2x-3}{x+3}}.$

Ответ

Неопределённость ${\frac{0}{0}}.$ Так как ${x^2+2x-3}={(x+3)(x-1)},$ предел равен ${\lim_{x\to-3}(x-1)}={-4}.$

4. Найдите ${\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x-1}}.$

Ответ

Так как ${x^3-1}={(x-1)(x^2+x+1)},$ предел равен ${1+1+1}={3}.$

5. Найдите ${\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}}.$

Ответ

Умножим на сопряжённое выражение ${\sqrt{x+9}+3}\text{:}$ дробь принимает вид ${\frac{x}{x(\sqrt{x+9}+3)}}={{\frac{1}{\sqrt{x+9}+3}},}$ и предел равен ${\frac{1}{3+3}}={\frac{1}{6}}.$

6. Найдите ${\lim_{x\to3-0}\frac{x+1}{x-3}}$ и ${\lim_{x\to3+0}\frac{x+1}{x-3}}.$

Ответ

Числитель стремится к $4.$ При ${x\lt3}$ знаменатель является малым отрицательным числом, предел равен $-\infty.$ При ${x\gt3}$ знаменатель является малым положительным числом, предел равен $+\infty.$

7. Найдите ${\lim_{x\to2}\frac{x+1}{(x-2)^2}}.$

Ответ

Числитель стремится к $3,$ а знаменатель с обеих сторон является малым положительным числом, поэтому предел равен $+\infty.$

8. Найдите ${\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-x+7}{5x^3+4x^2}}.$

Ответ

Степени числителя и знаменателя равны, поэтому предел равен ${\frac{2}{5}}.$

9. Найдите ${\lim_{x\to+\infty}\frac{6x-1}{2x^2+3}}.$

Ответ

Степень числителя меньше, поэтому предел равен $0.$

10. Найдите ${\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2+1}{x-4}}$ и ${\lim_{x\to-\infty}(1+x^2-4x^5)}.$

Ответ

${\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2}{x}}={\lim_{x\to-\infty}x}={-\infty}.$ ${\lim_{x\to-\infty}(-4x^5)}={+\infty},$ так как $x^5$ отрицательно при ${x\lt0}.$

См. также: Пределы (Интуитивное введение), Предел последовательности и калькулятор асимптот.