Пределы и методы вычисления

Пределы и техника вычисления
  • Алгебраические методы нахождения пределов
  • Как использовать пределы базовой функций для вычисления пределов сложной функции.

Некоторый базовый предел для
f(x) = k       Постоянная функция
g(x) = x       Прямая линия через центр
f(x) = k

Предел Пример
limx→ a k = k limx→ 2 3 = 3, limx→-2 3 = 3
limx→ + k = k limx→ + 3 = 3, limx→ + 0 = 0
limx→ - k = k limx→ - 3 = 3, limx→- 0 = 0

Теперь для g(x) = x

Предел
limx→ a x = a
limx→ + x = +∞
limx→ - x = -∞


limx→ a k = k

limx→ + k = k     limx→ - k = k
(a)    y = x

limx→ - x = -∞
(b)    y = x

limx→ + x = +∞
(c)

      Теорема
Пусть lim будет одним из переделов
limx→ a, limx→ a-, limx→ a+, limx→ + or limx→ -
Если L1 = lim f(x) and L2 = lim g(x) оба существуют, тогда
a) lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) = L1 + L2
b) lim [f(x) - g(x)] = lim f(x) - lim g(x) = L1 - L2
c) lim [f(x).g(x)] = lim f(x).lim g(x) = L1.L2
d) lim [f(x)/g(x)] = [lim f(x)/lim g(x)] = L1/L2
e) lim   nf(x) =   nlim f(x) =   nL1
L1 ≥ 0 если n четное
      Remark
Хотя результаты (a) и (c) есть для двух функций f и g, эти результаты также и для конечного числа функций; то есть, если пределы lim f1(x),   Lim f2(x),……….lim fn(x) все существуют, тогда
lim [f1(x) + f2 + ... + fn(x)] = lim f1(x) + lim f2(x) + ... + lim fn(x)
и
lim [f1(x).f2(x). ... .fn(x)] = lim f1(x).lim f2(x). ... .lim fn(x)
Если f1,f2,………..,fn есть теми же самыми функциями
lim [f(x)]n = [lim f(x)]n
Тогда мы можем записать
A) lim x → a xn = [lim x → a x]n = an
Другой полезный результат
B) lim [k.g(x)] = lim (k).lim g(x) = k.lim g(x)
Где k есть константа
      Полином
Полином (многочлен) это выражение в форме
    f(x) = bnxn + bn - 1xn - 1 + ... + b1x + b0
Где bn , bn - 1,,…. , b1 , b0 являются постоянными.
      Пример
limx → 5 (x)2 - 4x + 3) = limx → 5 x2 - 4limx → 5 x + limx → 5 3 = (5)2 - 4(5) + 3 = 8
      Теорема 2.5.2
Для любого многочлена
p(x) = c0 + c1x + ... + cnxn
и любое действительное число a
lim x → a p(x) = c0 + c1a + ... + cnan = p(a)
      Доказательство
limx → a p(x) = limx → a (c0 + c1x + ... + cnxn) = limx → ac0 + limx → ac1x + ... + limx → acnxn = limx → ac0 + c1limx → a x + ... + cnlimx → a xn = c0 + c1a + ... + cnan = p(a)
      Пределы, содержащие 1/x
Следующие пределы вытекают из графика функции 1/x.

      Таблица числовых значений
  Значения Вывод
x
1/x
1 .. 0.1 .. 0.001 ..
1 .. 100 .. 1000 ..
x → 0+
1/x → +∞
x
1/x
-1 .. -0.01 .. -0.001
-1 .. -100 .. -1000 ..
x → 0-
1/x → -∞
x
1/x
1 .. 100 .. 1000 ..
1 .. 0.01 .. 0.001 ..
x → +∞
1/x уменьшается к 0
x
1/x
-1 .. -100 .. -1000 ..
-1 .. -0.01 .. -0.001 ..
x → -∞
1/x увеличивается к 0

Для каждого действительного числа a график функции g(x) = 1/(x - a) есть перемещение f(x) = 1/x на a единиц вправо.

limx → a- g(x) = -∞     limx → a+ g(x) = +∞
limx → - g(x) = 0     limx → + g(x) = 0
Пределы многочленов, когда x стремится к +∞ и -∞


Limx → + x = +∞     Limx → + x2 = +∞

limx → + x3 = +∞
      Пример
limx → + 2x5 = 2limx → + x5 = +∞
limx → + -7x6 = -7limx → + x6 = -∞
Для целого значения n
limx → + 1/xn = (limx → + 1/x)n = 0
limx → - 1/xn = (limx → - 1/x)n = 0

y = f(x) = 1/xn (n - положительное нечетное целое)

Многочлен ведет себя как его члены наивысшей степени, когда x→ +∞ or x→ -∞ более точно, если cn = 0 , тогда
limx → + (c0 + c1x + ... + cnxn) = limx → + cnxn
limx → - (c0 + c1x + ... + cnxn) = limx → - cnxn
__________________________________
c0 + c1x + ... + cnxn = xn(c0/xn + c1/xn - 1 + .. + cn) = cnxn
      Пример
limx → 2 (5x3 + 4)/(x - 3) = [limx → 2 (5x3 + 4)]/[limx → 2 (x - 3)] = [5(2)3 + 4]/[2 - 3] = -44
График не имеет значения в x = 2

      Пример
limx → 4+ (2 - x)/(x - 4)(x + 2)

limx → 4+ (2 - x)/(x - 4)(x + 2) = -∞
Быстрый метод нахождения предела рациональных функций


Электронная почта:

© 2005 - 2020
Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратится в компетентные органы.